S1 含参量正常积分对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分，它可用来构造新的非初等函数·含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式。一、含参量正常积分的定义含参量正常积分的连续性三、含参量正常积分的可微性四、、含参量正常积分的可积性五、 例题前页后页返回
前页 后页 返回 §1 含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形 成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的 非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正 常积分两种形式. 一、含参量正常积分的定义 返回 五、例题 四、含参量正常积分的可积性 三、含参量正常积分的可微性 二、含参量正常积分的连续性
一、含参量正常积分的定义设f(x,y)是定义在矩形区域R=[a,b]×[c,d]l上的二元函数.当x取[a,b]上的定值时,函数f(x,J)是定义在[c,d]上以y为自变量的一元函数.倘若这时f(x,y)在[c,d]上可积，则其积分值I(x)= [" f(x, y)dy, x e[a, b](1)是定义在[a,b]上的函数,一般地,设f(x,J)为定义在区域返回前页后页
前页 后页 返回 一、含参量正常积分的定义 设 f x y ( , ) 是定义在矩形区域 R a b c d = [ , ] [ , ] 上的 定义在 [ , ] c d 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f x y ( , ) 在 [ , ] c d 上可积, 则其积分值 ( ) ( , )d , [ , ] (1) d c I x f x y y x a b = 是定义在 [ , ] a b 上的函数. 一般地, 设 f x y ( , ) 为定义在区域 二元函数.当 x取 [ , ] a b 上的定值时,函数 f x y ( , ) 是
G=((x, y)/c(x)≤y≤d(x) ,a≤x≤b)上的二元函数,其中c (x), d (x)为定义在[a,b]上的连续函数（图19-1)，y=d(x)y↑Gy=c(x)olab x图 19-1若对于[a,b]上每一固定的x值,f(x,y)作为y的函后页返回前页
前页 后页 返回 G x y c x y d x a x b = {( , ) | ( ) ( ) , } 上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在 [ , ] a b 上的连 续函数(图19-1), 图19 1 − O y a b x G y c x = ( ) y d x = ( ) 若对于 [ , ] a b 上每一固定的 x 值, f x y ( , ) 作为 y 的函
数在闭区间[c(x),d(x)上可积,则其积分值("x) f(x, y)dy,x e[ a, b]F(x)= [(2)elx是定义在[a,b]上的函数用积分形式(1)和(2)所定义的这函数I(x)与F(x)通称为定义在[,b]上的含参量x的（正常)积分或简称为含参量积分返回前页后页
前页 后页 返回 数在闭区间 [ ( ), ( ) ] c x d x 上可积, 则其积分值 ( ) ( ) ( ) ( , )d , [ , ] (2) d x c x F x f x y y x a b = 是定义在 [ , ] a b 上的函数. 用积分形式 (1) 和 (2) 所定义的这函数 I x( ) 与 F x( ) 通称为定义在 [ , ] a b 上的含参量 x 的(正常)积分, 或简称为含参量积分
二、含参量正常积分的连续性定理19.1（I(x)的连续性）若二元函数f(x,J)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则函数I(x)=" f(x, y)dy在[a,b]上连续证 设x [a,b], 对充分小的△x,有x+ △x e[a, b](若x为区间的端点，则仅考虑△x>0或△x<0),于是后页返回前页
前页 后页 返回 二、含参量正常积分的连续性 定理19.1 I x( )的连续性 f x y ( , ) ( ) 若二元函数 在矩 形区域 R a b c d = [ , ] [ , ] 上连续, 则函数 = ( ) ( , )d d c I x f x y y 在[ a , b]上连续. 证 设 x a b [ , ], 对充分小的 x x x a b , [ , ] 有 + (若 x 为区间的端点, 则仅考虑 x x 0 0 或 ), 于是
I(x +Ax) - I(x) = f' [f(x + Axr, y) - f(x, y)]dy, (3)由于f(x,J)在有界闭区域R上连续,从而一致连续即对任意ε>0，总存在>0，对R内任意两点(xi, y) 与(x2, 2) ,只要Ix, -x,/<8,1 y1-y2 /<8,就有(4)I f(xi, yi)- f(x2, y2) / <8 .所以由(3),(4)可得，当|△x|<S时,返回前页后页
