5上函数的凸性与拐点定义1设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点Xi，x和任意实数 ε(O,1) 总有f(ax, +(1-2)x2)≤af(x)+(1 - 2)f(x,)则称f为I上的凸函数。反之，如果总有f(ax, +(1-a)x2) ≥ af(x)+(1-a)f(x,),则称f为I上的凹函数如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数
5 函数的凸性与拐点 定义1 设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点 1 2 x x, 和任意实数 (0,1) 总有 1 2 1 2 1 2 1 2 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), f x x f x f x f x x f x f x + − + − + − + − 则称f为I上的凸函数。反之，如果总有 则称f为I上的凹函数。 如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式， 则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数
引理f为上的凸函数的充要条件是：对于上的任意三点 x,<x<x，总有f(xz)-f(x) f(xg)-f(xz)X2 - XiX3 - X2证[必要性] 记=±二±,则x,= x +(1-2),由的凸性知道x3 -xif(x2)= f(x, +(1-a)x,)≤af(x)+(1-a)f(x3)X3 -X2f(x)+2二= f(x,),X3 -XiX3 -Xi从而有(x -x)f(x)≤(x, -x)f(x)+(x2 -x)f(x3)(x, -x)f(x)+(x, -x)f(x)≤(x, -x,)f(x)+(x, -x)f(x,)
引理 f 为I上的凸函数的充要条件是：对于I上 的任意三点 1 2 3 x x x , 总有 2 1 3 2 2 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . f x f x f x f x x x x x − − − − 3 2 2 1 3 3 1 2 1 3 1 3 3 2 2 1 1 3 3 1 3 1 [ ] , (1 ) . ( ) ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ), x x x x x f x x f x f x x f x f x x x x x f x f x x x x x − = = + − − = + − + − − − = + − − 证 必要性 记 则 由 的凸性知道 从而有 3 1 2 3 2 1 2 1 3 3 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x − − + − − + − − + −
整理后即得（3）式[充分性]在I上任取两点xj,x,(x, <x,),在[xi,x3]上任取一点x, = x, +(1-)x,几e(0,1),即=些-2X3 -Xi由必要性的推导逆过程，可证得f(ax +(1-a)x)≤af(x)+(1-a)f(x)故f为I上的凸函数。同理可证，f为I上的凸函数的充要条件是：对于1上的任意三点x<x<x3,有f(x2)-f(x) f(xs)-f(x) <f(xs)-f(x2)X2 - XX3 -XiX3 - X2
1 3 1 3 1 3 3 2 2 1 3 3 1 1 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 , ( ), [ , ] (1 ) , (0,1), . ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), , ( ) ( ) I x x x x x x x x x x x x x f x x f x f x f I f I I x x x f x f x f x x − = + − = − + − + − − − 整理后即得（3）式。 [充分性] 在 上任取两点 在 上任取一点 即 由必要性的推导逆过程，可证得 故 为 上的凸函数。 同理可证， 为 上的凸函数的充要条件是：对于 上的任意三点 有 3 1 3 2 3 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . x f x f x f x x x x x − − − −
定理6.13设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价1°f为I上凸函数;2°f为I上的增函数;3° 又对I上的任意两点x，X,,有f(x,)≥ f(x,)+f (x)(x2 -x).证（1°→2)任取I上两点xj,x,(x<x,)及充分小的正数h. 由于x, -h<x, <x2 <x2 +h,根据f的凸性f(x)-f(x -h) f(x2)- f(x) f(xz +h)-f(x2)及引理有hhX2 - Xi由f是可导函数，令h→0时可得I(a)≤(3)-1(a ≤ (5),X2 - Xi所以f为I上的递增函数
