S3几何应用在本节中所讨论的曲线和曲面，由于它们的方程是以隐函数（组）的形式出现的，因此在求它们的切线或切平面时，都要用到隐函数（组）的微分法一、平面曲线的切线与法线二、空问曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线*四、用参数方程表示的曲面前页后页返回
前页 后页 返回 在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们 的方程是以隐函数(组)的形式出现的, 因此 在求它们的切线或切平面时, 都要用到隐函 数(组)的微分法. §3 几 何 应 用 三、曲面的切平面与法线 返回 一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 *四、用参数方程表示的曲面
一、平面曲线的切线与法线曲线L：F(x,J)=0;条件:P(xo,Jo)为 L 上一点,在 Po 近旁,F满足隐函数定理条件，可确定可微的隐函数：y= y(x)(或 x =x(y));L 在Po 处的切线：y- yo =-[Fx(Po)/F,(Po)](x-xo)或 x-xo =-[F,(P)/Fx(Po) J(y-yo)) 后页返回前页
前页 后页 返回 一、平面曲线的切线与法线 曲线 L ： F x y ( , ) 0; = y y x x x y = = ( ) ( ( ) ); 或 − = − − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x y y y F P F P x x 0 0 0 条件： P x y L ( , ) 为 上一点, 在 P0 近旁, F 满足 隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数: L P 在 0 处的切线： ( ) − = − − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) . y x 或 x x F P F P y y
总之,当(F(P),F,(P))±(0,0)时,就有法向量: n=(Fx(Po),F,(Po))切线方程: Fx(Po)(x-xo)+ F,(Po)(y-yo)=0; (1)法线方程: F,(P)(x-xo)-Fx(Po)(y-yo)= 0.例1求笛卡儿叶形线2(x3 + y3)-9xy= 0在点 P(2,1)处的切线与法线解 设 F(x,y)=2(x3 + y3)-9xy. 由 s 1 例 2 的讨论(这里a=3/2),F在点P近旁满足隐函数定理前页后页返回
前页 后页 返回 总之, 当 0 0 ( ( ), ( )) (0, 0) , F P F P x y 时 就有 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 : ( ( ), ( )); : ( )( ) ( )( ) 0; (1) : ( )( ) ( )( ) 0. x y x y y x n F P F P F P x x F P y y F P x x F P y y = − + − = − − − = 法向量 切线方程 法线方程 例1 求笛卡儿叶形线 3 3 2( ) 9 0 x y x y + − = 0 在点 P (2,1) 处的切线与法线. 3 3 解 设 F x y x y x y ( , ) 2( ) 9 . = + − 由§1 例 2 的讨 论 ( 3 ), 这里 在点 a F P = 2 0 近旁满足隐函数定理
的条件.容易算出(Fx(P), F,(P)) =(15,-12),于是所求的切线与法线分别为15(x - 2)-12(y-1) = 0, 即 5x -4y - 6 = 0;12(x - 2) +15(y -1) = 0, 即 4x + 5y - 13 = 0 .例2 用数学软件画出曲线 L：x2+y-sinxy=0的图象；并求该曲线在点P（元，－元2）处的切线与法线返回前页后页
前页 后页 返回 的条件. 容易算出 0 0 ( ( ), ( )) (15, 12), F P F P x y = − 于是所求的切线与法线分别为 15( 2) 12( 1) 0, 5 4 6 0; 12( 2) 15( 1) 0, 4 5 13 0 . x y x y x y x y − − − = − − = − + − = + − = 即 即 2 例2 用数学软件画出曲线 L x y x y : sin 0 + − = 3 3 2 0 的图象；并求该曲线在点 P ( , ) − 处的 切线与法线
解在MATLAB指令窗内执行如下绘图指令：syms x,y;ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);就立即得到曲线L的图象（见本例未页图18一6)令 F(x,y)=x2+ y-sinxy,容易求出:F,(P)=(2x- ycos xy)]p, =2 /元 - /元,F,(P)=(1 -xcos xy)lp, =1+ /元.后页返回前页
