S2 二元函数的极限与一元函数的极限相类似，二元函数的极限同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数的增多，导致多元函数的极限有重极限与累次极限两种形式，而累次极限是一元函数情形下所不会出现的。一、二元函数的极限二、 果次极限前页后页返回
前页 后页 返回 §2 二元函数的极限 与一元函数的极限相类似， 二元函数的极限 同样是二元函数微积分的基础. 但因自变量个数 的增多, 导致多元函数的极限有重极限与累次极 限两种形式, 而累次极限是一元函数情形下所不 会出现的. 一、二元函数的极限 二、累次极限 返回
一、二元函数的极限定义1 设二元函数f 定义在 DR2上,P,为 D 的一个聚点，A是一实数.若Vε>0,3S>0,使得当PeU°(P;)ND时,都有If(P)-A /<8,则称f 在 D上当 P→P,时以A为极限,记作lim f(P) = A.P→PoPeD在对PD不致产生误解时,也可简单地写作后页返回前页
前页 后页 返回 一、二元函数的极限 f 2 定义1 设二元函数 定义在 D R 上 P0 , 为 D 的 一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当 0 P U P D ( ; ) 时, 都有 | ( ) | , f P A− 0 lim ( ) . P P P D f P A → = 在对 P D 不致产生误解时, 也可简单地写作 f 则称 在 D 上当 P P → 0 时以 A 为极限, 记作
lim f(P) = AP-→Po当 P,P 分别用坐标 (x,y),(xo,yo)表示时,上式也常写作limf(x, y) = A.(x, y)-→(xo, yo)lim(x +xy+ y) = 7例1依定义验证(x, y)→(2,1)证因为x + xy + y2 -7= (x2 -4)+ xy - 2 +(y2 -1)后页返回前页
前页 后页 返回 0 lim ( ) . P P f P A → = P0 0 0 当 P, 分别用坐标 ( , ),( , ) x y x y 表示时, 上式也 常写作 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) . x y x y f x y A → = 例1 依定义验证 2 2 ( , ) (2, 1) lim ( ) 7. x y x x y y → + + = 证 因为 2 2 x xy y + + − 7 2 2 = − + − + − ( 4) 2 ( 1) x xy y
=/(x + 2)(x -2)+(x - 2)y+ 2(y -1)+(y+1)(y -1)≤/x-2//x+y+2/+/y-11ly+3/.不妨先限制在点（2,1）的方邻域(x, y)| /x-2]<1, 1y-1]<1)内来讨论，于是有Iy+3|=/y-1+4/≤/y-1/+4<5,I x + y + 2 /=I(x -2)+(y -1)+5 |≤/x-2/+/y-1/+5<7.后页返回前页
前页 后页 返回 = + − + − + − + + − | ( 2)( 2) ( 2) 2( 1) ( 1)( 1) | x x x y y y y − + + + − + | 2 || 2 | | 1|| 3 | . x x y y y 不妨先限制在点(2, 1)的方邻域 ( , ) | 2 | 1, | 1| 1 x y x y − − 内来讨论, 于是有 | 3 | | 1 4 | | 1| 4 5, y y y + = − + − + | 2 | | ( 2) ( 1) 5 | x y x y + + = − + − + − + − + | 2 | | 1| 5 7. x y
所以x? +xy+y2 -70,取=min(1,),当|x-2]<8, I-1/<且 (x,y)±(2,1)时,就有x2 +xy+y2 -7<7×28 =148≤8.这就证得lim. (x2 +xy+ y) = 7.(x, y)-→(2,1)后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 x x y y x y + + − − + − 7 7 | 2 | 5 | 1| − + − 7 ( | 2 | | 1| ). x y 0, min ( 1, ), 14 = 取 当 | 2 | , | 1| x y − − 且 ( , ) (2, 1) x y 时, 就有 2 2 x xy y + + − = 7 7 2 14 . 这就证得 2 2 ( , ) (2, 1) lim ( ) 7. x y x x y y → + + = 所以
