S2 以21 为周期的函数的展开式上节讨论了以2元为周期，或定义在（一元，元上然后作2元周期延拓的函数的傅里叶展开式本节讨论更有一般性的以21为周期的函数的傅里叶展开式，以及偶函数和奇函数的傅里叶展开式。一、以2l为周期的函数的傅里叶级数二、偶函数与奇函数的傅里叶级数前页后页返回
前页 后页 返回 §2 以 2l 为周期的函数的展开式 上节讨论了以 2 为周期, 或定义在 上然后作2周期延拓的函数的傅里叶展开式, 本节讨论更有一般性的以2l为周期的函数的 傅里叶展开式, 以及偶函数和奇函数的傅里 叶展开式. ( ] −π, π 返回 一、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数
一、以21为周期的函数的傅里叶级数设f是以21为周期的函数，通过变量替换：lt元x=t 或 x=-1元就可以将f变换成以2元为周期的关于变量t的函数F(0)= (允),若, 在[-1,1上可积, 则 F 在[-元, ]上也可积，这时函数F的傅里叶级数展开式是：~ "g + Z(a, cos nx + b, sin nx),(1)F(x)2n=1后页返回前页
前页 后页 返回 一、以2l为周期的函数的傅里叶级数 设 f 是以 2l 为周期的函数, 通过变量替换: π , π x lt t x l = = 或 = ( ) . π lt F t f 若 f 在 [ , ] −l l 上可积, 则 F 在 [−π, π] 上也可积, 这时函数 F 的傅里叶级数展开式是: 0 1 ( ) ( cos sin ), (1) 2 n n n a F x a nx b nx = + + 就可以将 f 变换成以 2π 为周期的关于变量 t 的函数
其中F(t)cos ntdt, n =1,2,...,an =一元元(2)1b. =F(t)sinntdt,n = 1,2,...-n1元.I.f因为 t= x,一= f(x).于是由(1)与所以F(t)=1(2)式分别得n元xn元xf(x) ~" +)?(3)bCaCOS12n=1后页返回前页
前页 后页 返回 其中 (2) π π π π 1 ( )cos d , 1,2, , π 1 ( )sin dt , 1,2, . π n n a F t nt t n b F t nt n − − = = = = = πx t l = = ( ) ( ). π lt 因为 , 所以 F t f f x 于是由(1)与 (2)式分别得 0 1 π π ( ) ( cos sin ), (3) 2 n n n a n x n x f x a b l l = + +
与n元xa,-,f(dx,(x)cosn = 0,1,2,.,.1(4)n元xb,--, (x)sindx.n = 1,2,3,...1这里(4)式是以21为周期的函数f的傅里叶系数，(3)式是的傅里叶级数若函数f在[-l,I]上按段光滑,则同样可由收敛定理知道返回前页后页
前页 后页 返回 与 这里(4)式是以2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数, (3) 式是 f 的傅里叶级数. 若函数 f 在 [ , ] −l l 上按段光滑, 则同样可由收敛定理 知道 1 π ( )cos d , 0,1,2, , 1 π ( )sin d , 1,2,3, . l n l l n l n x a f x x n l l n x b f x x n l l − − = = = = (4)
f(x+0)+ f(x-0)28n元xn元xaoZ(an(5)6sinCOS1n21n=1例1 将函数0,-5≤x<0,f(x)[3,0≤x<5展开成傅里叶级数解 由于f 在（-5,5]上按段光滑,因此可以展开成傅后页返回前页
前页 后页 返回 ( 0) ( 0) 2 f x f x + + − 例1 将函数 0, 5 0, ( ) 3, 0 5 x f x x − = 展开成傅里叶级数. 0 1 π π ( cos sin ). (5) 2 n n n a n x n x a b l l = = + + 解 由于 f 在( 5,5] , − 上按段光滑 因此可以展开成傅
里叶级数.根据(4)式,有1751r0n元xn元x0 ·cos3cosdxdx +an = 2555 J-55Jo53n元x= 0, n = 1,2,...,.sin一55n元101r5ssf(x)dx°3dx = 3,5J057175n元xb. = 3sindxh55Jo前页后页返回
前页 后页 返回 里叶级数.根据 (4) 式,有 0 5 5 0 1 π 1 π 0 cos d 3cos d 5 5 5 5 n n x n x a x x − = + 5 0 3 5 π sin 0, 1,2, , 5 π 5 n x n n = = = 5 5 0 5 0 1 1 ( )d 3d 3, 5 5 a f x x x − = = = 5 0 1 π 3sin d 5 5 n n x b x =
5353(1 - cos n元)n元xcos55n元n元Jo6n = 2k -1,k = 1,2,..,(2k -1)=[0,n = 2k,2k = 1,2,...代入(5)式,得386(2k -1)元xZf(x)=+)sin5台(2k -1)元2361.1.3元x5元x元xXsin+-sin+-sin一=525355元(前页后页返回
前页 后页 返回 − = − = 5 0 3 5 π 3(1 cos π) cos 5 π 5 π n x n n n = − = = − = = 6 , 2 1, 1,2, , (2 1)π 0, 2 ,2 1,2, . n k k k n k k 代入(5)式, 得 = − = + − 1 3 6 (2 1)π ( ) sin 2 (2 1) k π 5 k x f x k = + + + + 3 6 π 1 3π 1 5π sin sin sin . 2 π 5 3 5 5 5 x x x
这里x E(-5,0)U(0,5).当x= 0和±5时级数收敛于32.前页后页返回
前页 后页 返回 这里 x −( 5,0) (0,5). 当 x = 0 和±5 时级数收敛于 3 2
二、偶函数与奇函数的傅里叶级数设f是以21为周期的偶函数，或是定义在[-l,1]上的偶函数，则在[-l,I] 上，f(x)cos nx 是偶函数f(x)sinnx是奇函数.因此,f的傅里叶系数(4)是n元xa,=,(x)cosdx1n元x-2 (x)cos(6)dx,n = 0,1,2,,1n元xb, =-,5(x)sindx = 0, n = 1,2,1后页返回前页
前页 后页 返回 二、偶函数与奇函数的傅里叶级数 的偶函数, 则在 [ , ] −l l 上, f x nx ( )cos 是偶函数, f x nx ( )sin 是奇函数. 因此, f 的傅里叶系数(4)是 0 1 π ( )cos d 2 π ( )cos d , 0,1,2, , (6) 1 π ( )sin d 0, 1,2, . l n l l l n l n x a f x x l l n x f x x n l l n x b f x x n l l − − = = = = = = 设 f 是以 2l 为周期的偶函数, 或是定义在 [ , ] −l l 上
于是f的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即n元x(0)-+2a.c0s"(7)12n=1其中如(6)式所示(7)式右边的级数称为余弦级数同理,若f是以2l为周期的奇函数，或是定义在[-l,]上的奇函数，类似可推得n元xa,=,(x)cosdx = 0,n = 0,1,2,..",1(8)n元xb, =2" (x)sindx, n =1,2,....1后页返回前页
前页 后页 返回 于是 f 的傅里叶级数只含有余弦函数的项, 即 其中如 (6) 式所示 (7) 式右边的级数称为余弦级数. 0 1 π ( ) cos , (7) 2 n n a n x f x a l = + 同理, 若 f 是以 2l 为周期的奇函数, 或是定义在 [ , ] −l l 上的奇函数, 类似可推得 0 1 π ( )cos d 0, 0,1,2, , (8) 2 π ( )sin d , 1,2, . l n l l n n x a f x x n l l n x b f x x n l l − = = = = =