84旋转曲面面积自的要求：能熟练掌握微元法，会用微元法计算曲面的面积重点难点：重点是微元法、用微元法将实际问题抽象成定积分.难点微元法的应用学时安排：（2学时）教学过程如下
1 目的要求:能熟练掌握微元法,会用微元法计算曲 面的面积. 重点难点: 重点是微元法、用微元法将实际问题 抽象成定积分. 难点微元法的应用. 学时安排:(2学时) 教学过程如下: §4 旋转曲面面积
一、微元法乙f(5)Ax, 如果所研究的定积分[f(x)dx 是和式的极限 lim [TI-0i1a问题总可以按“分割、近似求和与取极限”三个步骤能归结为求这种和式的极限，那么，应用定积分就可以求出问题的结果。为了使b定积分的应用问题能简便地回归到求定积分「f(x)dx上来，我们往往a采用以下介绍的方法一微元法。何谓微元法？一个待求的量 若要用定积分表示出来，它必须要具备两个特性：2
2 0 1 ( ) lim ( ) , ( ) b n i i T a i b a f x dx f x f x dx Q → = 定积分 是和式的极限 如果所研究的 问题总可以按“分割、近似求和与取极限”三个步骤能归结为求这 种和式的极限，那么，应用定积分就可以求出问题的结果。为了使 定积分的应用问题能简便地回归到求定积分 上来，我们往往 采用以下介绍的方法—微元法。 何谓微元法？ 一个待求的量 若要用定积分表示出来，它必须要具备两个特性： 一、微元法
1、Q是一个与其变量 x的变化区间[a,b]有关的量;2）、O对于[α,b具有代数的可加性，即Q=Z40其中△Q是[a,b的子区间[x,x+△x]所对应的部分量。如果△Q的近似表达式是: △Q ~ f(x)dx = dQ则要计算的量 α=ZAQ=jdo=j r(x)dx只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果（所求量○的最终值）这种方法称为微元法，其特点是直观、简单、方便。在应用定积分解决实际问题时经常被使用。使用微元法的关键就是正确给出△Q的近似表达式，即3
3 1 [ , ] 2 [ , ] [ , ] [ , ] ( ) , ( ) . ( b b a a Q x a b Q a b Q Q Q a b x x x Q Q f x dx dQ Q Q dQ f x dx Q = + = = = = ）、 是一个与其变量 的变化区间 有关的量； ）、 对于 具有代数的可加性，即 其中 是 的子区间 所对应的部分量。如果 的近似表达 式是： 则要计算的量 只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果 所求量 的最终值） 这种方法称为微元法，其特点是直观、简单、方便。在应用定积分解 决实际 Q 问题时经常被使用。 使用微元法的关键就是正确给出 的近似表达式，即
△Q ~ f(x)dx = dQ △Q = f(x)△x +o(△x), 若不能保证:△Q= f(x)△x +o(△x)，则△Q就不能用f(x)△x作为近似表达式，否则用“微元法”将导致错误的结果。要严格检验：△O一f(x)△x是否为△x的高阶无穷小，往往不是一件容易的事，因此对△Q ～f(x)△x的合理性要特别小心。对于前面所学过的平面图形面积公式、立体体积公式和弧长公式都可以用微元法得到。二、旋转曲面的面积1)、设平面光滑曲线C由直角坐标方程 y= f(x),x E[a,b],（不妨设 f(x)≥0）给出，则曲线C绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为：S = 2元[ f(x) /1 +[f(x)] dx2
4 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 Q f x dx dQ Q f x x o x Q f x x o x Q f x x Q f x x x Q f x x = = + = + − 若不能保证： ，则 就不能用 作为近似表达式，否则用 “微元法”将导致错误的结果。要严格检验： 是否为 的 高阶无穷小，往往不是一件容易的事，因此对 的合理性要 特别小心。 对于前面所学过的平面图形面积公式、立体体积公式和弧长公式 都可以用微元法得到。 二、旋转曲面的面积 ）、设 2 ( ), [ , ], ( ) 0 2 ( ) 1 ( ) . b a C y f x x a b f x C x S f x f x dx = = + 平面光滑曲线 由直角坐标方程 （不妨 设 ）给出，则曲线 绕 轴旋转一周所得旋转曲面面积为：
证明（如图，用微元法导出公式）Sy=f (x)2)、若平面光滑曲线C由参数方程：x= x(t)，y=y(t),t E[α,βl
5 . 证明（如图，用微元法导出公式） y x b a S y=f(x) x x x + o 2 ( ) ( ), [ , ], ）、若平面光滑曲线由参数方程： ， C x x t y y t t = =
给出，且：y(t)≥0，则曲线C绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为:S = 2元 y(t)/[x()] +[y()] dt3）、若平面光滑曲线C由极坐标方程：r =r(の),θe[α，β]([α，βC[0,元]，r(O)≥0),则曲线C绕极轴旋转一周所得旋转曲面面积为:S = 2元J r(0) sin0 /(r(0)]° +[r(0)] d0α例1 计算圆 x2 + y2 = R2 在[xj,x2] c[-R,R]上的弧段绕x轴旋转一周所得旋球带的面积。X例2 计算由星形线：x = αcos t，y= asin2 t绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积。星形线6
6 2 2 2 2 ( ) 0 2 ( ) ( ) ( ) . 3 ( ), [ , ] ([ , ] [0, ], ( ) 0 ), 2 ( )sin ( ) ( ) y t C x S y t x t y t dt C r r r C S r r r d = + = = + 给出，且： ，则曲线 绕 轴旋转一周所得旋转曲面面积为： ）、若平面光滑曲线 由极坐标方程： 则曲线 绕极轴旋转一周所得旋转曲面面积为： 2 2 2 1 2 3 3 1 [ , ] [ , ] 2 cos , sin x y R x x R R x x a t y a t x + = − = = 例 计算圆 在 上的弧段绕 轴旋转一周所得旋球带的面积。 例 计算由星形线： 绕 轴旋转一周所得旋转曲面的面积。 6 4 2 -2 -4 -6 -5 5 C x y o 星形线
课后记微元法的一般步骤1把待求量放在某一轴的某一区间[a,b上2在区间[a,b] 内任取一小区间[x,x+dx]计算这一区间上所求量微分形式的近似值，即为所求量的微元3对微元在区间[a,b]】上的定积分即为所求对学生掌握微元法有一定的帮助
7 课后记 [ , ] a b 微元法的一般步骤 1把待求量放在某一轴的某一区间 上. 2在区间 内任取一小区间 计算这一区间 上所求量微分形式的近似值,即为所求量的微元. 3对微元在区间 上的定积分即为所求. 对学生掌握微元法有一定的帮助. [ , ] a b [ , ] a b [ , ] x x dx +