S4条件极值条件极值问题的特点是：极值点的搜索范围要受到各自不同条件的限制。解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日來数法1条件极值问题的实际应用非常广泛，而且还能用来证明或建立不等式一、问题引入二、拉格朗日乘数法三、应用举例前页后页返回
前页 后页 返回 §4 条 件 极 值 条件极值问题的特点是: 极值点的搜索范 围要受到各自不同条件的限制. 解决这类极 值问题的方法叫做拉格朗日乘数法. 三、应用举例 返回 一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还 能用来证明或建立不等式
一、问题引入很多极值问题，自标函数的自变量不能在其定义域上自由变化，而是要受到某些条件的约束例1 要设计一个容积为V的长方形无盖水箱，试问长、宽、高各等于多少时，可使得表面积达到最小?若设长、宽、高各等于x，J，z，则目标函数：S=2z(x+y)+xy约束条件：xyz=V.后页返回前页
前页 后页 返回 一、问 题 引 入 很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义 域上自由变化, 而是要受到某些条件的约束. 例1 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试 问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到 最小? 若设长、宽、高各等于 x, y, z, 则 目标函数: S z x y x y = + + 2 ( ) ; 约束条件: x yz V=
例2 设曲线 z=x2+y2,x+y+z=1.求此曲线上的点到原点距离之最大、最小值．对此问题有目标函数：u=x2+y2+z2;约束条件：z=x2+y2, x++z=1.还可举出很多这种带有约束条件的极值问题定义设目标函数为= f(Xi,X2,,xn), (Xj,X2, ".,xn)e DcR";约束条件为如下一组方程后页返回前页
前页 后页 返回 例2 设曲线 z x y x y z = + + + = 2 2, 1. 求此曲线上 1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ) R ; n n n y f x x x x x x D = 的点到原点距离之最大、最小值. 对此问题有 2 2 2 目标函数: u x y z = + + ; 2 2 约束条件: z x y x y z = + + + = , 1. 还可举出很多这种带有约束条件的极值问题. 定义 设目标函数为 约束条件为如下一组方程:
D : Pk(xi, X2, , xn)= 0, k = 1,2, .", m (m0,使得f(Po)≤ f(P),V PEQnU(Po;)(或 VPe2),则称f(Po)是f(P)在约束条件Φ之下的极小值(或最小值)，称P是相应的极小值点(或最小值点）.类似地文可定义条件极大（或最大)值后页返回前页
前页 后页 返回 1 2 : ( , , , ) 0, 1, 2, , ( ). k n x x x k m m n = = 为简便起见, 记 P x x x = ( , , , ), 1 2 n 并设 { | , ( ) 0, 1, 2, , }. = = = P P D P k m k 0 0 f P f P P U P P ( ) ( ) , ( ; ) ( ), 或 0 若存在 P , 0, 使得 0 则称 f P( ) 是 f P( ) 在约束条件 之下的极小值 P0 (或最小值) , 称 是相应的极小值点 (或最小值 点). 类似地又可定义条件极大 (或最大) 值
二、拉格朗日乘数法(A) 拉格朗日乘数法探源 先从 n= 2,m=1 的最简情形说起，即设目标函数与约束条件分别为(1)z = f(x,y) 与 β(x,y) = 0.若由 β(x,y)=0确定了隐函数y=y(x),则使得目标函数成为一元函数z=f(x,y(x)).再由dzK-/+米-1-1-0dx求出稳定点 Po(xo,yo)=(xo,y(xo),在此点处满足后页返回前页
前页 后页 返回 二、拉格朗日乘数法 (A) 拉格朗日乘数法探源 先从 n = 2, m =1 的最简 情形说起, 即设目标函数与约束条件分别为 z f x y x y = = ( , ) ( , ) 0. (1) 与 d d 0, d d x x y x y y z y f f f f x x = + = − = 若由 ( , ) 0 x y = 确定了隐函数 y y x = ( ), 则使得目 标函数成为一元函数 z f x y x = ( , ( )). 再由 0 0 0 0 0 求出稳定点 P x y x y x ( , ) ( , ( )), = 在此点处满足
(fxPy - f,Px )p,= 0这表示f的等值线p(x,y)=0f(x,y)= zof(x,y)=c与曲线β(x,J)=0在P.点P有公共切线(见图f(x,y)=zo18一12).由此推知：图18—12存在比例常数几o，满足(fx(P), f,(P))+ao(Px(P), P,(P))=(0, 0)这又表示：对于函数后页返回前页
