83几何应用一平面曲线的切线与法线设平面曲线有方程F(x,y)=0(1)给出,它在点P(xo,)的某邻域内满足隐函数定理条件,于是在P。附近所确定的连续可微隐函数y= f(x)(或x=g(y)和方程(1)在P附近表示同一曲线，从而该曲线在点P附近表示同一曲线，从而该曲线在点P。处存在切线和法线，其方程分别为
0 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0(1) ( , ) ( ) ( ( )) 1 , F x y P x y P y f x x g y P P P = = = 设平面曲线有方程 给出，它在点 的某邻域内满足隐函数定理条件，于是在 附近所确 定的连续可微隐函数 或 和方程（） 在 附近表示同一曲线，从而该曲线在点 附近表示 同一曲线，从而该曲线在点 处存在切线和法线 其方 程分别为 一 平面曲线的切线与法线 §3几何应用
-y= f(x)(x-xo) (或x-xo =g(y)(y-yo))11(或x-X=-y-yo)(x-xo)y-yof'(x)g (yo)FF由于f'(x)=(或g (y)=FF1所以曲线（1）在点P处的切线与法线方程为切线: F(xo,yo)(x-x)+F,(xo,y)(y-yo)=0法线: F,(xo,yo)(x-xo)-F(xo,yo)(y-yo)=0
' ' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' ' 0 0 ( )( ) ( ( )( )) 1 1 ( ) ( ( )) ( ) ( ) y y f x x x x x g y y y y y x x x x y y f x g y − = − − = − − = − − − = − − 或 或 ' ' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ( ) ) , 1 ( , )( ) ( , )( ) 0 ( , )( ) ( , )( ) 0 x y y x x y y x F F f x g y F F P F x y x x F x y y y F x y x x F x y y y = − = − − + − = − − − = 由于 或 所以曲线（）在点 处的切线与法线方程为 切线： 法线：
例1求笛卡儿叶形线2(x3+y3)-9xy=0,在点(2,1)处的法线与切线解：设F(x,y)=2(x+y)-9xy,于是F,=6x2-9y,F,=6y2-9x在全平面连续,且F(2,1)=15±0,F,(2,1)=-12±0因此,由公式(2)与(3)分别求的曲线在点(2,1)的切线方程与法线方程分别为15(x-2)-12(y-1)= 0即5x-4y-6 =0,-12(x-2)-15(y-1)=0即4x+5y-13=0二空间曲线的切线与法平面例2求球面x2+y2=z2=50与锥面x2+y2=z2所截出的曲线的点(3,4,5)处的切线与法平面方程
3 3 3 3 2 2 1 2( ) 9 0 2 1 . ( , ) 2( ) 9 , 6 9 , 6 9 (2,1) 15 0, (2,1) 12 0 2 3 2 1 15 2) 12( 1) 0 5 4 x y x y x y xy F x y x y xy F x y F y x F F x y x + − = = + − = − = − = = − − − − = − 例 求笛卡儿叶形线 ，在点（ ，）处的法线与切线 解：设 于是 在全平面连续，且 因此，由公式（ ）与 （ ）分别求的曲线在点（ ，）的切线方程与法线方程分别为 （ 即 6 0, 12( 2) 15( 1) 0 4 5 13 0 y x y x y − = − − − − = + − = 即 2 2 2 2 2 2 2 50 345 x y z x y z + = = + = 二 空间曲线的切线与法平面 例 求球面 与锥面 所截出的曲 线的点（ ，）处的切线与法平面方程
解 设F(x,y,z)=x2 +y2 +z2-50,G(x, y, z) = x? + y? - z?它们在点(3,4,5求出的偏导数和雅可比行列式之值为：aFaFaF8=10,6一OzaxO1aGaGaG8-106Ozayaxa(F,G)a(F,G)a(F,G)和120-160..0a(y,z)a(z,x)a(x,y)
2 2 2 2 2 2 ( , , ) 50, ( , , ) . 345 6, 8, 10, 6, 8, 10 ( , ) ( , ) ( , ) 160, 120, 0 ( , ) ( , ) ( , ) F x y z x y z G x y z x y z F F F x y z G G G x y z F G F G F G y z z x x y = + + − = + − = = = = = = − = − = = 解 设 它们在点（ ，）求出的偏导数和雅可 比行列式之值为： 和
