S1幂级数一般项为幂函数ax一x）"的函数项级数称为幂级数。这是一类最简单的函数项级数，幂级数在级数理论中有着特殊的地位，在函数逼近和近似计算中有重要应用，特别是函数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有力的工具一、幂级数的收敛区问二、幂级数的性质三、幂级数的运算前页后页返回
前页 后页 返回 §1 幂 级 数 一般项为幂函数 的函数项级数称 为幂级数, 这是一类最简单的函数项级数. 幂级 数在级数理论中有着特殊的地位, 在函数逼近 和近似计算中有重要应用, 特别是函数的幂级 数展开为研究非初等函数提供了有力的工具. 0 ( )n n a x x − 返回 三、幂级数的运算 一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质
一、幂级数的收敛区间幂级数的一般形式为Ea,(x-x)" =a, +a,(x-x)+a,(x-x,)'+.n=0(1)+a,(x-x,)" +..为方便起见，下面将重点讨论x。=0，即Za,x" -a, +ax+a,x'+..+a,x"+..(2)n=0的情形.因为只要把(2)中的x换成x一x，就得到(1)后页返回前页
前页 后页 返回 一、幂级数的收敛区间 幂级数的一般形式为 = − = + − + − +2 0 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n a x x a a x x a x x 为方便起见, 下面将重点讨论 0 x = 0 , 即 2 0 1 2 0 (2) n n n n n a x a a x a x a x = = + + + + + x 换成 0 的情形.因为只要把(2)中的 x x − , 就得到(1). + − + 0 ( ) , (1) n n a x x
首先讨论幂级数(2)的收敛性问题.显然形如(2)的任意一个幂级数在x=0处总是收敛的.除此之外，它还在哪些点收敛？我们有下面重要的定理定理14. 1（(阿贝耳定理）若幂级数(2)在x=x±0收敛，则对满足不等式Ixx|的任何x，幂级数(2)发散返回前页后页
前页 后页 返回 首先讨论幂级数(2)的收敛性问题. 显然形如(2)的任 意一个幂级数在 x = 0 处总是收敛的. 除此之外, 它 还在哪些点收敛? 我们有下面重要的定理. 定理14.1 (阿贝耳定理) 若幂级数(2)在 x x = 0 收敛, 则对满足不等式 | | | | x x 的任何 x ,幂级数 (2)收敛而且绝对收敛;若幂级数(2)在 x x = 时发散, 则对满足不等 式 | | | | x x 的任何 x ,幂级数(2)发散
80证设级数女a,x"收敛,从而数列(a,x")收敛于零n=0且有界，即存在某正数M,使得Ia,x"< M (n= 0,1,2,...).对任意一个满足不等式[x<|x|的x,设X<1,x则有tnxa,x"..< Mr"a,/-"xZMr"收敛，故由优级数判别法知幂级数由于级数n=0前页后页返回
前页 后页 返回 且有界, 即存在某正数 M, 使得 | | ( 0,1,2, ). n n a x M n = 对任意一个满足不等式 的 设 | | | | , x x x 1, x r x = 则有 | | | | . n n n n n n n n n n x x a x a x a x Mr x x = = 由于级数 0 n n Mr = 收敛, 故由优级数判别法知幂级数 证 0 , { } n n n n n 设级数 收敛 从而数列 收敛于零 a x a x =
(2)当xx时绝对收敛下面证明定理的第二部分.设幂级数(2)在x=x时发散,如果存在一个x,满足不等式lx>xl,且使Q级数a,x°收敛，则由定理得第一部分知,幂级数n=0(2)应该在x=x时绝对收敛,与假设矛盾.所以对一切满足不等式/x>x|的x,幂级数(2)都发散注由定理14.1知道：幕级数(2)的收敛域是以原点为中心的区间！这是非常好的性质.若以2R表示区返回前页后页
前页 后页 返回 (2)当 | | | | x x 时绝对收敛. 下面证明定理的第二部分. 设幂级数(2)在 x x = 时 0 x 0 发散, 如果存在一个 , 满足不等式 | | | | x x , 且使 级数 0 0 n n n a x = 收敛, 则由定理得第一部分知, 幂级数 (2)应该在 x x = 时绝对收敛, 与假设矛盾. 所以对一 切满足不等式 | | | | , x x x 的 幂级数(2)都发散. 注 由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点 为中心的区间！这是非常好的性质.若以2R表示区
