84极值条件定理18.6：设在条件(2)的限制下，求函数(3)的极值问题，其中f与β(k=1,2,m)在区域D内有连续的一阶偏倒数若D的内点 P(x(°)x(o))是上述问题的极值点，且雅可比[apgOxOxn矩阵(13）的秩为m，则存在m个常数a0aQmmaxiOxnAPo
0 (0) (0) 0 1 1 1 1 1 18.6 2 3 1, 2, ) ( , ) (13) k n n m m n p f k m D D P x x x x m m x x = 定理 ： 设在条件（ ）的限制下，求函数（ ）的极值 问题，其中 与 （ 在区域 内有连续的 一阶偏倒数若 的内点 是上述问题 的极值点，且雅可比 矩阵 的秩为 ，则存在 个常数 §4极值条件
2）使得（(x(），2.2）为拉格郎日函数（12）的稳定点，即（x(),x(),2()·.20)为下述n+m个方程：apk=0afXLOx1axmafapkZ=0MLx+的解。OxnOxnk=1L =p(x,...,xn)=0Lm=Pm(xi,.",xn)=0
0 0 (0) (0) (0) (0) 1 1 1 (0) (0) (0) (0) 1 1 , , , , ) 12 , , , , ) : m n m n m x x x x n m + （ ） ， （ ） 使得（ 为拉格郎日函 数（ ）的稳定点，即（ 为下述 个方程 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 ( , , ) 0 ( , , ) 0 n m k x k m k x k n n k n m n f L x x f L x x L x x L x x = = + = = + = = = = = 的解
当n=2,m=1时,定理的正确性L已在前面作了说明对于一般情形的证明可参阅第二十三章的定理23.19例1用拉格郎日乘数法重新求开头提出的水箱设计的问题。解这时所求问题的拉格郎日函数是L(x, y, z, a) = 2(xz + yz) + xy+ a(xyz -v)对L求偏倒数，并令它们都等于0：
2, 1 , , 23.19 ( , , , ) 2( ) ( ) n m L L x y z xz yz xy xyz L = = = + + + − 当 时 定理的正确性 已在前面作了说明 对于一般情形的证明可参阅第二十三章的定理 例１ 用拉格郎日乘数法重新求开头提出的水箱设计的 问题。 解 这时所求问题的拉格郎日函数是 对 求偏倒数，并令它们都等于０：
L x=2z+ y+1yz =0,L,=2z+x+axz=0,(14)L, = 2(x +y)+ xz =0,L, = xyz - V = 0.求方程组（14）的解，得4x= y=2z =32V,:(15)32V依题意，所求水箱的表面积在条件（1）下确实存在最小E值由（15）知当高为3长与宽为高的2倍时，表面积最小4最小值s=3(2v)为
3 3 3 2 2 0, 2 0, (14) 2( ) 0, 0. 14 4 2 2 , . (15) 2 1 15 , 2 4 3(2 ) x y z L z y yz L z x xz L x y xz L xyz x y z s = + + = = + + = = + + = = − = = = = = − = 求方程组（ ）的解，得 依题意，所求水箱的表面积在条件（）下确实存在最小 值由（ ）知当高为 长与宽为高的 倍时，表面积最小 最小值 3
例2抛物面x2+?=z被平面x+y+z=1截成一个椭圆。求这个椭圆到原点的最长与最短距离解：这个问题是求函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在条件x2+y2-z=0及x+y+z-1=0下的最大值，最小值问题。应用拉格朗日乘数法，令L(x,y,z, a, μ) = x? +y?+z?+a(x? +y? -z)+μ(x+ y+z-1)对L求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( , , ) 0 1 0 ( , , , , ) ( ) ( 1) 0 x y z x y z f x y z x y z x y z x y z L x y z x y z x y z x y z L + = + + = = + + + − = + + − = = + + + + − + + + − 例 抛物面 被平面 截成一个 椭圆。求这个椭圆到原点的最长与最短距离。 解：这个问题是求函数 在条件 及 下的最大值， 最小值问题。应用拉格朗日乘数法，令 对 求一阶偏导数，并令它们都等于 ，则有
