第十一章反常积分81反常积分概念目的要求：掌握反常积分敛散性定义，瑕点等概念，掌握些重要的反常积分收敛和发散的例子，会用定义判别反常积分的敛散性重点难点·重点无穷积分敛散性的概念、常用的收敛与发散的无穷积分：难点反常积分概念的理解教学方法讲授法教学过程如下：一。问题的提出定积分有两个基本的限制：积分区间是有限区间：函数为有界函数但实际问题很多都涉及无穷区间上的“积分”和无界函数的“积分
第十一章 反 常 积 分 § 1 反常积分概念 一. 问题的提出 定积分有两个基本的限制：积分区间是有限区间；函数为有界函数, 但实际问题很多都涉及无穷区间上的“积分”和无界函数的“积分”。 目的要求:掌握反常积分敛散性定义，瑕点等概念，掌握一 些重要的反常积分收敛和发散的例子，会用定 义判别反常积分的敛散性. 重点难点:重点无穷积分敛散性的概念、常用的收敛与发散 的无穷积分;难点反常积分概念的理解. 教学方法:讲授法 教学过程如下:
例1：（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？解：设地球半径为R，火箭质量为m，初速度为vo,地面上的重力加速度为g则火箭在距地心xR)处所受的引力为F= mgR（万有引力定理）x2从而火箭从地面上升到离地心rR处需作的功为['mgRRdx=mgR(-R x?R火箭要无限远离地球，意味着r→+o，此时需作的功为上式右边的极限mgR，也就把上式写为+o mgRdx = lim mgR2(-1-=) = mgRJRx?>+00R1_mv = mgR最后由机械能守恒定律得2把各数值代入可求得结果
例1：（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克 服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？ 万有引力定理） 则火箭在距地心 处所受的引力为 解：设地球半径为 ，火箭质量为 ，初速度为 地面上的重力加速度为 。 ( ( ) , 2 0 x mgR F x R R m v g = 从而火箭从地面上升到离地心r(>R)处需作的功为 = − r R R r dx mgR x mgR ) 1 1 ( 2 2 也就把上式写为 火箭要无限远离地球，意味着r → +，此时需作的功为上式右边的极限mgR， 最后由机械能守恒定律得 mgR R r dx mgR x mgR R r = − = + →+ ) 1 1 lim ( 2 2 mv = mgR 2 0 2 1 把各数值代入可求得结果
例2：圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？解：从物理学知道，当桶内水位高度为h-x时，水从孔中流出的速度为v = /2g(h - x)（其中g为重力加速度）设在很小一段时间dt内，桶中液面降低的微小量为dx，它们满足元Rdx = V元 r?dtR2即dt = dx, x e[ O, h ]r2 J2g(h-x)R?dxt=]。所以流完一桶水所需时间可写为“积分”r2 /2g(h-x)但是因为这里的被积函数是[0，h）上的无界函数，故R?[2 R?(R)2ht = limdx = limh-urr2u-→h-Jou→h/2g(h-x)gg
例2：圆柱形桶的内壁高为h , 内半径为 R ，桶底有一半径为 r 的小孔。 试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？ 解：从物理学知道，当桶内水位高度为h-x 时，水从孔中流出的速度为 v = 2g(h − x) (其中g为重力加速度） 设在很小一段时间dt 内，桶中液面降低的微小量为dx,它们满足 , [ 0, ] 2 ( ) 2 2 2 2 dx x h r g h x R dt R dx v r dt − = = 即 所以流完一桶水所需时间可写为“积分” − = h dx r g h x R t 0 2 2 2 ( ) 但是因为这里的被积函数是[ 0 , h )上的无界函数，故 2 2 2 0 2 2 2 ( ) 2 lim 2 ( ) lim = − − = − = → − → − r R g h h h u r R g dx r g h x R t u h u u h
从上面的例题我们知道，通过定积分和极限就可以定义无穷区间以及无界函数的“积分”。二，无穷区间上的反常积分1.定义无穷区间有三种，分别给出其定义：(1)在[a,+) 上,定义1:设f(x)在[a,+)上有定义，对任何u≥a，f(x)在[a,u]上可积,若存在极限lim J,f(x)dx = J(1)则称J为函数f(x)在[a,+o)上的无穷限反常积分(简称无穷积分），记为J =J+" f(x)dx并称「 f(x)dx收敛。如果极限（1）不存在,称「f(x)dx 发散
