S1隐函数隐函数是函数关系的另一种表现形式·讨论隐函数的存在性、连续性与可微性，不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要，同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础。隐函数概念二、隐函数存在性条件分析三、隐函数定理四、隐函数求导数举例前页后页返回
前页 后页 返回 隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论 隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出 于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后 面研究隐函数组的存在性问题打好了基础. §1 隐 函 数 返回 四、隐函数求导数举例 一、隐函数概念 二、隐函数存在性条件分析 三、隐函数定理
一、隐函数概念显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数.例如：y=1+sin' x, z= Ix'+y.隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个方程式所确定的函数，通常称为隐函数．例如：x2/3 + y2/3 = a2/3, x* + y° + 23 - 3y = 0.隐函数一般定义：设 EcR2,F:E→R,和方程后页返回前页
前页 后页 返回 方程式所确定的函数,通常称为隐函数．例如： 3 2 2 y x, z x y . = + = + 1 sin 2/ 3 2/ 3 2/ 3 3 3 3 x y a , x y z xy . + = + + − = 3 0 一、隐函数概念 显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如： 隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个 隐函数一般定义： 2 设 和方程 E F E → R , : R
(1)F(x,y) = 0.若存在I、JcR,使得对任一xEI,有惟一确定的yEJ 与之对应,能使(x,y)E E,且满足方程(1),则称由方程(1)确定了一个定义在I，值域含于J的隐函数.如果把此隐函数记为y= f(x), xe I, yeJ,则成立恒等式F(x,f(x))=0, xeI.返回前页后页
前页 后页 返回 则成立恒等式 F(x, f (x)) 0, x I. 若存在 、 使得对任一 I J x I R, , 有惟一确定的 y J 与之对应, 能使 ( , ) , x y E 且满足方程 (1) , 则称由方程 (1) 确定了一个定义在 I , 值域含于 J y = f (x), x I, yJ , 的隐函数. 如果把此隐函数记为 F x y ( , ) 0. (1) =
注1隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要化为显函数.上面把隐函数仍记为=f(x)，这与它能否用显函数表示无关注2 不是任一方程 F(x,J)=0 都能确定隐函数例如x2+y+1=0显然不能确定任何隐函数.注3隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的取值范围．例如由方程x2+y2=1可确定如下两个函数：前页后页返回
前页 后页 返回 1 2 2 取值范围．例如由方程 x + y = 可确定如下两 个函数： 注2 不是任一方程 F(x, y) = 0 都能确定隐函数, 例如 1 0 显然不能确定任何隐函数． 2 2 x + y + = 注1 隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要 化为显函数．上面把隐函数仍记为 y = f (x) ，这 与它能否用显函数表示无关． 注3 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的
y = fi(x)(= /1-x2 ), xe[-1,1], ye[0,1];y = f2(x)(=-/1-x’ ), xe[-1,1], ye[-1, 0].注4类似地可定义多元隐函数．例如：由方程F(x,y,z)=0 确定的隐函数z=f(x,y)，由方程F(x,y,z,u)=0 确定的隐函数u= f(x,y,z),等等.在82还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题返回前页后页
前页 后页 返回 在§2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题. 0 ]. [ 1, ( )( 1 ), [ 1,1 ], ( )( 1 ), [ 1,1 ], [0, 1]; 2 2 2 1 = = − − − − = = − − y f x x x y y f x x x y 注4 类似地可定义多元隐函数．例如: 由方程 F(x, y,z) = 0 确定的隐函数 z = f (x, y), 由方程 F(x, y,z, u) = 0 确定的隐函数 u = f (x, y,z) , 等 等
二、 隐函数存在性条件分析要讨论的问题是：当函数F(x,）满足怎样一些条件时，由方程(1)能确定隐函数J=f(x),并使该隐函数具有续、可微等良好性质？(a)把上述y=f(x)看作曲面z=F(x,J)与坐标平面z=0的交线，故至少要求该交集非空，即日 P(xo,yo), 满足 F(xo, yo) = 0, yo = f(xo).(b)为使y= f(x)在xo连续，故要求F(x,y)在点P。连续是合理的.后页返回前页