定理 6.13 ' 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 ( )( ). , ( ) ( ) ( ) ( ) . f f x x x h x x x h f x f x f x h f x x x h − → − + − + − − 1 2 ' 2 1 1 2 1 2 1 1 1 设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价： 为I上凸函数； 为I上的增函数； 3 对I上的任意两点x ,x ,有 f(x ) f(x )+f 证 （1 2）任取I上两点x ,x (x <x )及充分小 的正数h.由于x 根据f的凸性 f(x )-f(x -h) 及引理有 h 由f ' ' 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ), f x f x f x f x x x → − − + ' 是可导函数，令h 0 时可得 所以f为I上的递增函数
(2°→3°） 在以x,x(xx,时仍可得到相同结论。(3°→1)设以xi,x,为I上任意两点，x,= x, +(1-)x2,0<<1.由3,并利用Xi -x, =(1- )(xi -x2)与x2 -x, = (x2 -x),f(x)≥ f(x)+ f(x,)(x, -xs)= f(x,)+(1-a)f(x,)(x -x2),f(x2) ≥ f(x,)+ f(xs)(x2 -x3) = f(x)+af (x)(x2 -x)分别用^和1－乘上列两式并相加，便得af(x)+(1-a)f(x2)≥ f(x3)= f(ax, +(1-a)x2)从而f为I上的凸函数
1 2 1 2 ' ' ' 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 1 3 1 2 2 3 2 1 (2 3 ) , ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ). (3 1 ) , (1 ) , 0 1. 3 (1 )( ) ( ), x x x x f f x f x f x x f x x x x x x x I x x x x x x x x x x x → − = − − → = + − − = − − − = − 在以 为端点的区间上， 应用拉格朗日中值定理和 递增条件，有 移项后即得（5）式成立，且当 时仍可得到相同结论。 设以 为 上任意两点， 由 ，并利用 与 ' ' 1 3 3 1 3 3 3 1 2 ' ' 2 3 3 2 3 3 3 2 1 1 2 3 1 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) (1 ) ( )( ), ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ). 1 ( ) (1 ) ( ) ( ) ( (1 ) ). f x f x f x x x f x f x x x f x f x f x x x f x f x x x f x f x f x f x x f I + − = + − − + − = + − − + − = + − 分别用 和 乘上列两式并相加，便得 从而 为 上的凸函数
设f为区间1上的二阶可导函数，则在上定理6.141f为凸（凹）函数的充要条件是f (x)≥0(f (x)≤0),xe 1.这个定理的结论可由定理6.3和定理6.13推出。例1讨论函数f(x)= arctan x的凸（凹）性区间-2x因而当x≤0时f(x)≥0解 由于f(x)=(1+x)?x≥0时f(x)≤0.从而在（-80，0]上f为凸函数，在[0,+8）上f为凹函数。例2若函数f为定义在开区间（a,b）内的可导的凸（凹）函数，则xE(a,b)为f的极小（大）值点的充要条件是x.为f的稳定点，即f（x）=0
" " " " 2 2 " ( ) 0( ( ) 0), . 6.3 6.13 1 ( ) arctan 2 ( ) , 0 ( ) 0; (1 ) 0 ( ) 0. ] [0 f I I f f x f x x I f x x x f x x f x x x f x f f = − = + + 设 为区间 上的二阶可导函数，则在 上 为凸（凹）函数的充要条件是 这个定理的结论可由定理 和定理 推出。 例 讨论函数 的凸（凹）性区间。 解 由于 因而当 时 时 从而在（- ，0 上 为凸函数，在 ， ）上f为凹函数。 例2 若函数 为定义在开区间（a,b 0 ' 0 0 ( , ) ( ) 0. x a b f x f f x = ）内的可导的 凸（凹）函数，则 为 的极小（大）值点的 充要条件是 为 的稳定点，即 定理6.14
证下面只证明为凸函数的情形必要性已由费马定理得出，现在证明充分性由定理6. 13，任取(a,b)内的一点x(≠ xo),它与x一起有f(x) ≥ f(x)+ f (xo)(x-xo)因为f(x)=0,故对任给x E(a,b)总有f(x) ≥ f(xo)即x,为f在(a,b)内的极小值点（而且为最小值点）
