S1 一致收敛性对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有看重要的地位一、函数列及其一致收敛性二、函数项级数及其一致收敛性三、函数项级数的一致收敛判别法前页后页返回
前页 后页 返回 §1 一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 返回 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位. 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性
一、函数列及其一致收敛性设(1)fi, f2,.., fn,...是一列定义在同一数集 E上的函数,称为定义在E上的函数列.(1)也可记为(fn)或 fn, n=1,2,...以 xE E 代入(1),可得数列(2)fi(xo), fz(x), ."", fn(xo), ....后页返回前页
前页 后页 返回 一、函数列及其一致收敛性 设 1 2 , , , , (1) n f f f 是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E 上的函数列. (1) 也可记为 { } , 1,2, . f f n n n 或 = 以 0 x E 代入 (1), 可得数列 1 0 2 0 0 ( ), ( ), , ( ), . (2) n f x f x f x
如果数列(2)收敛,则称函数列(1)在点x,收敛,x,称为函数列(1)的收敛点.如果数列(2)发散,则称函数列(1)在点x.发散.当函数列(1)在数集DcE上每一点都收敛时,就称(1)在数集D上收敛.这时D上每一点x都有数列(f,(x)的一个极限值与之相对应根据这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数列(1)的极限函数.若将此极限函数记作f,则有limf,(x)= f(x), xeDno返回前页后页
前页 后页 返回 0 x 0 如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 收敛, x 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 0 x 发散. 当函数列(1)在数集 D E 上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 x { ( )} n 一点 都有数列 f x 的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有 lim ( ) ( ) , n n f x f x x D → =
或f,(x)→f(x) (n→0),xeD函数列极限的ε一N定义：对每一固定的xED,任给正数 ε，总存在正数N(注意：一般说来N值与ε和x的值都有关，所以有时也用N(ε,x)表示三者之间的依赖关系)，使当n>N时，总有If,(x) - f(x)<8.使函数列f，收敛的全体收敛点集合，称为函数列(f,)的收敛域后页返回前页
前页 后页 返回 或 ( ) ( ) ( ) , . n f x f x n x D → → 函数列极限的 − N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和 x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间 的依赖关系), 使当 n N 时, 总有 | ( ) ( ) | . n f x f x − 使函数列 { }n f 收敛的全体收敛点集合, 称为函数列 { }n f 的收敛域
例1 设 f,(x)= x", n= 1,2,为定义在(-o0, o0) 上的函数列,证明它的收敛域是(-1,1]，且有极限函数0,1x0(不妨设εN(ε,x)时,就有只要取 N(ε,x)In|xI f,(x)- f(x) HIx"<x= 8后页返回前页
前页 后页 返回 例1 ( ) , 1,2, , n n 设 为定义在(- ) f x x n = = 上的 函数列, 证明它的收敛域是 ( 1, 1] − , 且有极限函数 0, | | 1, ( ) 1, 1. x f x x = = 证 任给 不妨设 当 时 由于 0 ( 1), 0 | | 1 , x | ( ) ( ) | | |, n n f x f x x − = ln ( , ) , ( , ) ln | | N x n N x x 只要取 当 时,就有 = | ( ) ( ) | | | | | . n N n f x f x x x − = =
当x =0和x=1时,则对任何正整数n,都有 f,(0)-f(0) =01时, 有/x"→+(n→),当x=-1时,对应的数列为-1,1,-1,1.，显然是发散的.所以函数列{x"}在区间(-1,1]外都是发散的.故所讨论的函数列的收敛域是(-1,1)后页返回前页
前页 后页 返回 当 和 时 则对任何正整数 都有 x x n = = 0 1 , , | (0) (0) | 0 n f f − = ， | (1) (1) | 0 . n f f − = 式所表示的函数. | | 1 | | ( ), n 又 当 时, 有 x x n → + → 当 时 x = −1 , 对应的数列为− − 1, 1, 1, 1 , 显然是发散的. 所以 { }n 函数列 x 在区间 ( 1, 1] − 外都是发散的. 故所讨论 的函数列的收敛域是 ( 1, 1]. − 这就证明了 { } f n 在( , 1] −1 上收敛, 且极限就是(3)
sinnx例2 定义在(-o0, +)上的函数列 f,(x)=nn = 1,2,...由于对任何实数x，都有sinnxInn故对任给的>0,只要 n>N=二,就有8sinnx0<8.n后页返回前页
前页 后页 返回 例2 sin ( , ) ( ) , n nx f x n 定义在 上的函数列 − + = n = 1,2, . sin 1 , nx n n 1 0, , n N 故对任给的 只要 就有 = sin 0 . nx n − 由于对任何实数 都有 x
所以函数列(sin nx/ n)的收敛域为(-o0,+),极限函数为 f(x)=0.注对于函数列，仅停留在讨论在哪些点上收敛是远远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具有的解析性质的关系.例如，能否由函数列每项的连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导性；或极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限.对这些更深刻问题的讨论必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行返回前页后页
前页 后页 返回 所以函数列 sin ( , ), nx n的收敛域为 − + 极限 函数为 f x( ) 0. = 注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行
定义1设函数列(f,与函数f定义在同一数集 D上，若对任给的正数ε,总存在某一正整数N,使当n>N时，对一切xED,都有I fn(x)-f(x)<8,则称函数列f,在D上一致收敛于f,记作fn(x)f(x)(n →00), xED由定义看到，一致收敛就是对D上任何一点，函数列趋于极限函数的速度是“一致”的.这种一致性体现返回前页后页
前页 后页 返回 设函数列{ }n 定义1 f f 与函数 定义在同一 数集 D 上， 若对任给的正数 总存在某一正整数 , , N 使当 n N 时， 对一切 都有 x D , | ( ) ( ) | n f x f x − ， { }n 则称函数列 在 上一致收敛于 ,记作 f D f → f x f x n x D n ( ) ( )( ) , . → → 由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现
为:与 ε 相对应的 N 仅与 ε有关,而与x 在 D上的取值无关，因而把这个对所有x都适用的N写作N(e).显然,若函数列(f,)在 D 上一致收敛,则必在 D 上每一点都收敛.反之,在D上每一点都收敛的函数列它在D上不一定一致收敛sinnx例2中的函数列是一致收敛的，因为对任意n后页返回前页
前页 后页 返回 N( ). 显然, 若函数列 f n 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上 每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛. 为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的 取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作 例2 中的函数列 sinnx n 是一致收敛的, 因为对任意