S3 二元函数的连续性无论是单元微积分还是多元微积分，其中所讨论的函数，最重要的一类就是连续函数二元函数连续性的定义比一元函数更一般化了些；而它们的局部性质与在有界闭域上的整体性质，二者完全相同。一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的性质前页后页返回
前页 后页 返回 §3 二元函数的连续性 无论是单元微积分还是多元微积分, 其中 所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数. 二元函数连续性的定义比一元函数更一般化 了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的 整体性质, 二者完全相同. 一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质 返回
一、二元函数的连续性概念※连续性的定义定义1 设f为定义在点集DcR上的二元函数,PD.若>0,3S>0, 只要 PU(P;)ND,就有(1)If(P)-f(P)<8,则称f关于集合D在点P连续.在不致误解的情形下，也称f在点P连续若f在D上任何点都关于集合D连续，则称f为D上的连续函数后页返回前页
前页 后页 返回 一、二元函数的连续性概念 ※ 连续性的定义 D. 0, 0, 0 若 只要 P U P D ( ; ) , 就有 0 | ( ) ( ) | , (1) f P f P − 则称 f 关于集合 D 在点 P0 连续.在不致误解的情形 下, 也称 f 在点 P0 连续. 若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D 上的连续函数. 2 定义1 设 f 为定义在点集 D R 上的二元函数, P0
由上述定义知道：若P是D的孤立点,则P必定是f的连续点.若P是D的聚点,则f关于集合D在点P.连续等价于(2)lim f(P)= f(P.)P-→PoPeD如果P是D的聚点,而(2)式不成立(其含义与一元函数的对应情形相同),则称P是f的不连续点(或称间断点).特别当(2式左边极限存在，但不等于f(Po)时,P是f的可去间断点如上节例1、2给出的函数在原点连续；例3、4、5后页返回前页
前页 后页 返回 由上述定义知道: 若 P0 是 D 的孤立点,则 P0 必定是 0 0 lim ( ) ( ). (2) P P P D f P f P → = P0 f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点 P0 连续等价于 如果 P0 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元 函数的对应情形相同 ), 则称 P0 是 f 的不连续点 (或 称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于 如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5 0 f P( ) 时, P0 是 f 的可去间断点
给出的函数在原点不连续.又若把上述例3的函数改为xy(x, y) e ((x, y) / y = mx,x + 0)x?+ yf(x, y)=m(x, y) =(0, 0),29(1+m其中 m为固定实数,亦即函数f只定义在y=mx上，这时由于mlimf(x,y)f(0, 0),1+m2 =(x, y)→(0,0)y=mx后页返回前页
前页 后页 返回 给出的函数在原点不连续. 又若把上述例3 的函数 改为 2 2 2 , ( , ) ( , ) | , 0 , ( , ) , ( , ) (0, 0), 1 xy x y x y y mx x x y f x y m x y m = + = = + 上，这时由于 2 ( , ) (0, 0) lim ( , ) (0, 0), x y 1 y mx m f x y f → m = = = + 其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在 y m x =
因此f在原点沿着直线=mx是连续的例1讨论函数xax* + y2, (x, ) *(0, 0),(α>0)f(x,y)=30,(x,y) =(0,0),在坐标原点的连续性解 由于当α>2且r→0时,[ f(rcos0, rsin0)|=rα-2 (cos0)≤rα-2 → 0,因此,lim。f(x,J)=0 = f(0,0), 此时f 在原点连(x,y)→(0,0)后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 , ( , ) (0,0), ( , ) ( 0) 0, ( , ) (0,0), x x y f x y x y x y = + = 在坐标原点的连续性． 2 2 f r r r r ( cos , sin ) (cos ) 0, − − = → ( , ) (0,0) lim ( , ) 0 (0,0), x y f x y f → 因此 = = 此时 f 在原点连 因此 f 在原点沿着直线 y m x = 是连续的． 例1 讨论函数 解 由于当 → 2 0 且 时, r
续；而当α≤2时，limf(x,J)不存在，此时f(x,y)→(0,0)在原点间断。※全增量与偏增量设P,(xo, yo)P(x, y)e D,△x = x-xo,Ay = y- yo称△z =△ f(xo, yo) = f(x, y)- f(xo, yo)= f(xo +△x, yo +△y)- f(xo, yo)为函数f在点 P,的全增量.和一元函数一样,可用增量形式来描述连续性，即当返回前页后页