间的长度，则称R为幂级数的收敛半径.事实上，收敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的上确界.所以有(i) 当 R= 0 时,幂级数(2)仅在 x = 0 处收敛;(ii) 当 R= +80 时,幂级数(2)在(-80,+)上收敛;(ii)当 0 R的x,幂级数(2)都发散;至于x=±R,(2)可能收敛也可能发散.因此称(-R,R)后页返回前页
前页 后页 返回 间的长度, 则称R为幂级数的收敛半径. 事实上, 收 敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的 上确界. 所以有 (i) 当 R = 0 时, 幂级数(2)仅在 x = 0 处收敛; (ii) 当 时 幂级数 在 上收敛 R = + − + , (2) ( , ) ; (iii) 当 时 幂级数 在 内收敛 0 , (2) ( , ) ; + − R R R 对 一切满足不等式 x R 的 x , 幂级数(2)都发散; 至 于 x R = , (2)可能收敛也可能发散. 因此称 ( , ) −R R
为幕级数(2)的收敛区间.怎样求得幕级数(2)的收敛半径和收敛区间呢？定理14.2对于幂级数(2),若lim V/a,| = p,(3)则当(i) 0<p< + 时, 幂级数(2)的收敛半径 R=二p(ii) p= 0 时, 幂级数(2)的收敛半径 R= +oo;(ii) p= +o 时,幂级数(2)的收敛半径 R=0.后页返回前页
前页 后页 返回 为幂级数(2)的收敛区间. 怎样求得幂级数(2)的收敛 半径和收敛区间呢? 定理14.2 对于幂级数(2), 若 lim , (3) n n n a → = 则当 1 (i) 0 , (2) ; R + = 时 幂级数 的收敛半径 (ii) 0 , (2) ; = = + 时 幂级数 的收敛半径 R (iii) , (2) 0. = + = 时 幂级数 的收敛半径 R
证对于幂级数la,x",由于n=0lim /a,x"|=lim /a, I/ x|= p/ x |,根据级数的根式判别法,当plx1时,级数发散.于是n=0(i) 当0<p<+o时,由plx1得幂级数(2)收敛半1径R=一;p(i)当p=0时，对任何x皆有plx<l,所以R=+;后页返回前页
前页 后页 返回 证 0 | |, n n n 对于幂级数 由于 a x = lim | | lim | | | | | |, n n n n n n n a x a x x → → = = 根据级数的根式判别法, 当 | | 1 x 时, 级数 0 | | n n n a x = 收敛. 当 | | 1 x 时, 级数发散. 于是 (i) 当 0 + 时, 由 | | 1 x 得幂级数(2)收敛半 径 1 R ; = (ii) 当 时 对任何 皆有 = 0 , x | | 1, x 所以 R = +;
(ii)当p=+o 时,则对除 x = 0 外的任何 x皆有px>1,所以R= 0.注由定理14.2可知，一个幂级数的收敛域等于它的收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点在第十二章 S 2第二段曾经指出：若 limlalp,一n->00 [an ]则有 lim"la,I=p.因此也可用比式判别法来得出幕级数（2）的收敛半径.究竟用比式法还是根式法可以参考第十二章的相关说明返回前页后页
前页 后页 返回 (iii) 当 时 则对除 外的任 = + = , 0 x 何 皆有 x | | 1, 0. x R = 所以 注 由定理14.2可知, 一个幂级数的收敛域等于它的 收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点. 在第十二章§2第二段曾经指出: 若 1 | | lim , | | n n n a a + → = 则有 lim | | . n n n a → = 因此也可用比式判别法来得出 幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法, 可以参考第十二章的相关说明
n?a n+1例1级数Z>1(n →00),,由于.2，(n + 1)?ann所以其收敛半径R=1，即收敛区间为(-1,1)；而当(±1)"收敛，所，，由于级数x=±1时,有=n?nnt"-L在x=±1时也收敛.于是级数Z以级数n?9n的收敛域为[-1,1]后页返回前页
前页 后页 返回 2 , n x n 级数 由于 2 1 2 1( ), ( 1) n n a n n a n + = → → + 例1 所以其收敛半径 R = 1 , 即收敛区间为 ( 1, 1) − ; 而当 2 2 2 ( 1) 1 1 1 , , , n x n n n = = 时 有 由于级数 收敛 所 2 1 n x x n 在 时也收敛. = 2 n x n 以级数 于是级数 的收敛域为 [ 1, 1]. −