S3 方向导数与梯度在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要知道在其他特定方向上的变化率-这就是本节所要讨论的方向导数前页后页返回
前页 后页 返回 §3 方向导数与梯度 在许多问题中, 不仅要知道函数在坐 标轴方向上的变化率 (即偏导数), 而且 还要知道在其他特定方向上的变化率, 这就是本节所要讨论的方向导数. 返回
※方向导数的概念定义1 设函数 f(x,y,z)在点 P,(xo,yo,z)的某邻域U(P)CR"内有定义，i为从点P出发的射线.任给 P(x,,z)einU(P), 记p=IP,Pl,若极限A,ff(P)- f(P.)limlimp-→0+p→0tpp存在，则称此极限为函数f在点P.沿方向讠的方向af导数，记作, f, (Po) 或 f;(xo,Jo,zo).al p.后页返回前页
前页 后页 返回 ※ 方向导数的概念 定义1 设函数 0 0 0 0 f x y z P x y z ( , , ) ( , , ) 在点 的某邻域 0 0 0 ( ) ( ) lim lim l f f P f P → → + + − = 导数, 记作 0 0 0 0 0 , ( ) ( , , ). l l P f f P f x y z l 或 3 0 0 U P l P ( ) R 内有定义， 为从点 出发的射线.任 f 存在 P0 l , 则称此极限为函数 在点 沿方向 的方向 0 0 给 P x y z l U P P P ( , , ) ( ), | | = 记 ， 若极限
f在点P沿x轴正方向的方向导数恰为J,(P)= f.(P) (i=+ Ox );当「的方向为x轴的负方向时，则有f,(P)=-f,(P) (i=--Ox);对于f,与f,也有相应的结论返回前页后页
前页 后页 返回 0 0 ( ) ( ) ( ); l x f P f P l O x −→ = = + 0 0 ( ) ( ) ( ); l x f P f P l O x −→ = − = − 对于 y z f f 与 也有相应的结论． 当 l 的方向为 x 轴的负方向时，则有 f 在点 P0 沿 x 轴正方向的方向导数恰为
※方向导数与偏导数之间的一般关系定理 17.6 若 f(x,y,z)在点 P(xo,yo,zo) 可微,则 f在点P沿任一方向i的方向导数都存在，且f; (P)= f(P)cosα+ f,(P)cos β + f,(P,)cos, (1)其中 cosα,cosβ,cosyAzP为的方向余弦Py△x0图17-5前页后页返回
前页 后页 返回 ※ 方向导数与偏导数之间的一般关系 定理17.6 若 0 0 0 0 f x y z P x y z ( , , ) ( , , ) 在点 可微，则 f 其中 cos , cos , cos 在点 P0 沿任一方向 l 的方向导数都存在, 且 0 0 0 0 ( ) ( )cos ( )cos ( )cos , (1) x y z l f P f P f P f P = + + 为 l 的方向余弦． x y z O 图 17 – 5 • • x y z P0 P l
证设 P(x,y,z)为「上任一点，于是7有（参见图17-5）4zPPy△x0图17-5返回前页后页
前页 后页 返回 x y z O 图 17 – 5 • • x y z P0 P l 证 设 P x y z ( , , ) 为 有 (参见图17 – 5 ) l 上任一点，于是
Ax=x-x, =pcosa,(2)Ay = y-yo= pcosβ,Az =z-zo = pcos.由假设f在点P.可微，则有f(P)- f(P)= fr(P) △x+ f,(P)△y+f,(P) △z +o(p)上式左、右两边皆除以p，并根据（2）式可得后页返回前页
前页 后页 返回 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得 0 0 0 cos , cos , cos . x x x y y y z z z = − = = − = = − = (2) f 由假设 在点 P0 可微，则有 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x y f P f P f P x f P y − = + 0 ( ) ( ). z + + f P z o
f(P)- f(Pe) = f.(P)Axpf,(Po)ppAzo(p)+ f,(P)ppo(p)= fr(P) cosα + f,(P) cosβ+ f,(P) cos-po(p)=0，所以上式左边的极限存在：因为 limpp-→0+f(P)-f(P)f; (P)= limpp-→0+= f,(P) cosα+ f,(P) cos β+ f,(P) cosy前页后页返回
前页 后页 返回 0 ( ) lim 0, o → + 因为 所以上式左边的极限存在: = 0 0 0 ( ) ( ) l ( ) lim f P f P f P → + − = 0 0 0 ( ) cos ( ) cos ( ) cos . x y z = + + f P f P f P 0 0 0 ( ) ( ) cos ( ) cos ( ) cos . x y z o f P f P f P = + + + 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x y f P f P x y f P f P − = + 0 ( ) ( ) z z o f P + +
对于二元函数f(x,J)来说，相应于（1)的结果为f, (xo,yo)= f,(xo,yo)cosα + f,(xo, yo)cos β, (2)其中α,β是R2中向量i的方向角，前页后页返回
前页 后页 返回 对于二元函数 f x y ( , ) 来说, 相应于 (1) 的结果为 , 2 其中 是 R 中向量 l 的方向角． 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , )cos ( , )cos , (2) l x y f x y f x y f x y = +
例 1 设 f(x,y,z)=x+y2 +z3,求 f 在点 P(1,1,1) 处沿着指向点P(3,-1,2)方向的方向导数解易见f在点P可微.故由f,(P)=1, f,(P)=2, f,(P)=3,以及 =P,P =(2,-2,1) 的方向余弦后页返回前页
前页 后页 返回 例 1 2 3 0 设 求 在点 处 f x y z x y z f P ( , , ) , (1,1,1) = + + 1 沿着指向点 方向的方向导数 P (3, 1,2) . − 解 0 易见 在点 可微 故由 f P . 0 0 0 ( ) 1, ( ) 2, ( ) 3 , x y z f P f P f P = = = 0 1 以及 的方向余弦 l P P = = − (2, 2,1)
22cosα =V2° +(-2) +1*3"-2-2cos β =/2 +(-2)°+131V2+-2+pcOsY-按公式（1）可求得(8)-1号+2(-号)+3号-号23后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 2 2 2 cos , 3 2 ( 2) 1 = = + − + 2 2 2 2 2 cos , 3 2 ( 2) 1 − − = = + − + 2 2 2 1 1 cos , 3 2 ( 2) 1 = = + − + 按公式 (1) 可求得 0 2 2 1 1 ( ) 1 2 3 . 3 3 3 3 l f P = + − + =