（目录）82隐函数组、隐函数组的概念二、隐函数组的定理6中H例1定理18.4英712三、反函数组及坐标变换概念例2、3定理18.5
§2隐函数组 （目录） 三、反函数组及坐标变换 一、隐函数组的概念 二、隐函数组的定理 定理18.4 例1 概念 定理18.5 例2、3
概念设F(x,y,u,v)和G(x,y,u,v)为定义在区域Vc R4上的两个四元函数。若存在平面区域D，对于D中每一点(x,y)，分别有区间J和K上唯一的一对值uEJ,VεK,F(x,y,u,v)= 0它们与x,y一起满足方程组....(1)G(x,y,u,v)= 0则说方程组（1）确定了两个定义在DR2上，值域分别落在J和K内的函数。我们称这两个函数为由方程组（1所确定的隐函数组。若分别记这两个函数为u=f(x,y)，v=g(x,y),则在上成立恒等式F(x,y,f (x,y),g(x,y) =0G(x,y,f (x,y),g(x,y)=0
概念 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 , , , , , , , , , , , 0 , (1) , , , 0 1 1 F x y u v G x y u v V R D D x y J K u J V K F x y u v x y G x y u v D R J K u = = = 设 和 为定义在区域 上 的两个四元函数。若存在平面区域 ，对于 中每一 点 ，分别有区间 和 上唯一的一对值 ， 它们与 一起满足方程组 则说方程组（）确定了两个定义在 上，值域分别 落在 和 内的函数。我们称这两个函数为由方程组（） 所确定的隐函数组。若分别记这两个函数为 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) , , , , , , , , 0 , , , , , 0 f x y v g x y F x y f x y g x y G x y f x y g x y = ， 则在上成立恒等式
定理18.4（隐函数组定理）若(1)F(x, y,u, v)与G(x, y,u, v)在以点P。(xo,yo,uo, vo)为内点的区域VCR内连续。(2)F(xo, yo, uo, Vo)= 0,G(xo, yo, uo.Vo)= 0(初始条件)(3)在V内F，G具有一阶连续偏导数;a(F,G)在点P不等于零，(4)J :a(u,v)则在点P的某一(四维空间)U(P)cV内，方程组（1）唯一地确定了定义在点Q。(xo,y)的某一(二微空间)邻域U(Q)内的两个二元隐函数 u=f(x,y),=g(x,y)使得：
定理18.4（隐函数组定理）若 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : , , , , 1 , , (4) (3) (2) , , , 0, , , . 0 (1) , , , , , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 使得 内的两个二元隐函数 一地确定了定义在点 的某一 二微空间 邻域 则在点 的某一 四维空间 内，方程组（）唯 在点 不等于零， 在 内 ， 具有一阶连续偏导数； 初始条件 ； 的区域 内连续。 与 在以点 为内点 U Q u f x y v g x y Q x y P U P V P u v F G J V F G F x y u v G x y u v V R F x y u v G x y u v P x y u v = = = = =
1° uo = f(xo,y), Vo = g(xo, y)且当(x, y)e U(Q.)时(x, y, f(x, y),g(x, y)eU(P)F(x, y, f(x, y),g(x, y)=0 ,G(x, y, f(x, y), g(x, y)= 02° f(x,y)g(x,y)在U(Q.)内连续;3° f(x,y),g(x,y)在U(Q.)内有一阶连续偏导数，且ou_1 a(F,G) αv1 a(F,G)axJ a(x,v) ax J o(u,x)Ou1 a(F.G)) αv _1 α(F,G)ayJ a(y,v) oyyJ a(u,y)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . , 1 , , , 1 . , 1 , , , 1 , 3 , , 2 , , , , , , , 0 , , , , , 0 , , , , , , , 1 , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u y F G y J v y v F G y J u u x F G x J v x v F G x J u f x y g x y U Q f x y g x y U Q G x y f x y g x y F x y f x y g x y x y f x y g x y U P u f x y v g x y x y U Q = − = − = − = − = = ， 在 内有一阶连续偏导数，且 在 内连续； 且当 时
F(x, y,u,v)=u2 +y? -x? - y= 0例1 讨论方程组.... (6)G(x,y,u,v)= -u+v-xy+l = 0在点P(2,1,1,2)近旁能确定怎样的隐函数，并求其偏导数。解 首先F(P)=G(P)=O，即P满足初始条件，再求出F,G的所有一阶偏导数F =-2x,F, =-1,F, =2u,F, =2vG, =-y, G, =-x,Gu=-1,G, =1容易计算，在点P处的所有六个雅可比行列式中只有a(F,G))=0. 因此，只有x,v难以肯定能否作为以y,u为a(x, v)自变量的隐函数。除此之外，在P的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数
例1 ( ) ( ) 在点 ( )近旁能确定怎样的隐函数，并求其偏导数。 讨论方程组 2,1,1,2 (6) , , , 1 0 , , , 0 0 2 2 2 P G x y u v u v x y F x y u v u v x y = − + − + = = + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数。 自变量的隐函数。除此之外，在 的近旁任何两个变量 因此，只有 难以肯定能否作为以 为 容易计算，在点 处的所有六个雅可比行列式中只有 的所有一阶偏导数 解 首先 ，即 满足初始条件，再求出 0 0 0 0 0 0. , , , , , , 1, 1 2 , 1, 2 , 2 , 0 P x v y u x v F G P G y G x G G F x F F u F v F G F P G P P x y u v x y u v = = − = − = − = = − = − = = = =