从上面的例题我们知道，通过定积分和极限就可以定义无穷区间以及 无界函数的“积分”。 二. 无穷区间上的反常积分 1.定义 无穷区间有三种，分别给出其定义： (1) [ , ) 在 a + 上, 定义1： 则称 为函数 在 上的 若存在极限 设 在 上有定义，对任何 ， 在 上可积， ( ) [ , ) lim ( ) (1) ( ) [ , ) ( ) [ , ] + = + →+ J f x a f x dx J f x a u a f x a u u u a 无穷限反常积分（简称无穷积分）,记为 + = a J f (x)dx + a 并称 f (x)dx 收敛。如果极限（1）不存在， + a 称 f (x)dx 发散
注意1:从本质上说，当无穷积分[f(x)dx收敛时它是一个数（极限值）；yty= f(x)当无穷积分「f(x)dx发散时它只是一个记号。OaX注意2:「，f(x)dx收敛的几何意义是：若f(x)在[α,+)上为非负连续函数，则其值就是介于曲线y=f(x)，直线x=α以及x轴之间那一块向右无限延伸的区域的面积。（如右图）同理可给出：
1: ( ) a f x dx + 注意 从本质上说，当无穷积分 收敛时它是一个数（极限值）； 当无穷积分 发散时它只是一个记号。 + a f (x)dx 2 : ( ) ( ) [ , ) ( ) a f x dx f x a y f x x a x + + = = 注意 收敛的几何意义是：若 在 上为非负连续函数，则其值就是介于曲 线 ，直线 以及 轴之间那一块向 右无限延伸的区域的面积。(如右图） y = f (x) O x y a 同理可给出:
(2)在(-0,b] 上,Jm f(x)dx = lim T' f(x)dx(3)在(-0,+)上,若f(x)在任何有限区间[v,u]c(-0,+)上可积则对VαE(-,+8)J f(x)dx = J" f(x)dx + f+" f(x)dx= lim. J, f(x)dx + lim. J" f(x)dx当且仅当上式右边两个无穷积分都收敛时，左边的无穷积分才收敛注意：f(x)dx 的收敛性与收敛时的值，都与实数a的选取无关
(2) ( , ] 在 − b 上, − →− = b u u b f (x)dx lim f (x)dx (3) ( , ) 在 − + 上, 若f x v u ( ) [ , ] ( , ) 在任何有限区间 − + 上可积， + − + − = + a a f (x)dx f (x)dx f (x)dx →− →+ = + u u a a u u lim f (x)dx lim f (x)dx 当且仅当上式右边两个无穷积分都收敛时，左边的无穷积分才收敛。 注意： + − f (x)dx 的收敛性与收敛时的值，都与实数a的选取无关。 则对 − + a ( , )
2.利用定义讨论无穷积分的敛散性以及求其值方法：先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，无穷积分收敛，极限值就是无穷积分的值：若极限不存在，无穷积分发散。例3：讨论无穷积分[dx的敛散性。xP结论：11 xt-plp±1Jdx=i-pd解：Vu>1In x ip=1(1）当p>1时收敛1(ul-p - 1)p±1值为=31-pP-1[In up=1(2）当p≤时发散0p>1: lim u'-plim ln u = +oop+o0u→+oo+8￥1p>1dx =p-1limdx =xpxFp≤1+8
2. 利用定义讨论无穷积分的敛散性以及求其值 方法：先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，无穷积分收敛， 极限值就是无穷积分的值；若极限不存在，无穷积分发散。 例3： ＋ 讨论无穷积分 的敛散性。 1 1 dx x p = = − − u u p u p x p x p dx p x u 1 1 1 1 ln 1 1 1 1 1 解： 1 = − = − − ln 1 ( 1) 1 1 1 1 u p u p p p = + + = →+ − →+ u p p u u p u lim ln 1 0 1 lim 1 + →+ + = = − 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 p p dx p x dx x u p u p 结论： ＋ 1 1 dx x p 值为 ； 当 时收敛， 1 1 (1) 1 − p p (2)当p 1时发散。 要求熟记