前页 后页 返回 二、隐函数存在性条件分析 条件时，由方程 (1) 能确定隐函数 y = f (x) , 并使 要讨论的问题是：当函数 F(x, y) 满足怎样一些 该隐函数具有连续、可微等良好性质? (a) 把上述 y = f (x) 看作曲面 z = F(x, y) 与坐标 平面 z = 0 的交线，故至少要求该交集非空，即 ( , ) 0 0 0 P x y ( , ) 0, ( ). 0 0 0 x0 ，满足 F x y = y = f P0 连续是合理的． y = f (x) x0 (b) 为使 在 连续，故要求 F(x, y) 在点
(c) 为使 y=f(x)在x可导，即曲线y= f(x)在点 P存在切线，而此切线是曲面z=F(x,y)在点P。的切平面与z=0 的交线，故应要求F(x,J)在点 P, 可微，且 (Fx(xo,yo),F,(xo,yo))±(0, 0).(d)在以上条件下，通过复合求导数,由(1)得到F(x, f(x) x=x= F,(xo,Jo)+F,(xo, yo)F(xo) =0,dxFr(xo,yo)= f'(x)=F,(xo,yo)由此可见，F,(xo,yo)±0 是一个重要条件后页返回前页
前页 后页 返回 由此可见， Fy (x0 , y0 ) 0 是一个重要条件． 0 0 0 0 0 0 d ( , ( )) ( , ) ( , ) ( ) 0, d F x f x F x y F x y f x x x x y x = = + = 点 P0 存在切线，而此切线是曲面 z = F(x, y) 在点 P0 的切平面与 z = 0 的交线，故应要求 F(x, y) 在 y = f (x) 0 (c) 为使 在 x 可导，即曲线 y = f (x) 在 P0 ( ( , ), ( , )) (0, 0). 点 可微，且 Fx x0 y0 Fy x0 y0 (d) 在以上条件下，通过复合求导数, 由 (1) 得到 0 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) x y F x y f x . F x y = −
三、隐函数定理定理18.1（隐函数存在惟一性定理）设方程（1）中的函数F(x,y)满足以下四个条件：(i) 在以 P(xo,Jo)为内点的某区域 DcR2上连续;(ii)F(xo,yo)=0（初始条件);(ii) 在 D 内存在连续的偏导数 F,(x,y);(iv) F,(xo,yo) ± 0.则有如下结论成立：后页返回前页
前页 后页 返回 三、隐函数定理 定理18.1 ( 隐函数存在惟一性定理 ) 设方程 (1) 中 的函数 F(x, y) 满足以下四个条件： ( , ) 0 0 0 P x y 2 (i) 在以 为内点的某区域 D R 上连续； (ii) F(x0 , y0 ) = 0 ( 初始条件 )； D F (x, y) (iii) 在 内存在连续的偏导数 y ； 0 0 ( , ) 0. (iv) F x y y 则有如下结论成立：
1°存在某邻域U(P)c D，在U(P)内由方程(1)惟一地确定了一个隐函数y= f(x), xe(xo-α,xo+α),它满足：f(xo)=yo,且当x(xo-α,Xo+α）时，使得(x, f(x)eU(P), F(x, f()= 0;2°f(x)在(xo-α,xo+α)上连续.证首先证明隐函数的存在与惟一性。证明过程归结起来有以下四个步骤（见图18一1)：后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 y f x x x x = − + ( ), ( , ), ( , ( )) ( ), ( , ( )) 0; x f x U P0 F x f x 2 f (x) 在 上连续． ( , ) x0 − x0 + 惟一地确定了一个隐函数 它满足： 0 0 f x y ( ) = ( , ) , 且当 x x0 − x0 + 时, 使得 证 首先证明隐函数的存在与惟一性． 证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图18－1 )： U(P0 ) D ( ) 1 存在某邻域 ，在 U P0 内由方程 (1)
yy+yBJo +βyoyo一yo-βYo-βx0-βxoxo+βxOO o-β x, Xo+β x(b)正、负上下分(a)一点正，一片正yL+++++++yo+βJo+βU(P)yoyoy=f(x)yo-βJo-βx0Y0xo-α*0xo+αxotaxo-α(c)同号两边伸(d)利用介值性图18-1返回前页后页
前页 后页 返回 (c) 同号两边伸 • ＋＋＋＋ － － － － x 0 x y 0 y O 0 x − 0 x + 0 y − 0 y + • • (d) 利用介值性 ＋＋＋＋ － － － － x 0 x y 0 y O 0 x − 0 x + 0 U P( ) 0 y − 0 y + y f x = ( ) • • • (b) 正、负上下分 ＋ ＋ ＋ • • _• _ _ + _ 0 x y O 0 x − 0 x + 0 x 0 y + 0 y − 0 y (a) 一点正,一片正 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x 0 x0− x 0 x + y0 • 0 y − 0 y + y O 图 18－1