如果我们想求得x=x(u,v),y=y(u,v)的偏导数，只需对方程组（6）分别关于u,v求偏导数，得到2u - 2xx, - yu = 0,..·(7)[-1 - yx, -xyu = 0,[2v-2xx, - y, = 0,.:(8)[1 -xy, - yx, = 0,2xu+12x +2 yu由（7）解出 x,=,yu=2x2 - y2x? -y2xv-1由(8) 解出x,=2x
( ) ( ) x x v x x y x yu y x y x u x x y yx v x x y yx x y u x x y u v x x u v y y u v v u u v v v v u u u u 2 2 1 8 2 2 2 , 2 2 1 7 (8) 1 0, 2 2 0, (7) 1 0, 2 2 0, 6 , , , , 2 2 − = − + = − − + = − − = − − = − − − = − − = = = 由（ ）解出 由（ ）解出 对方程组（ ）分别关于 求偏导数，得到 如果我们想求得 的偏导数，只需
三、反函数组与坐标变换设函数组u=u(x,y),v=v(x,y)是定义在xy平面点集BCR2上的两个函数，对每一点P(x,v)eB，由方程组(9)有uv平面上唯一的点Q(u,v) R2与之对应。我们称方程组（9）确定了B到R的一个映射（变换），记作T这时映射（9）可写成如下函数形式T:B→R2,P(x, y) → Q(u, v)或写成点函数形式Q=T(P),PE B,并称Q(u,v)为映射T下的P(x,y)象，而P则是Q的原象记B在映射T下的原象为B' = T(B)
三、 反函数组与坐标变换 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). , , , , , 9 : , 9 9 , , , , , 2 2 2 2 B T B P x y P Q B T Q T P P B Q u v T P x y Q u v T B R B R T uv Q u v R B R P x y B u u x y v v x y x y = = → → = = 下的 象，而 则是 的原象记 在映射 下的原象为 或写成点函数形式 ， 并称 为映射 这时映射（ ）可写成如下函数形式 方程组（ ）确定了 到 的一个映射（变换），记作 ， （ ）有 平面上唯一的点 与之对应。我们称 上的两个函数，对每一点 ，由方程组 设函数组 是定义在 平面点集
反过来，若T为一一映射（即不仅每一个原象只有一个象，而且不同的原象对应不同的象）。这时每一点QE B'，由方程组(9）都有唯一的一点P B与之对应。由此所产生的新映射T的逆映射（逆变换）记作T-1即 T-1 : B' →B,Q-→p或 P= T-I(Q) ,Q e B'亦即存在定义在B'上的一个函数组x=x(u,v),y= y(u,v)把它代入（9）而成为恒等式：u=u(x(u, v), y(u,v) v=v(x(u,v),y(u, v)这时我们又称函数组（10）是函数组（9）的反函数
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 这时我们又称函数组（ ）是函数组（ ）的反函数 把它代入（ ）而成为恒等式： 亦即存在定义在 上的一个函数组 或 即 由此所产生的新映射 的逆映射（逆变换）记作 ， ，由方程组（ ）都有唯一的一点 与之对应。 个象，而且不同的原象对应不同的象）。这时每一点 反过来，若 为一一映射（即不仅每一个原象只有一 10 9 , , , , , , , 9 , , , , . : , 9 1 1 1 u u x u v y u v v v x u v y u v B x x u v y y u v P T Q Q B Q P T B B T T Q B P B T = = = → → − − −
定理18.5（反函数组定理）设函数组（9）及其一阶偏导数在某区域DCR2上连续，点P（xo,y）是D的内点，且a(μ,v)￥0μo = μu(xo, yo), μo = μ(xo, yo),Da(x, y)则在点p(uo,v)的某一邻域U（P)内存在唯一的一组反函数(10），使得xo= x(μo,Vo),y= y(μo,Vo),且当 (μ,v)eU (po)时,有 (x(u,v),y(u,v))eU(P)以及恒等式(11)此外，反函数组（10）在U（p。)内存在连续的一阶偏导数
在连续的一阶偏导数 以及恒等式 此外，反函数组（ ）在 （ 内存 当（ ， ） （ 时，有（ 组反函数（ ），使得 且 则在点 的某一邻域 （ 内存在唯一的一 连续，点 （ ）是 的内点，且 设函数组（ ）及其一阶偏导数在某区域 上 (11) 10 ) ) ( , ), ( , )) ( ) 10 ( , ), ( , ), ( , ) ) | 0 ( , ) ( , ) ( , ), ( , ), , 9 0 0 ' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 = = = = U p U p x y U P x x y y p U P x y x y x y P x y D D R p 定理18.5（反函数组定理）
avaxaua(μ,v)axay且a(μ,v)auovaya(x,y)a(x, y)avauayayaxax(13)a(u,v)a(μ,v)avaua(x,y)a(x,y)由（13）看到：互为反函数组的（9）与（10），它们的雅可比a(u,v). a(x,y)=1这与（一元）反函数行列式互为导，即a(x, y) a(u,v)求导公式相类似
. 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 13 9 10 求导公式相类似 行列式互为导，即 这与（一元）反函数 由（ ）看到：互为反函数组的（ ）与（ ），它们的雅可比 = x y x y (13) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) x y x y x y x y y x y x x y x y = = − = − = 且