《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十七章 多元函数微分学 §4 泰勒公式与极值问题

S4 泰勒公式与极值问题就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似计算外，又为建立极值判别准则作好了准备一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式三、极值问题前页后页返回

前页 后页 返回 §4 泰勒公式与极值问题 就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出 泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似 计算外, 又为建立极值判别准则作好了准备. 三、极值问题 返回 一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式

一、高阶偏导数由于z=f(x,J)的偏导数 f,(x,y), ,(x,J) 一般仍然是x,的函数，如果它们关于x与y的偏导数也存在，说明f具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏导数有如下四种形式：一禁一品（8）fxx(x,y) =一品（%)fx,(x,y)=后页返回前页

前页 后页 返回 一、高阶偏导数 ( , ) ( , ), ( , ) x y 由于 的偏导数 一般仍 z f x y f x y f x y = 然是 的函数 x y, , 如果它们关于 x 与 y 的偏导数也 导数有如下四种形式: 2 2 ( , ) , x x z z f x y x x x      = =       2 ( , ) , x y z z f x y x y y x      = =        存在, 说明 f 具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏

az(zfyx(x,y)Oyoxoxoy8品（%)fy(x,y) =类似地可以定义更高阶的偏导数，例如z=f(x,J)的三阶偏导数共有八种情形：a(ozazx(oro-1g(x,y),后页返回前页

前页 后页 返回 2 ( , ) , y x z z f x y y x x y      = =        2 2 ( , ) . y y z z f x y y y y      = =       类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f x y = ( , ) 的三阶偏导数共有八种情形: 3 3 2 3 ( , ), x z z f x y x x x        = =     

品（1（0fxyx(x,y), fxp(x,y), f,s(x,y),Jpr(x,y), yxy(x,y), fyx(x,y).a'z例1求函数z=e+2y的所有二阶偏导数和Oyox?解由于Ozazet+2y2ex+2y0xoy后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 2 2 ( , ), x y z z f x y y x x y        = =       x yx ( , ), ( , ), ( , ), 2 3 x y y f x y f x y f x y 2 2 ( , ), ( , ), ( , ). yx y y x yx f x y f x y f x y 解 由于 2 2 e , 2e , z z x y x y x y   + + = =   例1 3 2 2 e . x y z z y x +  =   求函数 的所有二阶偏导数和

因此有a'zae++2y)=e++2y;(eax?axa'z(et+2y))= 2er+2yayOxoya'za(2e++2)) = 2e++2y;xOyox8'za(2e++2y) =4e++2y;二ayay返回前页后页

前页 后页 返回 因此有 2 2 2 2 (e ) e ; z x y x y x x   + + = =   2 2 2 (e ) 2e ; z x y x y x y y   + + = =    2 2 2 (2e ) 2e ; z x y x y y x x   + + = =    2 2 2 2 (2e ) 4e ; z x y x y y y   + + = =  

a3zazara(2e++2)) = 2e++2yOyoxoxoyoxax例2 求函数 z=arctan二 的所有二阶偏导数,xz.oz-yx解军因为所以二阶偏导一2axx?+y?dyx2+y福数为a"za2xyVox(x+y)(x+y)Ox?后页返回前页

前页 后页 返回 3 2 2 2 2 (2e ) 2e . z z x y x y y x x y x x + +       = = =           解 2 2 2 2 , , z y z x x y x y x y  −  = =   + + 因为 所以二阶偏导 数为 2 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) z y x y x x y x y x   −   = =    + +    例2 arctan . y z x 求函数 的所有二阶偏导数 =

动x2-y?2家(x2+y)x2-y?az a ( x二(x+y)ox( x2+ y2ayx福a'z-2xy注意在上面两个例子中都有azazOxoyoyox返回前页后页

前页 后页 返回 2 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) z y x y x y y x y x y   − −   = = −        + + 2 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) z x x y y x x x y x y   −   = = −        + + 2 2 2 2 2 2 2 2 . ( ) z x x y y x y x y y   −   = =    + +    注意 在上面两个例子中都有 2 2 , z z x y y x   =    

即先对x后对与先对后对x的两个二阶偏导数相等（称这种既有关于x，又有关于的高阶偏导数为混合偏导数.但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数x2 -11,x+y+0,xyx'+y2'f(x,y) =x’+y =0.0,它的一阶偏导数为返回前页后页

前页 后页 返回 数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x y xy x y f x y x y x y  −  +  =  +   + = 它的一阶偏导数为 即先对 、后对 与先对 、后对 的两个二阶偏导 x y y x 数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导

(x*+4x*y-y), x+y*+0,(x2 + y)f,(x,y) =x +y =0;0,x(x-4x*y2-y), x*+y°+0,(x* + y")f,(x,y) =x + y2 = 0.0,进一步求f在点（0,0）关于x和y的两个不同顺序的混合偏导数：后页返回前页

前页 后页 返回 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 ), 0, ( , ) ( ) 0, 0; x y x x y y x y f x y x y x y  + −  +  =  +   + = 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 ), 0, ( , ) ( ) 0, 0. y x x x y y x y f x y x y x y  − −  +  =  +   + = 进一步求 在点 f (0,0) 关于 x 和 y 的两个不同顺序 的混合偏导数:

Jx,(0,0) = lim L,(0,Ay)- f,(0,0)-ny--1,) - limAyAy→0Ay-0 Ayf,(△x,0)- f,(0,0)△xfyx(0,0) = lim1limAxAr→0Ax→0 △x由此看到.这两个混合偏导数与求导顺序有关.那么在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此先按定义把x,(xo,yo)与fyx(xo,yo）表示成极限形式.由于f(x+△x,y)- f(x,y)f,(x,y) = limAx△x→0后页返回前页

前页 后页 返回 0 0 (0, ) (0,0) (0,0) lim lim 1, x x x y y y f y f y f  →  → y y  − −  = = = −   0 0 ( ,0) (0,0) (0,0) lim lim 1. y y y x x x f x f x f  →  → x x  −  = = =   由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此 先按定义把 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y y x f x y f x y 与 表示成极限形 式. 由于 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim , x x f x x y f x y f x y  → x +  − = 