例2设-V(x, y)(0, 0),+f(x, y)1Y0,(x, y) = (0, 0),lim证明f(x, y) = 0.(x,y)-→(0, 0)证(证法一）>0,由x?- y+x?+ y?后页返回前页
前页 后页 返回 例2 设 2 2 2 2 ( , ) (0, 0), ( , ) 0, ( , ) (0, 0), x y xy x y f x y x y x y ， − = + = 证明 ( , ) (0, 0) lim ( , ) 0. x y f x y → = 证 (证法一) 0, 由 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 x y x y x y xy x y x y − + − − + +
-/x-y≤(*+y),2可知=28,当0x2+时,便有x--0<8,xyx'+y故lim. f(x, y) = 0.(x, y)→(0, 0)注意不要把上面的估计式错写成-0sx2y(*+)xiL2xy前页后页返回
前页 后页 返回 1 1 2 2 2 2 ( ), 2 2 = − + x y x y 可知 2 2 = + 2 , 0 , 当 时 便有 x y 2 2 2 2 0 , x y xy x y − − + 故 ( , ) (0, 0) lim ( , ) 0. x y f x y → = 注意 不要把上面的估计式错写成： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 ( ), 2 2 x y x y x y x y x y x y x y − − − + +
因为(x,y)→(0,0)的过程只要求(x,y)≠(0,0),即x2+ y20,而并不要求 xy ±0.(证法二)作极坐标变换x=rcos,=rsinβ.这时(x,J)→(0,0)等价于r→0（对任何). 由于x?- y?I f(x, y) -0 / =xy+ysin4p≤r=r2因此,>0,只须r=x2+2<=2/,对任何后页返回前页
前页 后页 返回 因为 ( , ) (0, 0) x y → 的过程只要求 ( , ) (0, 0), x y 即 2 2 x y + 0, 而并不要求 x y 0. (证法二) 作极坐标变换 x r y r = = cos , sin . 这时 2 2 2 2 | ( , ) 0 | x y f x y x y x y − − = + 1 1 2 2 | sin4 | , 4 4 = r r ( , ) (0, 0) x y → 等价于 r → 0 ( 对任何 ). 由于 因此， 2 2 = + = 0, 2 , 只须 r x y 对任何
都有1.F(x, y)-0↓≤r2<6, 即Jlim. f(x, y) = 0.4(x, y)→(0, 0)下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则（而且证明方法也相类似）5lim f(P)= A 的充要条件是：对于 D 的定理16.5P→PoPeD任一子集E，只要P仍是E的聚点，就有lim f(P) = A.P-→PoPeE后页返回前页
前页 后页 返回 都有 2 ( , ) (0, 0) 1 | ( , ) 0 | , lim ( , ) 0. 4 x y f x y r f x y → − = 即 下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归 结原则(而且证明方法也相类似). 定理16.5 0 lim ( ) P P P D f P A → = 的充要条件是：对于 D 的 任一子集 E,只要 P0 仍是 E 的聚点,就有 0 lim ( ) . P P P E f P A → =
推论1 若 日E, D,P。是 E,的聚点,使 lim f(P)P-→PoPeE不存在,则 lim f(P)也不存在。P-→PoPeD推论2 若 Ei,E,CD,P是它们的聚点，使得lim f(P)= A 与 lim f(P)= A,P→PoP-→PoPeEiPeE2都存在，但 A ≠ A2，则 lim f(P)不存在,P-PoPeD后页返回前页
前页 后页 返回 E D 1 0 1 lim ( ) P P P E f P → 推论1 若 , P0 是 E1 的聚点, 使 不存在, 则 0 lim ( ) P P P D f P → 也不存在． 0 0 1 2 1 2 lim ( ) lim ( ) P P P P P E P E f P A f P A → → = = 与 1 2 0 推论2 若 E E D P , , 是它们的聚点，使得 A A 1 2 0 lim ( ) P P P D f P → 都存在，但 , 则 不存在．