前页 后页 返回 ( ) ( ) [ ( , ) ( , )]d , (3) d c I x x I x f x x y f x y y + − = + − 由于 f x y ( , ) 在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续, 即对任意 0 , 总存在 0 , 对R内任意两点 1 1 2 2 ( , ) ( , ) x y x y 与 ， 只要 1 2 1 2 | | , | | , x x y y − − 就有 | ( , ) ( , ) | . (4) f x y f x y 1 1 2 2 − 所以由(3), (4)可得, 当 时 | | , x
[I(x +Ax)- I(x)/≤ ["1 f(x +Ax, y) - f(x, y)I dy<[" edx = s(d -c).即 I (x)在[a,b]上连续同理可证：若f(x,J)在矩形区域R上连续，则含参量y的积分(5)J(y) = / f(x, y)dx在[c,d]上连续注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式：后页返回前页
前页 后页 返回 + − + − | ( ) ( ) | | ( , ) ( , ) | d d c I x x I x f x x y f x y y d ( ). d c = − x d c 即 I (x) 在 [ , ] a b 上连续. 同理可证: 若 f x y ( , ) 在矩形区域 R上连续,则含参 量 y 的积分 = ( ) ( , )d (5) b a J y f x y x 在[c ,d ]上连续. 注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:
若f(x,y)在矩形区域R上连续，则对任何X E[a, b],都有m(, )d-m(x, dycx-x这个结论表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的注2由于连续性是局部性质，定理19.1中条件f在[a,b]×[c,d]上连续可改为在×[c,d]上连续,其中3为任意区间。前页后页返回
前页 后页 返回 若 f x y ( , ) 在矩形区域 R 上连续,则对任何 x a b 0 [ , ] , 都有 → → = 0 0 lim ( , )d lim ( , )d . d d x x x x c c f x y y f x y y 这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极 限运算与积分运算的顺序是可以交换的. [ , ] [ , ] [ , ] , a b c d c d 上连续可改为在 上连续 其中 为任意区间. 注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件 f 在
定理19.2（F(x)的连续性）若二元函数f(x,y)在区域G=((x, )lc(x)≤y≤d(x),a≤x≤b)上连续,其中c(x),d(x)为[a, b]上的连续函数,则函数d(x)(6)F(x)=m) f(x, y)dyc(x)在[a,b]上连续证对积分(6)用换元积分法，令y =c(x) +t(d(x)-c(x)) .当y 在c(x)与d(x)之间取值时, t 在[0, 1] 上取值,且后页返回前页
前页 后页 返回 定理19.2 ( F x( )的连续性 ) 若二元函数 f x y ( , ) 在区 域 G x y c x y d x a x b = {( , ) | ( ) ( ) , } 上连续, 其 中c(x), d(x)为 [ , ] a b 上的连续函数, 则函数 = ( ) ( ) ( ) ( , )d (6) d x c x F x f x y y 在 [ , ] a b 上连续. 证 对积分(6)用换元积分法, 令 y c x t d x c x = + − ( ) ( ( ) ( )) . 当 y 在c(x)与d(x)之间取值时, t 在 [0, 1] 上取值, 且
dy = (d(x) -c(x))dt .所以从(6)式可得a[a(x) f(x, y)dyF(x) =x=J, f(x,c(x)+t(d(x)-c(x)(d(x)-c(x)dt.由于被积函数f(x, c(x) +t(d(x) -c(x)(d(x)-c(x)在矩形区域[a,b]×[0,1]上连续，由定理19.1得积分(6)所确定的函数 F(x) 在[a,b]连续,返回前页后页
前页 后页 返回 d ( ( ) ( ))d . y d x c x t = − 所以从(6)式可得 = ( ) ( ) ( ) ( , )d d x c x F x f x y y 1 0 = + − − f x c x t d x c x d x c x t ( , ( ) ( ( ) ( )))( ( ) ( ))d . 由于被积函数 f x c x t d x c x d x c x ( , ( ) ( ( ) ( )))( ( ) ( )) + − − 在矩形区域 [ , ] [0 ,1] a b 上连续, 由定理19.1得积分 (6)所确定的函数 F(x) 在[a, b]连续