S2 第二型曲面积分第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体从曲面一侧流向另一侧的流量.与第二型曲线积分相类似，第二型曲面积分与曲面所取的方向有关，这就需要先定义“曲面的侧”。曲面的侧二、第二型曲面积分的概念三、第二型曲面积分的计算四、两类曲面积分的联系前页后页返回
前页 后页 返回 §2 第二型曲面积分 第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体 从曲面一侧流向另一侧的流量. 与第二型曲线 积分相类似, 第二型曲面积分与曲面所取的方 向有关, 这就需要先定义“曲面的侧”. 一、曲面的侧 二、第二型曲面积分的概念 三、第二型曲面积分的计算 四、两类曲面积分的联系 返回
一、曲面的侧设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面（或法线），曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，另一个指向就是负方向.又设 M,为S上任一点,L为 S上任一经过点M。且不超出S边界的闭曲线.当S上的动点M从M出发沿L连续移动一周而回到M,时，如果有如下特征：出发时M与M,取相同的法线方向,而回来时仍保持原来的法线方向不变，则称该曲面S是双侧的后页返回前页
前页 后页 返回 一、曲面的侧 设连通曲面S 上到处都有连续变动的切平面 (或法 线), 曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取 定其中一个指向为正方向时, 另一个指向就是负方 向. 又设 M0 为S 上任一点, L为 S上任一经过点 0 M , 且不超出 S 边界的闭曲线. 当S 上的动点M 从 M0 出发沿L 连续移动一周而回到 M0 时,如果有如下特 征 M0 : 出发时M 与 取相同的法线方向, 而回来时仍 保持原来的法线方向不变,则称该曲面S 是双侧的
否则,若M由某一点M,出发,沿S上某一封闭曲线回到M。时,其法线方向与出发时的方向相反,则称S是单侧曲面我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面.单侧曲面的一个典型例子是默比乌斯(Mibius)带.它的构造方法如下:取一矩形长纸条ABCD(如图22-4(a),将其一端扭转180°后与另一端粘合在一起(即让A与C重合,B与D重合,如图22-4(b)所示)后页前页返回
前页 后页 返回 否则, 若 M 由某一点 M0 出发, 沿S 上某一封闭曲线 回到 M0 时, 其法线方向与出发时的方向相反, 则称 S 是单侧曲面. 我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面. 单侧曲面的 一个典型例子是默比乌斯(Möbius)带. 它的构造方 法如下: 取一矩形长纸条ABCD (如图22-4(a)), 将其 一端扭转 180 后与另一端粘合在一起(即让A 与C 重合, B与D重合, 如图22-4(b)所示)
默比乌斯（Mobius.A.F.1790一1868德国）BDBV+AC(b)(a)图22-4前页后页返回
前页 后页 返回 图22 4 − A B C D (a) ACBD M0 (b) 默比乌斯( Möbius,A.F. 1790－1868, 德国 )
通常由z= z(x,J)所表示的曲面都是双侧曲面,其法线方向与z轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧另一侧称为下侧.当S为封闭曲面时，法线方向朝外的一侧称为外侧，另一侧称为内侧.习惯上把上侧作为正侧，下侧作为负侧；又把封闭曲面的外侧作为正侧，内侧作为负侧前页后页返回
前页 后页 返回 通常由 z z x y = ( , ) 所表示的曲面都是双侧曲面, 其法 线方向与z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧, 另一侧称为下侧. 当 S 为封闭曲面时,法线方向朝外 的一侧称为外侧，另一侧称为内侧. 习惯上把上侧 作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为 正侧, 内侧作为负侧
二、第二型曲面积分的概念先考察一个计算流量的问题.设某流体以流速v= P(x, y,z) i +Q(x, y,z) j+R(x,y,z) k从曲面S的负侧流向正侧（图22-5),其中P,Q,R为所讨论范围上的连续函S二数,求在单位时间内流过(5n,5.)曲面S的总流量E设在s上任一点(x,y,z图22-5处的正向单位法向量为后页返回前页
前页 后页 返回 v P x y z Q x y z R x y z = ( , , ) i + ( , , ) j + ( , , ) k 二．第二型曲面积分的概念 先考察一个计算流量的问题. 设某流体以流速 从曲面S 的负侧流向正侧(图22-5), 其中 P, Q, R 为 所讨论范围上的连续函 数, 求在单位时间内流过 曲面 S 的总流量 E. 设在 S 上任一点 ( , , ) x y z 处的正向单位法向量为 图22 5 − S ( , , ) i i i n v Si
