S2由平行截面面积求体积Q为三维空间中一立体它夹在垂直于x轴的两平面x=a，x=b之间(a<b).Vxela,bl,作垂直于x轴的平面，截得Q的截面面积为A(x)A(x)bx前页后页返回
前页 后页 返回 §2 由平行截面面积求体积 面 x = a , x = b 之间(a < b). x a b [ , ] , 作垂直于 x 为三维空间中一立体,它夹在垂直于x 轴的两平 轴的平面,截得 的截面面积为 A(x). a b x A x( ) 返回
若A(x)在[a,bl上连续,则Q 的体积为V= I'A(x)dr.证设T: a=x,<x,<…<x,=b是[a,b]的一分割,[xi-1,x;l上 A(x)的最大、最小值分别为 M,m, ,则第i个小薄片的体积△V满足m,Ax,≤AV, ≤ M,Ar,于是"Wm,Ax,sV-EAV,-Em,Ax,.i-1i=1i=1后页返回前页
前页 后页 返回 ( )d . b a V A x x = 证 0 1 : [ , ] 设T a x x x b a b = = n 是 的一分割, 1 [ , ] ( ) , , i i i i x x A x M m − 上 的最大、最小值分别为 若A(x) 在 [ , ] , a b 上连续 则 的体积为 Δ i 则第 i V 个小薄片的体积 满足 Δ Δ Δ , m x V M x i i i i i 于是 1 1 1 Δ Δ Δ . n n n i i i i i i i i m x V V M x = = = =
当|T→0时,EM,4x, - I' A(x)dx, Zm,4x, → I' A(x)dx.i-1i-1因此 V=["A(x)dx.前页后页返回
前页 后页 返回 当 T → 0 时, 1 ( )d , n b i i a i M x A x x = → 1 ( )d . n b i i a i m x A x x = → 因此 ( )d . = b a V A x x
例1求由两个圆柱面x2+y2=a与z2+x2=a2所7围立体的体积101xV解先求出立体在第一卦限的体积V.Vx,E[0,a]x=x,与立体的截面是边长为a2-x的正方形前页后页返回
前页 后页 返回 例1 求由两个圆柱面 2 2 2 2 2 2 x y a z x a + = + = 与 所 围立体的体积. 2 2 0 0 x x a x = − 与立体的截面是边长为 的正方形, 解 1 0 先求出立体在第一卦限的体积V x a . [0, ] , y x z O a a x0 a
所以 A(x)=a2-x2,xe[0,al. 于是求得V=8)1-8] (a-r)dx-16a3以下讨论旋转体的体积。设f是[a,bl上连续函数，是由平面图形A=((x,y)0≤/ y/≤/ f(x)l,a≤x≤b)绕x轴旋转一周所得的旋转体，则A(x)=元 f(x), xe[a,b],V = nf' f'(x)dx.后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 所以 A x a x x a ( ) , [0, ]. = − 于是求得 ( ) 9 2 2 3 1 0 16 8 8 d . 3 V V a x x a = = − = A x y y f x a x b = {( , ) 0 | | | ( ) | , } 设 f a b 是[ , ]上连续函数， 是由平面图形 2 A x f x x a b ( ) = π ( ) , [ , ], 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体,则 2 π ( )d . b a V f x x = 以下讨论旋转体的体积
例2 求由圆x2+(y-R)<r2(0<r<R)绕x轴V旋转一周所得环状立体的体积RI解x2+(-R)=r2的上下半圆分别为+X0y= f(x)=R+vr?-x?Py=fi(x)=R-vr2-x2因此 A(x)=元 f(x)-元 f(x) = 4元 R/r2 -x从而V=8元RVr2-xdx=2元rR前页后页返回
前页 后页 返回 例2 2 2 2 求由圆 x y R r r R x + − ( ) (0 ) 绕 轴 旋转一周所得环状立体的体积. 解 2 2 2 x y R r + − = ( ) 的上下半圆分别为 ( ) , 2 2 2 y = f x = R + r − x 2 2 1 y f x R r x = = − − ( ) . 2 2 2 2 2 1 因此 A x f x f x R r x ( ) ( ) ( ) 4 , = − = − 2 2 2 2 0 8 d 2 . r V R r x x r R = − = 从而 x y O R r
例3 求由区域/(x,J)/0≤x≤1,x≤y≤2-x2绕轴旋转一周所得立体的体积V解旋转体由曲线J,ye[0,1]x=2 - y, ye[1,2]和轴所围平面图形绕J0X轴旋转一周而得.因此返回前页后页
前页 后页 返回 例3 2 求由区域 ( , ) | 0 1 , 2 x y x x y x − 解 旋转体由曲线 绕 y 轴旋转一周所得立体的体积. , [0,1] 2 , [1,2] y y x y y = − 和 y y 轴所围平面图形绕 轴旋转一周而得.因此 x y O 1 1 2
V=n(fx'dy+ f'xdy) =n(J,y'dy+J'(2- y)dy+(2y-元3复习思考题*若曲线C由极坐标方程r=r(①),θ [α,βI表示,其中0<α<β<元.试求由曲线C和射线=α,=β围成的曲边三角形绕极轴旋转一周所得旋转体的体积公式后页返回前页
前页 后页 返回 ( ) 1 2 2 2 0 1 V x y x y = + π d d ( ) 1 2 2 0 1 = + − π y y y y d (2 )d 3 2 1 2 0 1 7 π π(2 ) π. 3 2 6 y y = + − = y 复习思考题 *若曲线 C r r 由极坐 标方程 = ( ), [ , ] 表示,其 体积公式. 围成的曲边三角形绕极轴旋转一周所得旋转体的 中0 = = π. , 试求由曲线 C 和射线