前页 后页 返回 ( , ) (0,0) 2 , lim ( , ) x y f x y → 续; 而当 时 不存在，此时 f 在原点间断． ※ 全增量与偏增量 0 0 0 0 0 设 P x y P x y D x x x y y y ( , ) ( , ) , , , 、 = − = − 0 0 0 0 称 = = − z f x y f x y f x y ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 = + + − f x x y y f x y ( , ) ( , ) 量形式来描述连续性, 即当 为函数 f 在点 P0 的全增量. 和一元函数一样, 可用增
lim△z= 0(△x,△y)-→(0,0)(x,y)eD时，f 在点P,连续如果在全增量中取△x=0或△y=0,则相应得到的增量称为偏增量，分别记作x f(xo, yo)= f(xo +△x, yo)- f(xo, yo)A, f(xo, yo)= f(xo, yo +△y)- f(xo, yo).一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和。返回前页后页
前页 后页 返回 ( , ) (0, 0) ( , ) lim 0 x y x y D z → = 时, f 在点 连续. P0 如果在全增量中取 = = x y 0 0, 或 则相应得到的 增量称为偏增量, 分别记作 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), x = + − f x y f x x y f x y 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ). y = + − f x y f x y y f x y 一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增 量之和
若一个偏增量的极限为零，如 lim △xf(xo，yo)=0,Ax-→0则表示当固定y=o时，f(x,）作为x 的函数，它在x连续.同理,若 lim_△,f(xo,yo)=0,则表示当Ay0固定 x=xo时,f(xo,y)在 y连续容易证明：当f在其定义域的内点(x，J）连续时，f(x,yo)在x.与 f(xo,y)在yo都连续. 但是反过来由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该函数的连续性（除非另外增加条件.例如二元函数返回前页后页
前页 后页 返回 若一个偏增量的极限为零, 如 0 0 0 lim ( , ) 0, x x f x y → = 0 y y = 0 则表示当固定 时, f x y ( , ) 作为 x 的函数, 它 在x0 连续. 同理, 0 0 0 lim ( , ) 0, y y f x y → 若 = 则表示当 容易证明: 当 f 在其定义域的内点 ( , ) x y 0 0 连续时, 0 f x y ( , ) 0 在 x f x y ( , ) 0 与 在 y0 都连续. 但是反过来, 由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该 函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数 固定 时， 0 f x y ( , ) 在 y0 连续. 0 x x =
[1, xy ± 0,f(x, y) =[0,xy= 0在原点处显然不连续,但由于f(O,y)=f(x,0)=0,因此它在原点处对x和对y分别都连续例2 设在区域DcR2上f(x,y)分别对x和对 y都连续．试证在下列条件之一满足时,f(x,J)在D上处处连续：(i)对其中一个变量(例如y)满足李普希茨条件，即3 L>0, 使得对任何(x,Ji),(x,y2)E D,恒有后页返回前页
前页 后页 返回 1 0, ( , ) 0 0 xy f x y xy = = ， ， 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续. 例2 设在区域 2 D f x y x y R ( , ) 上 分别对 和对 都 连续．试证在下列条件之一满足时， f x y D ( , ) 在 上 处处连续： (i) 对其中一个变量(例如 y) 满足李普希茨条件, 即 L 0, 1 2 使得对任何 ( , ), ( , ) , x y x y D 恒有
f(x,y1)- f(x, y2)/≤L|y1-y2 /;(i) 对其中一个变量 (x) 的连续关于另一个变量(y)是一致的,即Vxo,>0,>0(只与xo,有关而与 无关),当x-x0, >0, 当 x-x<, 时,有返回前页后页
前页 后页 返回 1 2 1 2 f x y f x y L y y ( , ) ( , ) ; − − (ii) 对其中一个变量 (x) 的连续关于另一个变量 (y) 是一致的, 即 0 0 x x , 0, 0 ( , , 只与 有关 0 而与 无关 当 且 时 对一切 y x x x y D ), | | , ( , ) , − 0 y f x y f x y 恒有 ( , ) ( , ) . − (iii) 参见本节习题第 9 题 (这里不作证明). 证(i) 0 0 0 0 ( , ) . ( , ) , x y D f x y x 因 在 连续 故任给 1 0 1 0, − 0, | | , 当 时 有 x x