85 函数的凸性与拐点从两个熟悉的函数y=x2与y=x的图象来看凸性的不同：yyVxy=V=BABxx200y=x(y=Vx)上任取两点A,B,弦AB恒在曲线段AB的上方下方）返回前页后页
前页 后页 返回 §5 函数的凸性与拐点 从两个熟悉的函数 2 y x y x = = 与 的图象来看 凸性的不同： 2 y x y x A B = = ( ) , , 上任取两点 弦 恒在曲线 AB 段 AB 的上方(下方) . 2 y x = A B x y O • • 返回 A B y = x x y O
定义1设f为区间I上的函数.若对于I上的任意两点xi,x,和任意实数e(0,1),总有f(ax, +(1-a)x,)≤af(x)+(1-a)f(x,), (1)则称f为I上的一个凸函数.反之如果总有f(ax +(1-a)x,)≥af(x )+(1-a)f(x,), (2)则称f为「上的一个凹函数如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数后页返回前页
前页 后页 返回 如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号,则相应 定义1 设 f 为区间 I上的函数．若对于 I 上的任意 1 2 两点 和任意实数 总有 x x, (0, 1), 1 2 1 2 f x x f x f x ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), (1) + − + − 则称 f 为 I上的一个凸函数. 反之如果总有 则称 f 为 I 上的一个凹函数. 1 2 1 2 f x x f x f x ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), (2) + − + − 的函数称为严格凸函数和严格凹函数
由此可得 y=x2在(-o0,+0)上为严格的凸函数,y=Vx为[0,+]上的严格凹函数,很明显，若f(x)为(严格)的凸函数,那么-f (x)就为(严格)凹函数，反之亦然引理f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是：对于I中的任意三点x<x,<x,有f(x,)-f(x)<f(x,)-f(x,)(3)X2 -XiX3-X2后页返回前页
前页 后页 返回 2 由此可得 在 ， 上为严格的凸函数， y x = − + ( ) 很明显，若 f (x)为(严格)的凸函数, 那么– f (x)就 引理 f (x)为区间 I上的凸函数的充要条件是： 对于I中的任意三点x1 x2 x3 ,有 2 1 3 2 2 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (3) f x f x f x f x x x x x − − − − y x = 为 0，+ )上的严格凹函数 . 为(严格) 凹函数，反之亦然
证（必要性)设几=-于是X -Xiyx, = 1x, +(1- a)x3因为f(x)为「上的凸函数，所以-f(x,) = f(ax, +(1-a)x,)-1ol xX3 xX2≤af(x)+(1-a)f(x)-x2 f(x)+±-xf(x,).X3-XiX3-Xi从而有(x -x)f(x)≤(x -x,)f(x)+(x -x)f(x)前页后页返回
前页 后页 返回 2 1 3 x x x = + − (1 ) . 从而有 因为 f (x)为 I 上的凸函数，所以 2 1 3 f x f x x ( ) ( (1 ) ) = + − 1 3 + − f x f x ( ) (1 ) ( ) 3 2 2 1 1 3 3 1 3 1 ( ) ( ). x x x x f x f x x x x x − − = + − − 3 1 2 3 2 1 2 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), x x f x x x f x x x f x − − + − 证 , 3 1 3 2 x x x x − − （必要性） 设 = 于是 1 x 2 x 3 O x y x • • •
即(x, -x,)f(x)+(x, -xi)f(x,)≤(x -x,)f(x)+(x, -x)f(x),整理后即为(3)式(充分性）对于任意 x,<x,,e(0,1). 设x, = ax +(1-a)xg,则f(x,)-f(x)<f(x)-f(x)X -XiXs -X2由于必要性的证明是可逆的，从而得到前页后页返回
前页 后页 返回 整理后即为 (3) 式. 即 3 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x x x f x − + − 3 2 1 2 1 3 − + − ( ) ( ) ( ) ( ), x x f x x x f x 2 1 3 x x x = + − (1 ) , 由于必要性的证明是可逆的，从而得到 （充分性）对于任意 1 3 x x , (0, 1). 设 2 1 3 2 2 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . f x f x f x f x x x x x − − − − 则
f(ax, +(1-a)x,)≤af(x)+(1-a)f(x,)所以f为上的凸函数同理可证f为上的凸函数的充要条件是：对于I中的任意三点x<x,<x,有()- (x) ,1(x)- (x),I(x)- f(x). (4)X2 -XiX-XiX3-X2注(4)式与（1)式是等价的.所以有些课本将(4)式作为凸函数的定义.（参见下图）后页返回前页
前页 后页 返回 1 3 1 3 f x x f x f x ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), + − + − 所以 f 为 I 上的凸函数. 同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于 1 2 3 I x x x 中的任意三点 有 , 2 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . (4) f x f x f x f x f x f x x x x x x x − − − −−− 注 (4) 式与 (1) 式是等价的. 所以有些课本将 (4) 式 作为凸函数的定义. ( 参见下图 )
f(x,)f(x)f(xr,)XIX2x0詹森(Jensen,J.L.1859-1925,丹麦返回前页后页
前页 后页 返回 詹森( Jensen,J.L. 1859-1925,丹麦 ) 1 x 2 x 3 x y x 1 f x( )2 f x( ) 3 f x( ) O
对于凹函数，请读者自行写出相应的定理由数学归纳法不难证明：f为I上的凸函数充要条件是：任给x,..x,EI,0<a<1,i=1,2,.…,n,2, + 22 + .. + 2, = 1, 必有f(a,x, +..+a,x,)≤a,f(x))+...+anf(xn)这是著名的詹森不等式.特别取入,=1，则X, +x +...+x[()+(*)++(x,)n后页返回前页
前页 后页 返回 1 2 1, + + + = n 必有 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ). n n n n f x x f x f x + + + + 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) , n n x x x f f x f x f x n n + + + + + + 对于凹函数，请读者自行写出相应的定理. 1 , , 0 1, n i 条件是：任给 x x I i n = 1,2, , , 1 , i n 这是著名的詹森不等式 .特别取 则 = 由数学归纳法不难证明：f 为 I 上的凸函数充要
即:(落）(5)(5）式是凸函数最常用的不等式下面举例说明凸函数的内在性质例1 设 f 为开区间（a,b)上的凸函数,那么它在(a, b)中每一点的左、右导数存在.特别是在(a,b)上处处连续证 对于任意的x,e(a,b),0<h <h,使后页返回前页
前页 后页 返回 (5) 式是凸函数最常用的不等式 . 即： 1 1 1 1 ( ) (5) n n i i i i f x f x n n = = 例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么它在 下面举例说明凸函数的内在性质. 证 0 1 2 对于任意的 （ ） 使 x a b h h , , 0 , 上处处连续. (a, b) 中每一点的左、右导数存在. 特别是在 (a,b)
Xo<x,+h<x,+h, <b,由引理得到f(x, +h)-f(x,) f(x, +h)-f(x)h,h,令 F(h)=I,+-(x), 则 F(h)在(0,b-x,)h上递增.取x'e(a,b),x'<xo,由引理又得(x,)-f(x)s (x, +h)-f(x), he (0, b-x).hx-x'后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , ( ) (0, ) f x h f x F h F h b x h + − 令 则 在 = − 0 上递增 取 由引理又得 . ( , ), , x a b x x 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ), (0, ). f x f x f x h f x h b x x x h − + − − − 0 1 0 0 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . f x h f x f x h f x h h + − + − 0 0 1 0 2 x x h x h b + + , 由引理得到