所以曲线在点（3.4.5）处的切线方程为：3(x -3)+ 4(y- 4) = 0y-4z-5x-3即0120-160Z=5法平面方程为：-4(x-4)+3(y-4)+0(z-5)=0,即 4x-3y=0三、曲面的切平面法线设曲平面由方程F(x,y,z)=0 (11)给出,它在点P(xo,yo,z)=0 给出,它在点 P(xo,Jo,z)某邻域内满足隐函数定理条件。于是方程(11D在点P附近确定唯一连续可微的隐函数z=f(x,y)，使得
345 3 4 5 3 3) 4( 4) 0 , , 160 120 0 5 4( 4) 3( 4) 0( 5) 0, 4 3 0 x y z x y z x y z x y − − − − + − = = = − = − − + − + − = − = 所以曲线在点（ ，）处的切线方程为： （ 即 法平面方程为： 即 三、曲面的切平面法线 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) 0 (11) , , ) 0 ( , , ) 11 ( , ) F x y z P x y z P x y z P z f x y = = = 设曲平面由方程 给出，它在点 （ 给出，它在点 某邻域内满 足隐函数定理条件。于是方程（ ）在点 附近确定唯 一连续可微的隐函数 ，使得
ozF(x,y,z) ozF(x,y,z)zo= f(xo,), 且ax-F.(x,y,z)'oy F(x,y,2)由于在点P附近（11）与z=f(x,y)表示同一曲面，从而该曲面在P处有切平面与法线，它们的方程分别为F,(xo,Yo,z0)F(xo, yo,20)(x-x)(y-yo)Z-Zo=F.(xo, yo,z0)F.(xo, yo,z0)X-Xoy-yoZ-Zo与F(xo,Jo,zo)F,(xo, Yo,zo)-1F.(xo, o,z0)F.(xo, Yo,zo)它们可分别表示如下：F(xo, yo,z0)(x -xo)+ F,(xo, yo, zo)(y-yo)+F.(xo, yo, zo)(z -zo)= 0 (12)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , ) , , ( , , ) ( , , ) 11 ( , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) x y z z x y z z z z F x y z F x y z z f x y x F x y z y F x y z P z f x y P F x y z F x y z z z x x y y F x y z F x y z = = − = − = − = − − − − 且 由于在点 附近（ ）与 表示同一曲面，从而 该曲面在 处有切平面与法线，它们的方程分别为 与 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) 1 ( , , ) ( , , ) ( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0 (12) x y z z x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z F x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z − − − = = − − − − + − + − = 它们可分别表示如下：
x-Xoz-Zoy-yo与F(xo, yo, zo) F,(xo,o,zo)F(xo, yo,zo)例3 求椭球面x2+2v2+3z2=6在（1,1,1）处的切平面方程与法线方程。解 设F(x,y,z)= x2+2y2+3z2-6由于F =2x,F,=4y,F,=6z在全空间上处处连续。在(1,1,1)处F=2，F=4，F.=6。因此由公式(12)(13)得切平面方程2(x -1)+ 4(y-1)+6(z -1) =0,即x+ 2y+3z = 6-y-1z-1x-1和法线方程23
2 2 2 2 2 2 3 2 3 6 111 ( , , ) 2 3 6 2 , 4 , 6 111 2 , 4 6 12 13 2( 1) 4( 1) 6( 1) 0, 2 3 6 1 1 1 1 2 x y z x y z x y z F x y z x y z F x F y F z F F F x y z x y z x y z + + = = + + − = = = = = = − + − + − = + + = − − − = = 例 求椭球面 在（，）处的切平面 方程与法线方程。 解 设 。由于 在全空间上处处连续。在（，）处 ， 。因此由公式（ ）（、 ）得切平面方程 即 和法线方程 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (13) ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z − − − 与 = =