前页 后页 返回 0 ( ) 0. x y y x P f f − = 0 f x y z ( , ) = 0 0 0 0 0 ( ( ), ( ) ) ( ( ) , ( )) ( 0, 0). x y x y f P f P P P + = 这表示 f 的等值线 18－12). 由此推知: 0 存在比例常数 , 满足 这又表示: 对于函数 P0 0 f x y z ( , ) = ( , ) 0 x y = f x y c ( , ) = 图 18－12 与曲线 ( , ) 0 x y = 在 点 P0 有公共切线(见图
L(x,y,a)= f(x,y)+ ap(x,y)在点（xo,yo,2）处恰好满足：Lx = f(x,y)+ax(x,y) = 0,(2)L, = f,(x,y)+ ap,(x,y) = 0,La =β(x,y) = 0.也就是说，(2)式是函数L(x,y,2)在其极值点处所满足的必要条件.由此产生了一个重要思想：通过引入辅助函数L(x,y,2)，把条件极值问题(1)转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题后页返回前页
前页 后页 返回 L x y f x y x y ( , , ) ( , ) ( , ) , = + 在点 ( , , ) x y 0 0 0 处恰好满足: ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) 0, (2) ( , ) 0. x x x y y y L f x y x y L f x y x y L x y = + = = + = = = 也就是说, (2) 式是函数 L x y ( , , ) 在其极值点处所 满足的必要条件. 由此产生了一个重要思想: 通过引入辅助函数 L x y ( , , ), 把条件极值问题(1) 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题
(B)拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般目标函数和约束条件组，应引入辅助函数L(X1,X2,"",Xn,a1,22,"",am)m= f(xX1,X2,*",xn)+ E arPr(X1,X2,",xn). (3)k=1称此函数为拉格朗日函数，其中1,2,,m称为拉格朗日乘数定理18.66设上述条件极值问题中的函数f与Pk(k=1,2,,m)在区域D上有连续一阶偏导数.若后页返回前页
前页 后页 返回 (B) 拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般 目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数 1 2 1 2 1 ( , , , ) ( , , , ). (3) m n k k n k f x x x x x x = = + 称此函数为拉格朗日函数, 其中 1 2 , , , m 称 为拉格朗日乘数. k 定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数 f 与 ( 1,2, , ) k m = 在区域 D上有连续一阶偏导数. 若 1 2 1 2 ( , , , , , , , ) L x x xn m
(0)D 的内点 P(x(),x2((0))是该条件极值问中题的极值点，且0p10P10x1Oxn...:rank= m,0Pm0Pm0xiOxn J Po则存在m 个常数 a(),a,,…,am, 使得m(0)),x),..(,a(,a2),.,m)(x(),x2后页返回前页
前页 后页 返回 0 1 1 1 1 rank , n m m P n x x m x x = (0) (0) (0) 0 1 2 ( , , , ) D 的内点 P x x xn 是该条件极值问 题的极值点, 且 (0) (0) (0) 1 2 ( , , , , n x x x (0) (0) (0) 1 2 , , , ) m (0) (0) (0) 1 2 则存在 m 个常数 , , , , m 使得
为拉格朗日函数(3)的稳定点，即它是如下n+m个方程的解：ma?fOPk = 0, i= 1,2,.,n;+ZAkax;ax; ax;k=1aLPr(Xi,X2,",xn) = 0, k =1,2,...,maak说明月 对于 n=2,m=1的情形,已在前面作了说明；对一般情形的证明，将放到二十三章的定理23.19中去进行后页返回前页
前页 后页 返回 个方程的解: 1 1 2 0, 1,2, , ; ( , , , ) 0, 1,2, , . m k k i i i k k n k L f i n x x x L x x x k m = = + = = = = = 说明 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说 明; 对一般情形的证明, 将放到二十三章的定理 23.19 中去进行. 为拉格朗日函数 (3) 的稳定点, 即它是如下 n m+