S5无穷大量与无穷小量由于 lim f(x)= A等同于 lim[f(x)-A]= 0, 因x→xox-→xo此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是“数学分析”也称为“无穷小相同的·所以有人把分析”一、无穷小量二、无穷小量阶的比较三、无穷大量四、渐近线返回前页后页
前页 后页 返回 二、无穷小量阶的比较 §5 无穷大量与无穷小量 由于 等同于 因 0 lim[ ( ) ] 0, x x f x A → − = 0 lim ( ) x x f x A → = 分析”. 相同的. 所以有人把 “数学分析” 也称为 “无穷小 此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是 四、渐近线 三、无穷大量 一、无穷小量 返回
一、无穷小量定义1设f在点x.的某邻域U（x）内有定义，若 lim f(α)=0，则称f为x→x,时的无穷小量x →xo若f在点x,的某个空心邻域内有界，则称f为x一x.时的有界量类似地可以分别定义f为x-→x,x→x,x→00,x→+00, x→-00时的无穷小量和有界量返回前页后页
前页 后页 返回 一、无穷小量 定义1 设 f 在点x0的某邻域U (x0 )内有定义， lim ( ) 0, 0 = → f x x x 若 . 则称 f 为 x → x0时的无穷小量 类似地可以分别定义 f 为 时的无穷小量和有界量. . x → x0 时的有界量 0 若 f x 在点 的某个空心邻域内有界， 则称 f 为 , , , → 0 → 0 → + − x x x x x x → +, x → −
例如：x-1为x→1时的无穷小量：V1-x2为x→1-时的无穷小量；sinx为x→8时的无穷小量；xsinx为x一→时的有界量，显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷小量.对于无穷小量与有界量，有如下关系：后页返回前页
前页 后页 返回 显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷 例如: x − 1为 x → 1 时的无穷小量； 对于无穷小量与有界量，有如下关系： 1 − x 2 为 x → 1 − 时的无穷小量 ； sin ; x x x 为 时的无穷小量 → sin . x x 为 时的有界量 → 小量
1.两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是无穷小量2.无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量性质1可由极限的四则运算性质直接得到下面对性质2加以证明，设 lim f(x)=0,I g(x)/≤ M, x eU(x,). 对于任意X→xo的ε>0,因为 lim f(x)=0,所以存在S>0,使得当x→xo8从而0</x-x,/<时, 1 f(x)/<M +1后页返回前页
前页 后页 返回 1. 两个(类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是 2. 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量. 性质1可由极限的四则运算性质直接得到. 的 0, 因为 lim ( ) 0, 所以 0 = → f x x x 存在 0, 使得当 无穷小量. 下面对性质２加以证明. 0 0 | | , | ( ) | , 1 x x f x M − + 时 从而 0 0 lim ( ) 0, | ( ) | , ( ). x x f x g x M x U x → 设 对于任意 =
1 f(x)g(x) k .这就证明了f(x)g(x)是x→x,时的无穷小量例如:x为 x→0 时的无穷小量，sin1为x→0 时的有界量，那么xsinl为x→0 时的无穷小量应当注意，下面运算的写法是错误的：= lim x . lim sin =lim xsin -=0x-→0x x→0 x-0x后页返回前页
前页 后页 返回 0 这就证明了 f x g x x x ( ) ( ) . 是 → 时的无穷小量 例如: x 为 x → 0 时的无穷小量，sin 1 x 为 x → 0 时 0 . 1 的有界量，那么 xsin x 为 x → 时的无穷小量 0. 1 lim lim sin 1 lim sin 0 0 0 = = → → → x x x x x x x 应当注意, 下面运算的写法是错误的： | ( ) ( ) | . f x g x
从几何上看，曲线y=xsin在x=0近旁发生无限密集的振动，其振幅被两条直线y=土x所限制y0.1y=x1y=xsin0.05xX0.1-0.1-0.05y=-X-0.1前页后页返回
前页 后页 返回 x y x 1 从几何上看，曲线 = sin 在 x = 0 近旁发生无 限密集的振动，其振幅被两条直线 y = x 所限制. y -0.1 -0.05 0.05 0.1 -0.1 -0.05 O 0.05 0.1 x y = x x y x 1 = sin y = −x
二、无穷小量阶的比较两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积仍是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给出如下定义。设当x→x,时，f(x),g(x)均是无穷小量.(a) =0 则称 x-→ x 时 (x) 是关于 g(g)1. 若 limg(x)x-→xo后页返回前页
前页 后页 返回 二、无穷小量阶的比较 两个相同类型的无穷小量，它们的和、差、积仍 ( ) ( ) x x f (x) g(x) g x f x x x 1. 若 lim 0，则 称 0 时 是关于 0 = → → ( ), ( ) . 设当 x → x0 时，f x g x 均是无穷小量 出如下定义. 两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给 这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察 是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的
的高阶无穷小量，记作f(x) =o(g(x)) (x→x) .当f(x）为x→x,时的无穷小量时，我们记f(x)=0(1) (x→ x,) 例如:1-cosx =o(x)(x→ 0);sin x = o(1) (x→ 0);xk+1 =0(xk) (x→0, k >0) 后页返回前页
前页 后页 返回 的高阶无穷小量，记作 ( ) ( ( )) ( ) . x o g x x x0 f = → ( ) (1) ( ) . x o x x0 f = → ( ) ( 0, 0 ) . 1 = → + x o x x k k k sin x = o (1) (x → 0 ); 例如： 1 − cos x = o(x) (x → 0 ) ; 0 当 为 时的无穷小量时，我们记 f x x x ( ) →
2.若存在正数 K和 L，使得在xo的某一空心邻域U(x) 内, 有f(x)L≤≤M,g(x)则称f(x)与g(x)是x→xo时的同阶无穷小量根据函数极限的保号性，特别当f(x)lim=C±0g(x)x-→xo时，这两个无穷小量一定是同阶的例如：当x→0时，1-cosx与x2是同阶无穷小量；前页后页返回
前页 后页 返回 2. 若存在正数 K 和 L，使得在 x0 的某一空心邻域 ( ) U x0 内，有 , ( ) ( ) M g x f x L 根据函数极限的保号性，特别当 0 ( ) ( ) lim 0 = → c g x f x x x 时，这两个无穷小量一定是同阶的. 例如: 当 x → 0 时, 1− cos x 与 2 x 是同阶无穷小量; 则称 与 是 0 x → x 时的同阶无穷小量. f (x) g(x)
1当x→0 时，x与x2+sin是同阶无穷小量Xf(x)≤L,3.若两个无穷小量在U（x）内满足：g(x)则记 f(x)=0(g(x)) (x→ xo)f(x)为x→x,时的有界量时，我们记f(x)=0(1) (x→x)应当注意，若f(x)，g(x)为x→x,时的同阶无穷小量，当然有后页返回前页
前页 后页 返回 3. 若两个无穷小量在 ( ) U x0 内满足: , ( ) ( ) L g x f x 则记 ( ) ( ( )) ( ). x O g x x x0 f = → 当 x → 0 时，x 与 + x x 1 2 sin 是同阶无穷小量. ( ) , f x 为 x → x0 时的有界量时 我们记 ( ) (1) ( ) . x O x x0 f = → 应当注意，若 f (x) , g(x) 为 x → x0 时的同阶无 穷小量，当然有