注意：此结论可以推广为：Vα>0I."ddx当p>1时收敛；而当p≤1时发散Y下面再看如何利用此结论解题1Odx的敛散性。例4：讨论无穷积分x(ln x)解题思路：无穷积分是通过定积分及极限来定义，可以考虑用定积分的有关方法如换元积分法或分部积分法来处理工-00Jmudu解：设u=n x，则dx =Ox(ln x)p由上例的结论得：该无穷积分当p>1时收敛；而当p≤1时发散3．利用公式判别无穷积分的敛散性及求无穷积分的值在定积分里，我们有牛顿一莱布尼兹公式：[~ f(x)dx= F(x)|= F(b)- F(a) (其中F(x)是 f(x)的一个原函数)
注意： 当 时收敛；而当 时发散。 此结论可以推广为： ＋ 1 1 1 0 dx p p x a a p 下面再看如何利用此结论解题 例4： ＋ 讨论无穷积分 的敛散性。 2 (ln ) 1 dx x x p 解题思路：无穷积分是通过定积分及极限来定义，可以考虑用定积分的有关 方法如换元积分法或分部积分法来处理 du u dx x x u x p p + = = ＋ 解：设 ，则 2 l n 2 1 (ln ) 1 ln 由上例的结论得：该无穷积分当p 1时收敛；而当p 1时发散。 3. 利用公式判别无穷积分的敛散性及求无穷积分的值 在定积分里，我们有牛顿－莱布尼兹公式： = = − b a b a f (x) dx F(x) F(b) F(a) (其中F(x)是 f (x)的一个原函数）
既然无穷积分是通过定积分及极限来定义，所以也可以考虑用类似的公式来判别无穷积分的敛散性及计算无穷积分。公式：设F(x)是f(x)的一个原函数，则[ f(x)dx = F(x)|t° = lim F(x) - F(a)其中当 lim F(x)存在时,t°f(x)dx收敛，右边求出的就是其值;o当 lim F(x)不存在时, f(x)dx发散。注意：上面的公式可以推广到另外两种无穷积分的情形。1+0讨论无穷积分dx的收敛性，若收敛求其值。例5:001+ x1+00+00解：= lim arctan x - lim arctan xdx = arctan xa+X→+00X→-00X元元=元22dx收敛，其值为元。故无穷积分
既然无穷积分是通过定积分及极限来定义，所以也可以考虑用类似的公式 来判别无穷积分的敛散性及计算无穷积分。 公式： + →+ + = = − a x f x dx F x a F x F a F x f x ( ) ( ) lim ( ) ( ) 设 ( )是 ( )的一个原函数，则 其中当 存在时， 收敛，右边求出的就是其值； + x→+ a lim F(x) f (x) dx 当 不存在时， 发散。 + x→+ a lim F(x) f (x) dx 注意：上面的公式可以推广到另外两种无穷积分的情形。 例5： − + ＋ 讨论无穷积分 dx的收敛性，若收敛求其值。 x 2 1 1 = = − − = = − + + − →+ →− + 2 2 arctan lim arctan lim arctan 1 1 2 dx x x x x x x 解： a − + ＋ 故无穷积分 dx收敛，其值为。 x 2 1 1
三.无界函数的反常积分1.瑕点的定义若函数f(x)在点x.的近旁是无界的，则称x为函数f(x)的瑕点。2.无界函数反常积分的定义定义2:设f(x)在(a,b)上有定义，点a是f(x)的瑕点(f(x)在点a的任一右邻域无界),但在任何闭区间[u,b]c(a,b]上有界且可积。若存在极限lim J'f(x)dx = J(2)则称此极限J为无界函数f(x)在(a,bl上的反常积分（简称瑕积分），记为J =I'f(x)dx并称[~f(x)dx收敛。如果极限（2）不存在，称[f(x)dx发散。注意：与无穷积分类似，从本质上说，当瑕积分[~f(x)dx收敛时它是一个数（是一个极限值）；当瑕积分「f(x)dx发散时它只是一个记号
三. 无界函数的反常积分 1.瑕点的定义 若函数f (x)在点x0的近旁是无界的，则称x0为函数f (x)的 瑕点。 2.无界函数反常积分的定义 定义2： 则称此极限 为 无界）但在任何闭区间 上有界且可积。若存在极限 设 在 上有定义，点 是 的瑕点 在点 的任一右邻域 J f x dx J u b a b f x a b a f x f x a b u a u = → + lim ( ) (2) , [ , ] ( , ] ( ) ( , ] ( ) ( ( ) 无界函数 f (x)在(a,b]上 的反常积分（简称瑕积分），记为 = b a J f (x) dx b a 并称 f (x) dx 收敛。 b a 如果极限（2）不存在，称 f (x) dx 发散。 注意： （是一个极限值）；当瑕积分 发散时它只是一个记号。 与无穷积分类似，从本质上说，当瑕积分 收敛时它是一个数 b a b a f x dx f x dx ( ) ( )