n = (cosα,cosβ,cosy)这里 α, β,都是x,y,z的函数.则单位时间内流经小曲面块S,的流量d, ~ v(Si,ni,S).n(Si,ni,S,)AS=[P(5,n;,5,)cosα, +Q(5,ni,S,)cos β+R(5,n;,S,)cos;1AS;其中 M,(5,n;,S,)E S,是任意取定的一点;ni=(cosα;，cosβ;，cos)是点M,处的单位法向量；AS,cosα;，△AS,cosβ,，△S,cosy;分别是S在坐标面后页返回前页
前页 后页 返回 n = (cos ,cos ,cos ), 这里, , 都是x, y, z 的函数. 则单位时间内流经 小曲面块 Si 的流量 ( , , ) ( , , ) i i i i i i i i v n S [ ( , , )cos ( , , )cos P Q i i i i i i i i = + ( , , )cos ] , R S i i i i i + 其中 ( , , ) M S i i i i i 是任意取定的一点; i (cos , cos , cos ) n = i i i 是点 处的单位法向量; Mi 分别是 Si cos , cos , cos S S S i i i i i i 在坐标面
yz, zx,xy 上投影区域的近似面积,分别记作 △Si(x)△Si(zx),△Si(x)·于是单位时间内由 S,的负侧流向正侧的流量Φ也就近似等于P(5,n;,S,)AS(z) +Q(5,n,S:)ASi(x) + R(5,n,S)ASi()所以,单位时间内由S的负侧流向正侧的总流量@=Z@,= limZ[P(5,n,5,)AS(s)ITI-→>0i-1i-1+Q(5,n;,5,)ASi(x) + R(5,n;,5)ASi()]这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第后页返回前页
前页 后页 返回 ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) . P S Q S R S i i i i yz i i i i zx i i i i xy + + ( ) ( ) , . S S i zx i xy 于是单位时间内由 Si 的负侧流向正 所以, 单位时间内由 S 的负侧流向正侧的总流量 这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第 侧的流量 i 也就近似等于 ( ) || || 0 1 1 lim ( , , ) n n i i i i i yz T i i P S → = = = = ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) . Q S R S i i i i zx i i i i xy + + yz zx xy , , 上投影区域的近似面积, 分别记作 ( ), Si yz
二型曲面积分定义1设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数对 S作分割 T,它把S分为 S,,S,，,S,，分割 T的细度为II T II= max(S, 的直径).AS(yz) ,AS,Si(zx),ASi(x)分别表示 S,在三个坐标面上-的投影区域的面积，它们的符号由S,的方向来确定：≥0,S, 取上侧,△S (x)≤0,S,取下侧;后页返回前页
前页 后页 返回 的投影区域的面积, 它们的符号由 Si 的方向来确定: ( ) ( ) ( ) , , S S S i yz i zx i xy 分别表示 Si 在三个坐标面上 二型曲面积分. 定义1 设 P, Q, R 为定义在双侧曲面 S 上的函数. 对 S 作分割 T , 它把 S 分为 1 2 , , , , S S Sn 分割 T 1 || || max . i i n T S = 的直径 ( ) 0, , 0, i i xy i S S S ; 取上侧 取下侧 的细度为
≥0,S,取前侧,AS i(y)≤0,S,取后侧;≥0,S,取右侧S (ax)≤0,，S,取左侧。V(5,ni,5)eS, i=1,2,.., n. 若nI = limZP(5i,n,S:)ASi(or)ITI>0i-1n+ limZ(,n;,5,)ASi(x)ITI→>0i=1nZR(5,n,S)ASi(x)+ limITI→>0i=1前页后页返回
前页 后页 返回 ( ) || || 0 1 lim ( , , ) n i i i i yz T i I P S → = = ( ) || || 0 1 lim ( , , ) n i i i i xy T i R S → = + ( , , ) , 1, 2, , . = i i i i S i n 若 ( ) 0, , 0, i i yz i S S S ; 取前侧 取后侧 ( ) 0, , 0, . i i zx i S S S 取右侧 取左侧( ) || || 0 1 lim ( , , ) n i i i i zx T i Q S → = +