S5微分一、微分的概念二、微分的运算法则三、高阶微分四、微分在近似计算中的应用返回前页后页
前页 后页 返回 一、微分的概念 §5 微 分 四、微分在近似计算中的应用 三、高阶微分 二、微分的运算法则 返回
一、微分的概念边长为x的正方形，它的面积是：S=xxAx2ArxAx面积的增量：AS=(x+Ax)-x=2x△x+(△x)前页后页返回
前页 后页 返回 面积的增量: 一、微分的概念 2 2 2 Δ ( ) 2 ( ) S x x x x x x = + − = + 边长为 x 的正方形, 它的面积是:S = x 2 2 x x x Δ x x Δ 2 Δx
定义5 设函数 y=f(x),xeU(x). 如果增量△y=f(xo+△x)-f(xo）可以表示成(1)y=AAx+o(△x),其中A是与△x无关的常数，则称函数f在点xo可微，并称AAx为f在点xo处的微分，记作dylx=xo = AAx, 或 df(x)lx=x= AAx.(2)后页返回前页
前页 后页 返回 Δ ( Δ ) ( ) 0 0 y f x x f x = + − 可以表示成 Δ Δ (Δ ), (1) y A x o x = + 定义 5 设函数 y f x x U x = ( ), ( ). 0 如果增量 可微, 并称 A x Δ 为 f 在点 x0 处的微分, 记作 其中 A 是与 无关的常数, 则称函数 f 在点 0 Δx x 0 0 d Δ , d ( ) Δ . (2) x x x x y A x f x A x = = = 或 =
定理5.9函数f在点x可微的充要条件是f在点 xo 可导,且 df(x)x=x= f(xo)Ax.证(必要性）如果在点x.可微,据(1)式有=A+o(Ax)AxAx于是0(x)Ayf'(xo)= limlim (A +AAxAx→0Ax△x-→0返回前页后页
前页 后页 返回 Δ ( x) . Δ x y o A x = + 于是 定理 5.9 函数 f 在点 x0 可微的充要条件是 f 在 0 d ( ) ( ) 0 Δ . x x f x f x x = 点 可导 = x0 , 且 证 (必要性) 如果 f 在点 x0 可微, 据 (1) 式有 0 Δ 0 Δ 0 Δ ( x) ( ) lim lim ( ) , x x Δ x y o f x A A → → x = = + =
即f在点x,可导，且f(x)=A.充分性）设在点x处可导，则由f的有限增量公式△y=f'(xo)Ax+o(△x)，说明函数增量△y可表示为△x的线性部分f(xo)△x，与关于△x的高阶无穷小量部分o(△x)之和.所以f 在点xo可微且 dy x=x, = f'(xo)Ax.返回前页后页
前页 后页 返回 即 f 在点 x0 可导, 且 0 f x A ( ) . = (充分性) 设 f 在点 x0 处可导,则由 f 的有限增量 公式 Δ ( )Δ (Δ ), y f x x o x = + 0 说明函数增量 Δ y 可 0 d ( ) 0 Δ . x x y f x x = 且 = 表示为 x 的线性部分 f x x ( ) 0 Δ ,与关于 Δx 的高 阶无穷小量部分 o x (Δ ) 之和.所以 f 在点 x0 可微
微分概念的几何解释：Vf在点xo的增量为OAy = RQ,y= f(x)AyQdjP而微分是dy=RQ，R它是点P处切线相Xo +4x0XXo应于△x的增量前页后页返回
前页 后页 返回 微分概念的几何解释: x x 0 +Δ x y O y f x = ( ) Δy dy 0 x P R Q Q • • • • Δ , y RQ = 它是点 P 处切线相 f 在点 x0 的增量为 而微分是 d , y RQ = 应于 Δx 的增量
的高阶无穷小量△x→0时.QQ是RO'Q'QAy-dyf'(xo) / =0,limlimAx-0RQAx4x-→0Q'Q：0.．这说明当lim故若 f'(xo）)±0,则得到Ax-0 RQ'△x→0时，QQ'还是RO'的高阶无穷小量后页返回前页
前页 后页 返回 0 Δ 0 Δ 0 Δ d lim lim ( ) 0 , x x Δ y y Q Q f x → → x RQ − = = 故若 f x ( ) 0, 0 则得到 Δ 0 lim 0 . x Q Q → RQ = 这说明当 QQ 的高阶无穷小量. Δ 0 , x → 时 还是 RQ Δ 0 , x → 时 QQ 是 RQ 的高阶无穷小量
区间I上的可微函数若函数f在区间I上每一点都可微.则称f是I上的可微函数．f(x）在上的微分记为(3)dy= f'(x)Ax, xeI,它既依赖于x，也与x有关前页后页返回
前页 后页 返回 区间I上的可微函数 d ( ) y f x x x I = Δ , , (3) 若函数 f 在区间 I 上每一点都可微,则称 f 是 I 上 它既依赖于 Δx , 也与 x 有关. 的可微函数. f x I ( ) 在 上的微分记为
习惯上喜欢把^x写成dx，于是（3）式可改写成(4)dy= f'(x)dx, xe I.这相当于y=x的情形，此时显然有dy=dx=△x.(4)式的写法会带来不少好处，首先可以把导数看成函数的微分与自变量的微分之商，即d=f(x),(5)dx所以导数也称为微商．更多的好处将体现在后面积分学部分中返回前页后页
前页 后页 返回 d ( )d , . (4) y f x x x I = (4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看 所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面 习惯上喜欢把 Δx 写成 dx ,于是 (3) 式可改写成 这相当于 y x = 的情形, 此时显然有 d d y x x = = Δ . d ( ) , d y f x x = (5) 积分学部分中. 成函数的微分与自变量的微分之商, 即
d(x°) = αxα-l dx ;例1（d (sin x) = cos x dx ;d(a)= aIna dx .返回前页后页
前页 后页 返回 d (sin ) cos d ; x x x = d( ) ln d . x x a a a x = 1 d( ) d ; x x x − 例1 =