第十二章数项级数
第十二章 数项级数
s 1 级数的收敛性教学目的：让学生掌握级数收敛和发散的概念以及收敛级数的性质教学重点：级数收敛定义和柯西准则教学难点：用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性【教学方法：讲授法
教学目的：让学生掌握级数收敛和发散 的概念以及收敛级数的性质． 教学重点：级数收敛定义和柯西准则． 教学难点：用收敛定义和柯西准则判断 级数的敛散性． 教学方法：讲授法． §1 级数的收敛性
定义1给定一个数列（Un}，对它的各项依次用“+"号连接起来的表达式u +u2+Us+...+un+...(1)（也常简称级数)，其中 Un称为数项级数或无穷级数称为数项级数（1）的通项ZunZun 或简单写作数项级数（1）也常写作：=数项级数（1）的前n项之和，记为Zuk= ui+u, +... +unSn =k=1称它为数项级数（1）的第n个部分和，也简称部分和
定义1 给定一个数列{ un } ，对它的各项依次用“ ， +” 号连接起来的表达式 1 2 3 . . u u u un + + + + + 称为数项级数或无穷级数 （也常简称级数 ）， 其中 un 称为数项级数（1）的通项。 （1） 数项级数（1）也常写作： 1 n n u = 或简单写作 un . 数项级数（1）的前n项之和，记为 sn = 1 n k k u = = 1 2 . , u u un + + + 称它为数项级数（1）的第n个部分和，也简称部分和
定义2若数项级数（1）的部分和数列(S收敛于s(即lims，=s），则称数项级数（1)n>8收敛，称s为数项级数（1）的和，记作S= ui+u,+...+u,+..或s=Eu,若Sn是发散数列，则称数项级数（1）发散例1讨论等比级数（也称几何级数）a+aq+aq? +... +aqn+..(3)的收敛性（a ≠0)
定义2 若数项级数（1）的部分和数列{ sn } 收敛于s(即 ，则称数项级数（1） 收敛，称s为数项级数（1）的和，记作 S= 1 2 . . . n n u u u u + + + + = 或s 若{ sn } 是发散数列，则称数项级数（1）发散。 例1 讨论等比级数（也称几何级数） a+aq+aq 2 +.+aqn+. 的收敛性（a 0). lim n n s → =s ) (3)
解q≠1时，级数（3）的第n个部分和nS, = a+aq+. +aqn-1 -a. I - q1-q因此,n1-q-a(1)当lqk1时, lims,=lim1-q 1-qa此时级数（3）收敛，其和为1-g(i)当lq>1时,lims,=0，级数（3）发n>0散。(iii)当q=1时，Sn=na,级数发散
解 q 1时，级数（3）的第n个部分和 sn = a+aq+.+aqn-1=a . 1 1 n q − q − 因此， （I）当|q|1时， lim n n s → = ，级数（3）发 散。 （iii)当q=1时， sn =na,级数发散
当q=-1时，S2k=0，S2k+1 =a,k=0,1,2,,级数发散总之，lg<1时，级数（3）收敛；lgl≥时，级数（3）发散。例2讨论数项级数1111十+(4)n·(n+l)1.22.33.4的敛散性
当q=-1时， s 2k =0， s 2 1 k+ =a,k=0,1,2,.,级数发散 总之，|q|<1时，级数（3）收敛；|q| 时，级数 （3）发散。 例2 讨论数项级数 1 1 1 1 . . 1 2 2 3 3 4 ( 1) n n + + + + + + （4） 的敛散性
解级数（4）的第n个部分和111Sn1.2n(n+1)2.3(+()(1-)+(1=1n+1由于 lims,=lim(1-因此级数（4）收敛，且111+...=11.22.3n(n + 1)
解 级数（4）的第n个部分和 1 1 1 . 1 2 2 3 ( 1) n n n s = + + + + 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) . ( ) 2 2 3 1 n n = − + − + + − + 1 1 . n 1 = − + 由于 1 (1 ) 1, 1 lim lim n n n n s → → = − = + 因此级数（4）收敛，且 1 1 1 . . 1 1 2 2 3 ( 1) n n + + + + = +
定理12.1（级数收敛的柯系西准则D级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N是的当m>N以及对任意的正整数p,都有I umI + Um+2 + ...+ Um+, k c.(6)根据定理12.1，我们立刻可写出级数（1）发散的充要条件：存在某正数c。，对任何正整数N，mo(> N)和 p。, 有总存在正整数++Um.2 +..+ Um*p.co.(7)I Umo+I +
定理12.1（级数收敛的柯系西准则） 级数（1）收 敛的充要条件是：任给正数 ，总存在正整数N, 是的当m>N以及对任意的正整数p,都有 | . | . 1 2 + + + um+ um+ um+ p （6） 根据定理12.1，我们立刻可写出级数（1）发散的 充要条件：存在某正数 0 ，对任何正整数N， 总存在正整数 m0 （ N) 和 p0 ，有 | . | . 1 2 0 0 0 0 0 um + + um + + + um + p (7)
limun = 0.推论若级数（1）收敛，则n>8例3讨论调和级数1.1.1+=+=+.….+二+.…. 的敛散性23n解这里调和级数满足推论，即：1lim u, = lim=0.2nn>8但令p=m时，有111Um+I +Um+2 +....2mm+2m+1
推论 若级数（1）收敛，则 0. lim = → un n 例3 讨论调和级数 . 1 . 3 1 2 1 1+ + + + + n 的敛散性. 解 这里调和级数满足推论，即： 0. 1 lim = lim = → → n u n n n 但令p=m时，有 | 2 1 . 2 1 1 1 | . | | 1 2 2 m m m um um u m + + + + + + + + = + +
卤驼敢2mGo对任何正整数N,只要m>N2-和p=m就有（7）式成立.所以调和级数是发散的例4应用级数收敛的柯西准则证明级数M1收敛证 由于 lUm+I+Um+2+.+Um+p11(m+1) (m+2)(m+p)
2. 1 | 2 1 . 2 1 2 1 | + + + = m m m 因此，取 0 = 2 1 ，对任何正整数N,只要m>N 和p=m就有（7）式成立.所以调和级数是发散的. 例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数 . 1 2 收敛 n 证 由于 | . | um+1 um+2 um+ p + + + 2 2 2 1 1 1 . ( 1) ( 2) ( ) m m m p = + + + + + +