前页 后页 返回 解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令: syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]); 就立即得到曲线 L 的图象 (见本例末页图18－6). 令 容易求出: 2 F x y x y x y ( , ) sin , = + − 0 0 3 3 2 0 3 0 ( ) (2 cos ) 2 , ( ) (1 cos ) 1 . x P y P F P x y xy F P x xy = − = − = − = +
由此得到L在点P处的切线与法线分别为(2/元- /元2)(×-3/元)+(1+3/元)(+3/元)=0,(1+ 3元)(×-3元)-(23元-3/元2)(+3元)=0.若在上面的MATLAB指令窗里继续输入如下指令，便可画出上述切线与法线的图象hold on;a=(pi)^(1/3);b=a^2;ezplot(2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b)后页返回前页
前页 后页 返回 由此得到 L 在点 P0 处的切线与法线分别为： 2 2 2 2 ( 2 )( ) (1 )( ) 0, (1 )( ) ( 2 )( ) 0 . x y x y − − + + + = + − − − + = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指 令, 便可画出上述切线与法线的图象. hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
x+y-sin()=0P00x图18-6返回前页后页
前页 后页 返回 L 0 P • 图 18－6
例3设一般二次曲线为L: Ax? + 2Bxy +Cy? +2Dx + 2Ey+ F = 0,Po(xo,Jo)E L.试证 L在点 P处的切线方程为Axox + B(yox + Xoy)+ Cyoy+D(x + xo)+ E(y+ yo)+ F = 0.证 令G(x,y) = Ax2 + 2Bxy +Cy2 + 2Dx + 2Ey+ F,Gx(Po) = 2 Axo + 2Byo + 2D,则有G,(P) = 2Bxo + 2Cyo + 2E.返回前页后页
前页 后页 返回 2 2 L Ax Bxy Cy Dx Ey F : 2 2 2 0, + + + + + = 0 0 0 0 Ax x B y x x y Cy y + + + ( ) 0 0 + + + + + = D x x E y y F ( ) ( ) 0 . 0 0 0 0 0 0 ( ) 2 2 2 , ( ) 2 2 2 . x y G P Ax By D G P Bx Cy E = + + = + + 则有 例3 设一般二次曲线为 0 0 0 P x y L ( , ) . 试证 L 在点 P0 处的切线方程为 2 2 证 令G x y Ax Bxy Cy Dx Ey F ( , ) 2 2 2 , = + + + + +
由此得到所求切线为(Axo + Byo + D)(x - xo)+(Bxo +Cyo + E)(y - yo) = 0,利用（xo,yo）满足曲线L的方程，即F = -(Ax + 2Bxoyo +Cy* + 2Dxo + 2Eyo),整理后便得到Axox + B(yox + Xoy) + Cyoy+D(x + xo)+ E(y+ yo)+ F = 0.后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 0 ( )( ) Ax By D x x + + − 0 0 0 + + + − = ( )( ) 0, Bx Cy E y y 0 0 0 0 Ax x B y x x y Cy y + + + ( ) 0 0 + + + + + = D x x E y y F ( ) ( ) 0 . 2 2 0 0 0 0 0 0 F Ax Bx y Cy Dx Ey = − + + + + ( 2 2 2 ), 由此得到所求切线为 利用 ( , ) x y 0 0 满足曲线 L 的方程, 即 整理后便得到
二、空问曲线的切线与法平面先从参数方程表示的曲线开始讨论在第五章83已学过，对于平面曲线x=x(t), y=y(t), α≤t≤β,若 Po(xo,yo)=(x(to),(to)是其上一点，则曲线在点 P。处的切线为y'(to)x-xo-y-yo(x-xo), 或y-yox'(to)x'(to)y'(to)下面讨论空间曲线后页返回前页
前页 后页 返回 二、空间曲线的切线与法平面 x x t y y t t = = ( ), ( ), , 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ), . ( ) ( ) ( ) y t x x y y y y x x x t x t y t − − − = − = 或 先从参数方程表示的曲线开始讨论. 在第五章§3 已学过, 对于平面曲线 0 0 0 0 0 若 P x y x t y t ( , ) ( ( ), ( )) = 是其上一点, 则曲线 在点 P0 处的切线为 下面讨论空间曲线