L,=2x+2x2+μ=0L,=2y+2ya+u=0L,=2z-+μ=0L, =x?+y2 -z=0L, =x+y+z-1=0求得这方程的解为=-3±，113,μ=-7±33-1±V3= 2+ ...(6)与x= y=Z32
2 2 2 2 0 2 2 0 2 0 0 1 0 x y z L x x L y y L z L x y z L x y z = + + = = + + = = − + = = + − = = + + − = 5 11 3 3 7 3 3 3 1 3 , 2 3 (16) 2 x y z = − = − − = = = 求得这方程的解为 ， ， 与
(16)就是拉格朗日函数L(x,y,z,,u)的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得。由于所求问题存在最大值与最小值：函数f在有界闭集((x,y,z)lx?+y?=z,x+y+z=1)上连续,必存在最大值与最小值故由(-1±V,-1±V3,2千/3)所求得22两个值9千5/3，正是该椭圆到原点的最长距离/9+5V与最短距离/9-53
2 2 (16) ( , , , , ) { , , ) | , 1} 1 3 1 3 ( , ,2 3) 2 2 9 5 3 9 5 3 9 5 3. L x y z f x y z x y z x y z f + = + + = − − + − 就是拉格朗日函数 的稳 定点，且所求的条件极值点必在其中取 得。由于所求问题存在最大值与最小值 函数 在有界闭集 （ 上连续， 必存在最大值与最小值 故由 所求得 两个值 ，正是该椭圆到原点的 最长距离 与最短距离
11例3 求f(x,,z)= xyz 在条件x(x>0,>0,z>0,r>0)下的极小值:并证明不等式3(二++)-1≤/abc.b其中a.b,c为任意正实数。解：设拉格郎日函数为L(x, y, z, a) = xyz + a(x对L求偏导数并令它们都等于0
1 3 1 1 1 1 3 ( , , ) ( 0, 0, 0, 0) 1 1 1 3 ) . , , 1 1 1 1 ( , , , ) ( ) 0 f x y z xyz x y z r x y z r abc abc abc L x y z xyz x y z r L − = + + = + + = + + + − 例 求 在条件 下的极小值； 并证明不等式（ 其中 为任意正实数。 解: 设拉格郎日函数为 对 求偏导数并令它们都等于
0L.=yz一0Ly1=zx则有(17)0L=xyX1II0xyZy111xyz由方程组（17）的前三式，易得u1元Zxy1从而把它代入（17）的的第四式，求出μ二3r函数L的稳定点为x==z=3r,=(3r)4
1 1 1 17 xyz x y z 由方程组（ ）的前三式，易得 = = = = 2 2 2 0 0 17 0 1 1 1 1 0 x y z L yz x L zx y L xy x L x y z r = − = = − = = − = = + + − = 则有 （ ） 4 1 17 . 3 3 , (3 ) r L x y z r r = = = = = 把它代入（ ）的的第四式，求出 从而 函数 的稳定点为
为了判断f(3r,3r,3r)=(3r)3是否为所求条件￥11极（小）值，我们可把条件看作隐函数二十一+xyzz=z(x,y),并把目标函数f(x, y,z) = xyz(x, y) = F(x, y)看作f与z=z(x,y)的复合函数，这样就可应用极值充分条件来作出判断。为此计算如下：2X1X
3 2 2 2 2 2 2 (3 ,3 ,3 ) (3 ) 1 1 1 1 ( , ), ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 , , x y 1 f r r r r x y z r z z x y f x y z xyz x y F x y f z z x y z z x z z x y z = + + = = = = = − − = = − = − − 为了判断 是否为所求条件 极（小）值，我们可把条件 看作隐函数 并把目标函数 看作 与 的复合函数，这样就可应用极值 充分条件来作出判断。为此计算如下：