证 0 0 ' 0 0 0 ' 0 0 0 ( , ) ( ), ( ) ( ) ( )( ). ( ) 0, ( , ) ( ) ( ) ( , ) f a b x x x f x f x f x x x f x x a b f x f x x f a b + − = 下面只证明 为凸函数的情形。 必要性已由费马定理得出，现在证明充分性。 由定理6.13，任取 内的一点 它与 一起有 因为 故对任给 总有 即 为 在 内的极小值点（而且为最小值点）
例3（詹森（Jensen）不等式）若f为[a,b]上凸函数，则对任意x, =[a, b], ,>0(i=1, 2,…, n),, =1,有i=f(ZAx)≤EAf(x,)i=1i=l证应用数学归纳法．当n=2时，由定义1命题显然成立.设n=k时命题成立.即对任意xi,×2,…,xε[a, b]及α,>0, i=1, 2,.., k,α,=1,都有i=1kf(Zα,x)≤Zα,f(ax)i=1i=1现设x1, X,,Xx, X+1 e[a, b]及k+12,> 0(i=1,2,-,k +1), 2 2, = 1i-1
例3（詹森（Jensen）不等式） 1 1 1 1, ( ). , ( ). n i i i k k i i i i x f x x f x = = = = n i i i i=1 n i i i=1 1 2 k n i i i=1 i i 1 2 若f为[a,b]上凸函数， 则对任意x [a,b], >0(i=1,2, ,n), 有 f( ) 证 应用数学归纳法. 当n=2时，由定义1命题显 然成立.设n=k时命题成立.即对任意x ,x , x [a,b] 及 >0,i=1,2, ,k, =1,都有 f( ) 现设x ,x , 1 1 , 0( 1, 2, , 1), 1 k k i i x i k + = = + = k+1 i ,x [a,b]及
元今α;i=1,2,,k,则α,=1由数学归纳法1- 7k+1i=l假设可推得f(x +x, +.. + MX + k+Xk+1)-(-m)+++五+)1 - Nk+1≤(1 - Ak+1)f(α)x, +α2x2 +...+α,Xk)+ 2k+1f(Xk+1)≤(1- Ak+1)[α,f(x)+α2f(x2)+...+αkf(x)]+ Ak+1f(xk+1)k212= (1 - 2k+f(x))(x,1- 2k+11- 2k+!k+k+1+ 2k+if(x)) =22f(x)i=1这就证明了对任何正整数n≥2），凸函数f总有不等式（8）成立
1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , 1, 2, , , 1. 1 ( ) ((1 ) ) 1 (1 ) ( ) ( ) (1 )[ ( ) ( ) ( )] ( k i i i k i k k k k k k k k k k k k k k k k k k k i k f x x x x x x x f x f x x x f x f x f x f x f x + = + + + + + + + + + + + = = = − + + + + + + + = − + − − + + + + − + + + + 令 则 由数学归纳法 假设可推得 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ) (1 )[ ( ) ( ) ( )] 1 1 1 ( ) ( ). k k k k k k k k k k i i i f x f x f x f x f x n f + + + + + + + + = = − + + + − − − + = 这就证明了对任何正整数（ 2），凸函数 总有不等式 （8）成立
atb+c例4 证明不等式(abc)0.由f(x)的一阶和二阶导数1f (x)= ln x+1, f"(x)= =x可见，f(x)=xlnx在x>0时为严格凸函数.依詹森不等式有(a+b+C)≤(f(a)+ f(b)+ f(c),fra33a+b+c,.α+b+c<=(alna+b ln b+cln c),从而n333(a+b+C )a+b+cC即≤a"b’cc3a+b+c又因/abc ≤所以3a+b+c3≤a"bcc.(abc)
例4 3 a+b+c 又因 abc ,所以 3 " 1 ( ) ln 1, ( ) ( ( ) ( ) ( )), 1 ln ( ln ln ln ), 3 3 x x f x x f a f b f c abc a a b b c c = + = + + + + + + a+b+c 3 a b c ' 证明不等式(abc) a b c ，其中a,b,c均为正数. 证 设f(x)=xlnx,x>0.由f(x)的一阶和二阶导数 f 可见，f(x)=xlnx在x>0时为严格凸函数.依詹森不等式有 a+b+c 1 f( ) 3 3 a+b+c 从而 3 即 . a b c a b c a+b+c a+b+c ( ) 3 . a b c a b c a+b+c 3 (abc)