S1 傅里叶级数一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利，但对函数的要求很高（无限次可导）.如果函数没有这么好的性质，能否也可以用一些简单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数呢？这就是将要讨论的傅里叶级数傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有看非常广泛的应用，是又一类重要的级数。一、三角级数正交函数系二、以2元为周期的函数的傅里叶级数三、收敛定理前页后页返回
前页 后页 返回 §1 傅里叶级数 一个函数能表示成幂级数给研究函数带来 便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果 函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简 单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数 呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级 数在数学、物理学和工程技术中都有着非常 广泛的应用, 是又一类重要的级数. 返回 一、三角级数·正交函数系 三、收敛定理 二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数
一、三角级数·正交函数系在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动.最简单的周期运动，可用正弦函数(1)y = Asin(wx + p)来描述.由（1)所表达的周期运动也称为简谐振动其中A为振幅.Φ为初相角，の为角频率,于是简谐振动y的周期是 T-。较为复杂的周期运动,则常常是几个简谐振动后页返回前页
前页 后页 返回 一、三角级数·正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一 种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数 y A x = + sin( ) (1) 来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动, 其中A为振幅. 为初相角, 为角频率, 于是简谐 振动y 的周期是 2π T . = 较为复杂的周期运动, 则 常常是几个简谐振动
Yk = A, sin(kox +Pk), k = 1,2,..,n的叠加：y=Zys =-24, sin(kox+p).(2)k=1k=11为 (r -0) , = , .,由于简谐振动y的周期为k(0所以函数（2)周期为T.对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数A + EA, sin(nox + 9,).(3)n=1若级数(3)收敛，则它所描述的是更为一般的周期运后页返回前页
前页 后页 返回 = + = sin( ) , 1,2, , k k k y A k x k n 1 1 sin( ). (2) n n k k k k k y y A k x = = = = + k y 2π , 1,2, , , T T k n k = = 由于简谐振动 的周期为 所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数 = 0 + + 1 sin( ). (3) n n n A A n x 的叠加： 若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运
动现象.对于级数(3),只须讨论 の =1(如果 の ≠1可用のx代换x)的情形.由于sin(nx + Pn) = sin P, cos nx + cosPn, sin nx,所以A + EA, sin(nx+o,)n=1.(3)= A, + E(A, sin p, cos nx + A, cos p, sin nx).n=1-", A, in g, = an,A, cos P, = b,n =1,2,",记An2后页返回前页
前页 后页 返回 动现象. 对于级数(3), 只须讨论 = 1 (如果 1 可 用 x 代换x )的情形. 由于 sin( ) sin cos cos sin , nx nx nx + = + n n n 所以 = 0 + + 1 sin( ) n n n A A nx = = + + 0 1 ( sin cos cos sin ). (3 ) n n n n n A A nx A nx 0 0 , sin , cos , 1,2, , 2 n n n n n n a 记 A A a A b n = = = =
则级数（3'）可写成 + (a,cos x +b,sin x),.(4)2n=1它是由三角函数列（也称为三角函数系）1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cos nx,sin nx,...(5)所产生的一般形式的三角级数容易验证，若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一个以2元为周期的函数关于三角级数（4)的收敛性有如下定理：后页返回前页
前页 后页 返回 = + + 0 1 ( cos sin ). (4) 2 n n n a a nx b nx 它是由三角函数列(也称为三角函数系) 1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 , ,cos ,sin , (5) x x x x nx nx 所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一 个以 2π 为周期的函数. 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理: 则级数( ) 3 可写成
定理15.1若级数[al +Z(I a, I +Ib, D).2n=1收敛，则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛证对任何实数x，由于I a, cos nx + b, sin nx [≤| an I + I b, I,根据优级数判别法，就能得到本定理的结论为进一步研究三角级数(4)的收敛性,先讨论三角函数系(5)的特性.首先容易看出三角级数系(5)中所后页返回前页
前页 后页 返回 定理 15.1 若级数 = + + 0 1 | | (| | | |). 2 n n n a a b 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证 对任何实数x,由于 | cos sin | | | | |, n n n n a nx b nx a b + + 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
有函数具有共同的周期2元其次，在三角函数系(5)中，任何两个不相同的函数的乘积在[一元,元]上的积分等于零，即1元(6)cos nxdx =sin nxdx =0,一元?元cos mxcos nxdx =0 (m ± n),元元(7)sinmxsinnxdx =0 (m ± n)一元?元cos mx sin nxdx =0 .一元而(5)中任何一个函数的平方在[-元,元]上的积分都后页返回前页
前页 后页 返回 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数 − − = = π π π π cos d sin d 0, (6) nx x nx x π π π π π π cos cos d 0 ( ), sin sin d 0 ( ), (7) cos sin d 0 . mx nx x m n mx nx x m n mx nx x − − − = = = 有函数具有共同的周期 2π. 的乘积在 [ , ] − 上的积分等于零,即 而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
不等于零，即元sinxdx=元,cos"nxdx =中一元2(8)["1'dx = 2元一元若两个函数 与 在[a,b]上可积,且[, o(x)y(x)dx = 0则称β与在[a,b]上是正交的,或在[a,b]上具有正交性。由此三角函数系(4)在[一元,元]上具有正交性或者说(5)是正交函数系后页返回前页
前页 后页 返回 不等于零, 即 π π 2 2 π π π 2 π cos d sin d π, (8) 1 d 2π nx x x x x − − − = = = 若两个函数 与 在 [ , ] a b 上可积, 且 = ( ) ( )d 0 b a x x x 则称 与 在 [ , ] a b 上是正交的, 或在 [ , ] a b 上具有正 交性. 由此三角函数系(4)在 [−π,π] 上具有正交性. 或者说(5)是正交函数系
二、以2元为周期的函数的傅里叶级数现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)的和函数f与级数(4)的系数αo,an,b,之间的关系。定理15.2若在整个数轴上.t) - " + Z(a, cos x +b, in nx)(9)f(x)2n=1且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：a, -_}", (x)cos xdx , n = 0,2,.,(10a)元-元I" (x)sindx , n =,2,b, =二(10b)7元后页返回前页
前页 后页 返回 现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级数(4)的系数 0 , , n n a a b 之间的关系. 定理15.2 若在整个数轴上 = = + + 0 1 ( ) ( cos sin ) (9) 2 n n n a f x a nx b nx 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: π π 1 ( )cos d , 0,1,2, , (10 ) π n a f x nx x n a − = = 二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数 π π 1 ( )sin d , 1,2, , (10 ) π n b f x nx x n b − = =
证由定理条件，函数f在[一元,元]上连续且可积.对(9)式逐项积分得[", f(x)dx801do."dx+Z(ancos nxdx + b.sin nxdx).nn2 J元7Tn=1由关系式(6)知，上式右边括号内的积分都等于零所以f(x)dx ="g 2 = agn,2后页返回前页
前页 后页 返回 证 由定理条件, 函数 f 在 [ , ] − 上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得 − π π f x x ( )d − − − = = + + π π π 0 π π π 1 d ( cos d sin d ). 2 n n n a x a nx x b nx x 由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以 π 0 0 π ( )d 2π π, 2 a f x x a − = =