*S3 上极限和下极限数列的上极限与下极限是非常有用的概念，通过它们可得出数列极限存在的另一个充要条件.在下册第十二、十四章讨论级数收敛性时，常会遇到所考虑的某些数列不存在极限的情形，那时需要用上极限或下极限来解决问题.此外，对于不少后继课程来说，上（下）极限也是不可缺少的工具。一、上（下）极限的基本概念二、上（下）极限的基本性质返回前页后页
前页 后页 返回 *§3 上极限和下极限 数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 通过 一、上(下)极限的基本概念 程来说, 上(下)极限也是不可缺少的工具. 极限或下极限来解决问题. 此外, 对于不少后继课 考虑的某些数列不存在极限的情形, 那时需要用上 册第十二、十四章讨论级数收敛性时, 常会遇到所 它们可得出数列极限存在的另一个充要条件. 在下 二、上(下)极限的基本性质 返回
一、上(下)极限的基本概念定义1若数列（x，满足：在数x的任何一个邻域内均含有(x，中的无限多项，则称x是数列(xn)的一个聚点注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于前者要求“含有无限多个点”，后者要求“含有无限多个项”.现举例如下：常数列(a,=a)只有一个聚点：a前页后页返回
前页 后页 返回 一、上(下)极限的基本概念 注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于: 定义1 若数列 { } n x 满足: 在数 x0 的任何一个邻域 内均含有 { } xn 中的无限多项, 则称 x0 是数列 { } n x 常数列 ( ) n a a 只有一个聚点: a . 的一个聚点. 限多个项”. 现举例如下: 前者要求 “含有无限多个点”, 后者要求 “含有无
{（-1)"）作为点集来说它仅有两个点，故没有聚点；但作为数列来说，它却有两个聚点：1和-1.数列 ( sin ) 有五个聚点: -1, -V2/2, 0, V2/2, 1.从数列聚点的定义不难看出，x.是数列x，的聚点的一个充要条件是：存在(x的一个子列(xnXn, → Xo, k → 0.定理7.4有界数列至少存在一个聚点，并且有最大聚点和最小聚点前页后页返回
前页 后页 返回 定理7.4 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大 但作为数列来说, 它却有两个聚点: 1 1. 和 − 有五个聚点: − − 1, 2 2, 0, 2 2, 1. π { sin } 4 n 数列 0 , . nk x x k → → 从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列 { } xn 的聚 { ( 1) } n − 作为点集来说它仅有两个点, 故没有聚点; 点的一个充要条件是: 存在 的一个子列 { }, nk { } x n x 聚点和最小聚点
证 设{x,为有界数列，由致密性定理，存在一个收敛子列(xmJ,Xnk→Xo (k→00),于是x是(xn)的一个聚点。又设E=x|x是(x的聚点,由于E非空有界，故由确界原理，存在A= supE, A=inf E.下面证明A是Ix,的最大聚点，亦即AEE.首先，由上确界的性质,存在 a,EE,使a,→A.前页后页返回
前页 后页 返回 又设 E x x x = | { } , 是 的聚点 n 由于 E 非空有界, 故由确界原理, 存在 A E A E = = sup , inf . 下面证明 A 是 { xn } 的最大聚点, 亦即 A E. 证 设 { }n x 为有界数列, 由致密性定理, 存在一个 的一个聚点. 0 { }n 收敛子列 { }, ( ), x x x k n n k k → → 0 于是 x x 是 首先, 由上确界的性质, 存在 a E, n 使 a A. n →
因为a,是(x的聚点，所以对任意正数ε,在区间(a;-ε,a;+ε)内含有(x,)的无限多项.现依次令8, =1, 存在xm, 使/xm-a,n), 使 / xm, -a2 lne-1),使 /xm-a,k&kk后页返回前页
前页 后页 返回 1, 1 = 存在 , n1 x 使 | | 1; xn1 − a1 , 2 1 2 = 存在 2 2 1 ( ), n x n n 使 2 2 1 | | ; 2 n x a − ( , ) i i a a − + { }n 内含有 x 的无限多项. 现依次令 , 1 k k = 存在 1 ( ), n k k k x n n − 使 ; 1 | | k x a nk − k 因为 ai 是 { } xn 的聚点, 所以对任意正数 , 在区间 .
这样就得到了（xn)的一个子列(xm)，满足：lim Xm = lim(Xm -ak)+ lim ax =A ,k-8k→8k→8即证得A也是(x的一个聚点，所以AEE.同理可证AEE定义2有界数列(x,的最大聚点A与最小聚点A分别称为(x，的上、下极限,记为A= lim xn, A= lim Xnon→0n→8后页返回前页
前页 后页 返回 这样就得到了 { xn } 的一个子列 { }, 满足: nk x lim lim ( ) lim , n n k k k k k k k x x a a A → → → = − + = A E. 同理可证 A E. 定义 2 有界数列 { } xn 的最大聚点 A 与最小聚点 A 分别称为 { }n x 的上、下极限, 记为 lim , lim . n n n n A x A x → → = = 即证得 { } , A x 也是 的一个聚点 所以 n
注由定理7.4得知，有界数列必有上、下极限这样，上、下极限的优越性就显现出来了：一个数列若有界，它的极限可以不存在，此时想通过极限来研究该数列往往是徒劳的：但是有界数列的上、下极限总是存在的，这为研究数列的性质提供了一个新的平台前页后页返回
前页 后页 返回 注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 提供了一个新的平台. 的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数列 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过 这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 一个
例1考察以下两个数列的上、下极限：=0 (= lim -);limimn-nn-onn→nnnlim (-1)"lim(-1)11n+1n+1n-8n→8从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限之间存在着的内在联系．详细讨论请见下文后页返回前页
前页 后页 返回 例1 考察以下两个数列的上、下极限: lim ( 1) 1, lim ( 1) 1. 1 1 n n n n n n → n n → − = − = − + + 1 1 1 lim lim 0 ( lim ); n n → → n n n n→ = = = 从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限 之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文
二、上(下)极限的基本性质由上、下极限的定义，立即得出：定理7.5对任何有界数列(x，l，有lim , ≤ lim Xn(1)n→8n→8下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系.有界数列x，存在极限的充要条件是：定理7.6lim x, = lim xn(2)n→8n→0后页返回前页
前页 后页 返回 二、上(下)极限的基本性质 由上、下极限的定义, 立即得出: 定理7.5 对任何有界数列 { }, xn 有 下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关 系. 定理7.6 有界数列 { }n x 存在极限的充要条件是: lim lim . n n n n x x → → (1) lim lim . n n n n x x → → = (2)
证 设 lim x,= A. 对于任意正数 ε, 在 U(A; ε)n→0之外x，只有有限项.这样，对任意的B±A.若LB-_AI>0, 那么在 U(B;80)内(此时必取 6 = 12在U(A;ε)之外）(x，}只有有限项.这就是说，B不是x的聚点，故x仅有一个聚点A，从而lim x, = lim xnn-→0n-→8反之，若上式成立，则(x,的聚点惟一（设为A)，前页后页返回
前页 后页 返回 lim lim . n n n n x x → → = 证 设 lim . n n x A → = 对于任意正数 , 在 U A( ; ) 之外 {xn } 只有有限项. 这样, 对任意的 B A , 若 0 在 之外 U A( ; ) ) {xn } 只有有限项. 这就是说, B 不是 {xn } 的聚点, 故 {xn } 仅有一个聚点 A, 从而 0 那么在 内( 此时必 | | 0, 2 B A − = 0 取 U B( ; ) 反之, 若上式成立, 则 {xn } 的聚点惟一 (设为 A)