第三节收敛定理的证明预备定理1（贝塞耳（Bessel）不等式）若函数f在[一元,元] 上可积，则aoZ(a, +b,)≤=" f(x)dx,(1)+2元n=l其中αn,b，为f的傅里叶系数，（1）式称为贝塞耳(Bessel）不等式
第三节 收敛定理的证明 预备定理1（贝塞耳（Bessel)不等式）若函数f在 上可积，则 − = + + ( ) ,(1) 1 ( ) 2 2 1 2 2 2 0 a b f x dx a n n n 其中 为f的傅里叶系数，（1）式称为贝塞耳 （Bessel)不等式 [−, ] an bn
证：令aoE(a, cos nx +b, sin nx)Sm(x)2n=1考察积分[", [f(x) -S,(x)P dx-J" f"(x)dx-2]" f(x)·S.(x)’dx+ " s.(x)dx(2)由于J-, f(x)Sm(x)dx-, ()+ a,)omh,sid)n=
证 ：令 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a S x n n m = + n + = 考察积分 2 2 2 2 [ ( ) ( )] ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 m m m f x S x dx f x dx f x S x dx S x dx − − − − − = − + （ ） 由于 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ( )cos ( )sin ) 2 m m n n n f x S x dx a f x dx a f x nxdx b f x nxdx − − − − = = + +
根据傅里叶系数公式可得元"α° + 元Z(a, + b,)[" f(x)S.(x)dx = "(3)2n=l由于Sm(x）的积分，应用三角函数的正交性有[" S(x)dx7[% + (a, cos nx + b, sin nx)}’ dx2n=1
根据傅里叶系数公式可得 2 2 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 3 2 m m n n n f x S x dx a a b − = = + + （ ） 由于 ( ) 2 S x m 的积分，应用三角函数的正交性， 有 2 0 2 1 ( ) [ ( cos sin )] 2 m m n n n S x dx a a nx b nx dx − − = = + +
-(g)], dx+Z[a, ], cos'mxdx+b,]", sin' xd]元a +元Z(d, +b.)(4)2n=l将（3）、（4）代入（2）可得0 ≤[" [f(x)-S.(x)P dx-I, F(0)dx- g -~ (d +b)2-
0 2 2 2 2 2 1 2 0 2 2 1 ( ) [ cos sin ] 2 ( ) 4 2 m n n n m n n n a dx a nxdx b nxdx a a b − − − = = = + + = + + （ ） 将（3）、（4）代入（2）可得 2 2 2 2 2 0 1 0 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 m m n n n f x S x dx a f x dx a b − − = − = − − +
因而aom(a +b,)≤-", f(x)P dx2元n=1-[" [f(x)P dx它对任何正整数m成立。而元 J-级数为有限值，所以正项+Z(d;+b,)2n=1的部分和数列有界，因而它收敛且有不等式（1）成立
因而 a b f x dx a n n m n 2 2 2 1 2 0 [ ( )] 1 ( ) 2 − = + + 它对任何正整数m成立。而 f x dx 2 [ ( )] 1 − 级数为有限值，所以正项 ( ) 2 2 1 2 2 0 n n an b a + + = 的部分和数列有界，因而它收敛且有不等式（1） 成立
推论1若f为可积函数，则lim. J, f(x)cos nxdx = 01-8(5)lim. J, f(x)sin nxdx = 0因为（1）的左边级数收敛，所以当n→α时，通项a,+b，→0,亦即有αn→0 与b,→∞，这就是（5）式。这个推论也称为黎曼一勒贝格定理
推论1 若f为可积函数，则 lim ( )sin 0 lim ( ) cos 0 = = → − → − f x nxdx f x nxdx n n （5） 因为（1）的左边级数收敛，所以当 n → 0 an 2 + bn 2 → ，亦即有 → 0 n a 与 bn → ，这 这个推论也称为黎曼—勒贝格定理。 时，通项 就是（5）式
推论2若f为可积函数，则lim J f(x) sin( n + x=0)xd21lim J, f(x)sin( n +2)0xax2￥0证：由于xxsin( n +=)x = cos= sin nx + sin =cos nx222
) 0 2 1 lim ( )sin( ) 0 2 1 lim ( )sin( 0 0 + = + = → − → f x n xdx f x n xdx n n 证：由于 nx x nx x n x cos 2 sin sin 2 ) cos 2 1 sin( + = + 推论2 若f为可积函数，则
[。 f(x)sin(n+=)xdx所以2x(x)cos =]sin nxdx + ("=[ f(x)sin =lcos nxdx22(7)= J", F(x)sin nxdx+ J", F(x)cos nxdx其中x0≤x≤元f(x))cos2F(x)=[0-元≤x<0
0 0 0 1 2 1 ( )sin( ) 2 [ ( )cos ]sin [ ( )sin ]cos 2 2 ( )sin ( )cos f x n xdx x x f x nxdx f x nxdx F x nxdx F x nxdx − − + = + = + 其中 （ 7 ） 所以 1 ( )cos 0 ( ) 2 0 0 x f x x F x x = −
x0≤x≤πf(x)sin2F(x)[0-元≤x<0显见,F与 F, 和f一样在[-元,元]上可积，由推论1，（7）式右端两积分的极限在 n→ 时，都等于零，所以左边的极限为零同样可以证明limI_ f(x)sin( n +=)xdx2n-28
显见， F1 与 F2 和f一样在 上可积，由 推论1 ，（7）式右端两积分的极限在 n → 时， [−, ] 都等于零，所以左边的极限为零 同样可以证明 ) 0 2 1 lim ( )sin( 0 + = → − f x n xdx n 2 ( )sin 0 ( ) 2 0 0 x f x x F x x = −
预备定理2：_若f（x）是以2元为周期的函数且在「-元,元]上可积，则它的傅里叶级数部分和 S,(x)可写成sin(n +-2dt (8)Sn(x)=二 (f(x+t)t元2 sin2当t=0时，被积函数中的不定式由极限
预备定理2： 若f(x)是以 为周期的函数， 且在 上可积，则它的傅里叶级数部分 和 可写成 [−, ] 2 S (x) n 当t=0时，被积函数中的不定式由极限 1 sin( ) 1 2 ( ) ( ) (8) 2sin 2 n n t S x f x t dt t − + = +