S3 方向导数与梯度在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数，而且还要知道在其他特定方向上的变化率这就是本节所要讨论的方向导数
§3 方向导数与梯度 在许多问题中, 不仅要知道函数在坐 标轴方向上的变化率 (即偏导数), 而且 还要知道在其他特定方向上的变化率, 这就是本节所要讨论的方向导数
※方向导数的概念定义1 设函数 f(x,y,z)在点 P(xo,yo,zo)的某邻域U(P) R’内有定义，i为从点 P,出发的射线.任给 P(x,,z)einU(P), 记 p=IP,PI, 若极限A,f lim f(P)-f(P)limp→0+p-→0+pp存在，则称此极限为函数f在点P沿方向i的方向af导数，记作, f;(P) 或 f,(xo,Jo,zo).alP
※ 方向导数的概念 定义1 设函数 0 0 0 0 f x y z P x y z ( , , ) ( , , ) 在点 的某邻域 0 0 0 ( ) ( ) lim lim l f f P f P → → + + − = 导数, 记作 0 0 0 0 0 , ( ) ( , , ). l l P f f P f x y z l 或 3 0 0 U P l P ( ) R 内有定义， 为从点 出发的射线.任 f 存在 P0 l , 则称此极限为函数 在点 沿方向 的方向 0 0 给 P x y z l U P P P ( , , ) ( ), | | = 记 ， 若极限
不难看出：若 f 在点 P存在对x 的偏导数，则f在点 P。沿x轴正方向的方向导数恰为f,;(P)= f.(P) (i=+ Ox);当1的方向为x轴的负方向时，则有f;(P)=-f.(P) (i=-Ox);对于f,与f,也有相应的结论※方向导数与偏导数之间的一般关系定理17.6 若 f(x,y,z)在点 P(xo,yo,zo) 可微,则 f
不难看出: 若 f 在点 P0 存在对 x 的偏导数，则 f 在点 P0 沿 x 轴正方向的方向导数恰为 0 0 ( ) ( ) ( ); l x f P f P l O x −→ = = + 0 0 ( ) ( ) ( ); l x f P f P l O x −→ = − = − 对于 y z f f 与 也有相应的结论． ※ 方向导数与偏导数之间的一般关系 定理17.6 若 0 0 0 0 f x y z P x y z ( , , ) ( , , ) 在点 可微，则 f 当 l 的方向为 x 轴的负方向时，则有
在点P沿任一方向i的方向导数都存在，且f;(P)= fx(P)cosα+ f,(P)cosβ + f,(P,)cos, (1)其中 cosα, cosβ, cosyZ为「的方向余弦4zP证设 P(x,y,z) 为4y4x0i上任一点，于是有（参见图17-5）图17-5
x y z O 图 17 – 5 • • x y z P0 P l 其中 cos , cos , cos 证 设 P x y z ( , , ) 为 有 (参见图17 – 5 ) 在点 P0 沿任一方向 l 的方向导数都存在, 且 0 0 0 0 ( ) ( )cos ( )cos ( )cos , (1) x y z l f P f P f P f P = + + 为 l 的方向余弦． l 上任一点，于是
x= x-x。 =pcosα,(2)Ay = y-yo= pcosβ,Az =z-zo = pcos.由假设f 在点 P,可微，则有f(P)- f(P) = fx(P) △x+ f,(P)△)+f,(P) △z + o(p).上式左、右两边皆除以p，并根据（2）式可得
上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得 0 0 0 cos , cos , cos . x x x y y y z z z = − = = − = = − = (2) f 由假设 在点 P0 可微，则有 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x y f P f P f P x f P y − = + 0 ( ) ( ). z + + f P z o
△xAyf(P)-f(P)fr(P),(PopppAzo(p)+ f,(P)+ppo(p)= fx(P) cosα+ f,(P) cos β + f,(P) cos+po(p)因为 lim0，所以上式左边的极限存在：0p→0+f(P)- f(P)limf;(P) =pp→0+= fx(P) cosα+ f,(P) cos β+ f,(P) cosy
0 ( ) lim 0, o → + 因为 所以上式左边的极限存在: = 0 0 0 ( ) ( ) l ( ) lim f P f P f P → + − = 0 0 0 ( ) cos ( ) cos ( ) cos . x y z = + + f P f P f P 0 0 0 ( ) ( ) cos ( ) cos ( ) cos . x y z o f P f P f P = + + + 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x y f P f P x y f P f P − = + 0 ( ) ( ) z z o f P + +
对于二元函数f(x,y）来说，相应于（1)的结果为f; (xo, Jo)= fx(xo,Jo)cosα + f,(xo, yo)cos β, (2)其中 α,β是 R2中向量I的方向角例 1 设 f(x,y,z)=x+ y +z3,求 f 在点 P,(1,1,1) 处沿着指向点 P(3,-1,2)方向的方向导数解易见f在点P,可微.故由fx(P)= 1, f,(P)= 2, f,(P)=3,以及 l = P,P =(2,-2,1) 的方向余弦
例 1 2 3 0 设 求 在点 处 f x y z x y z f P ( , , ) , (1,1,1) = + + 1 沿着指向点 方向的方向导数 P (3, 1,2) . − 解 0 易见 在点 可微 故由 f P . 0 0 0 ( ) 1, ( ) 2, ( ) 3 , x y z f P f P f P = = = 0 1 以及 的方向余弦 l P P = = − (2, 2,1) 对于二元函数 f x y ( , ) 来说, 相应于 (1) 的结果为 , 2 其中 是 R 中向量 l 的方向角． 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , )cos ( , )cos , (2) l x y f x y f x y f x y = +
2cosα =/2* +(-2)° +12~ 3-2-2cos β= -2 +(-2)° +13"11cos=V2° +(-2) + "3"按公式（1）可求得2112f,;(P)=1:+2.+3.=:T33U
2 2 2 2 2 cos , 3 2 ( 2) 1 = = + − + 2 2 2 2 2 cos , 3 2 ( 2) 1 − − = = + − + 2 2 2 1 1 cos , 3 2 ( 2) 1 = = + − + 按公式 (1) 可求得 0 2 2 1 1 ( ) 1 2 3 . 3 3 3 3 l f P = + − + =
例2设函数1, 当 0<y<x2, -<x<+8时f(x,y) =0，其余部分此函数示于图16一15，已知它在原点不连续（当然也就不可微）但在始于原点的任何射线上，都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上f的函数值恒为零.于是由方向导数定义，在原点处沿任何方向 「都有f;(0,0)=0
例2 设函数 2 1, 0 , , ( , ) 0, y x x f x y 当 时 其余部分. − + = 此函数示于图 16 – 15, 已知它在原点不连续 (当然 也就不可微)．但在始于原点的任何射线上, 都存在 包含原点的充分小的一段，在这一段上 f 的函数值 恒为零. 于是由方向导数定义, 在原点处沿任何方 向 都有 (0,0) 0. l l f =
说明（）函数在一点可微是方向导数存在的充分条件而不是必要条件：(ii）函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要条件，当然也不是充分条件（对此读者应能举出反例）※梯度的概念定义 2 若 f(x,y,z)在点 P(xo,yo,zo) 存在对所有自变量的偏导数，则称向量(f,(P),J,(P),J,(P))为函数f 在点 P 的梯度，记作
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也不是充分条件 ( 对此读者应能举出反 例 )． ※ 梯度的概念 定义 2 0 0 0 0 若 在点 f x y z P x y z ( , , ) ( , , ) 存在对所有自 变量的偏导数, 则称向量 0 0 0 ( ( ), ( ), ( )) x y z f P f P f P 为 函数 0 f P 在点 的梯度, 记作