S2 求导法则导数很有用，但全凭定义来计算导数是不方便的·为此要建立一些有效的求导法则，使导数运算变得较为简便。一、导数的四则运算二、反函数的导数三、复合函数的导数四、基本求导法则与公式前页返回后页
前页 后页 返回 一、导数的四则运算 §2 求导法则 导数很有用，但全凭定义来计算导 四、基本求导法则与公式 三、复合函数的导数 二、反函数的导数 求导法则, 使导数运算变得较为简便. 数是不方便的. 为此要建立一些有效的 返回
一、导数的四则运算定理5.5未若函数u(x),v(x)在点x.可导，则函数f(x)=u(x)±(x)在点 xo也可导，且(1)(u(x)±v(x)) /x=x,=u'(xo)±v(xo)若函数 u(x),v(x)在点x,可导，则函数定理5.6f(x)=u(x)v(x) 在点xo也可导，且(2)(u(x)v(x)) l x=xo = u'(x,)v(x,) + u(x, )v'(x, ).-推论若u(x)在点x,可导，c是常数，则后页返回前页
前页 后页 返回 一、导数的四则运算 0 0 0 ( ( ) ( ) ) ( ) ( ). (1) u x v x u x v x x x = = f x u x v x ( ) ( ) ( ) = 在点 x0 也可导, 且 0 0 0 0 0 ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ). (2) u x v x u x v x u x v x x x = = + 推论 若 u (x) 在点 x0 可导,c 是常数，则 f x u x v x ( ) ( ) ( ) = 在点 x0 也可导, 且 定理 5.6 若函数 u x v x ( ), ( ) 在点 x0 可导, 则函数 定理 5.5 若函数 u x v x ( ), ( ) 在点 x0 可导, 则函数
(3)(cu(x))' l x=x = cu'(xo)定理5.6可推广到任意有限个函数相乘的情形，如(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'下面证明乘积公式(2)，请读者自行证明公式（1)证（2）按定义可得u(xo + △x)v(xo + Ax)-u(xo)v(xo)f'(xo)= limAxAx-→0u(xo + Ax)v(x +△x) -u(xo)v(xo + Ax)limA二Axx-0后页返回前页
前页 后页 返回 ( ( )) ( ). ( ) 0 0 3 x x cu x cu x = = ( ) . uvw u vw uv w uvw = + + 定理 5.6 可推广到任意有限个函数相乘的情形, 如 下面证明乘积公式 (2), 请读者自行证明公式 (1) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 Δ 0 Δ Δ x Δ u x x v x x u x v x f x → x + + − = 0 0 0 0 Δ 0 ( Δ ) ( Δ ) ( ) ( Δ ) lim x Δ u x x v x x u x v x x → x + + − + = 证 (2) 按定义可得
u(xo)v(x + △x) -u(xo)v(xo)xu(xo + 4x)-u(xo)v(xo + 4x)lim=x4x-→0v(xo + 4x)-v(x)+ lim u(xo)4x4x-→0= u'(xo) v(xo) + u(xo) v(xo)(uv) uvl，千万不要把导数乘积公式(2)注意：福记错了.返回前页后页
前页 后页 返回 0 0 0 0 u x v x x u x v x ( ) ( ) ( ) ( ) x + − + 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x u x x u x v x x x → + − = + 注意: , ( ) uv u v 千万不要把导数乘积公式(2) × == 记错了. 0 0 0 0 = + u x v x u x v x ( ) ( ) ( ) ( ) . 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x v x x v x u x x → + − +
例1 求 f(x)=ax"+axn-l+...+an-x+a,的导数解 f'(x)=(a,x") +(ax"-')'+...+(a.-x)'+(a,)= na,x"-l +(n-1)a,x"- +...+ an-1.因此，对于多项式f而言，f'总是比f低一个幂次例2 求y=sinxlnx在x=元处的导数解 由公式 (2)，得y' = (sinx)'ln x + sin x(ln x)' = cosx ln x + -sin x,y'lx=元 = -ln 元.后页返回前页
前页 后页 返回 例1 1 0 1 1 ( ) . n n n n f x a x a x a x a − 求 的导数 = + + + + − 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − = + + + + n n n n 解 f x a x a x a x a 因此, 对于多项式 f 而言, f 总是比 f 低一个幂次. 例2 求 y x x x = = sin ln . 在 π处的导数 解 由公式 (2)，得 1 2 0 1 1 ( 1) . − − = + − + + − n n na x n a x an ln . x y = = − 1 y x x x x x x x (sin ) ln sin (ln ) cos ln sin , x = + = +
若函数 u(x),v(x)在点x可导,v(x)±0,定理5.7天u(x)在点x也可导，且则 f(x)=v(x)u(x,)v(x,)-u(x,)v'(xo)u(x)(4)v(x)v(xo)x=0前页后页返回
前页 后页 返回 0 0 0 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (4) ( ) ( ) x x u x u x v x u x v x v x v x = − = 在点 x0 也可导，且 ( ) ( ) ( ) u x f x v x 则 = 定理5.7 若函数 u x v x ( ), ( ) 在点 x0 可导, 0 v x( ) 0,
证设 g(x)=则 f(x)=u(x)g(x). 对 g(x),有v(x)11g(xo +Ax)-g(xo)v(xo +△x)v(xo)AxAx1v(xo + △x) -v(xo)Axv(xo +△x) : v(xo)由于(x)在点 x可导，v(x)±0，因此后页返回前页
前页 后页 返回 证 1 ( ) ( ) ( ) ( ). ( ), ( ) g x f x u x g x g x v x 设 ，则 对 有 = = 0 0 0 0 1 1 ( Δ ) ( ) ( Δ ) ( ) Δ Δ g x x g x v x x v x x x − + − + = 0 0 0 0 ( Δ ) ( ) 1 . Δ ( Δ ) ( ) v x x v x x v x x v x + − = − + 由于 v x( ) 在点 x0 可导, v x( ) 0, 0 因此
g(x, +Ax)-g(xo) v(xo)g'(xo) = lim(x0)x4x→0(5)亦即福X对 f(x)=u(x)g(x) 应用公式(2) 和 (5), 得f'(xo)=u(xo)g(xo)+u(xo)g'(xo) ,u(xo)v(xo) -u(xo)v'(xo)（当）即(xo)X=Xo后页返回前页
前页 后页 返回 对 f x u x g x ( ) ( ) ( ) = 应用公式 (2) 和 (5), 得 0 0 0 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim , x ( ) g x x g x v x g x → x v x + − = = − Δ Δ 0 0 2 0 1 ( ) . ( ) ( ) x x v x v x v x = = − 亦即 (5) 0 0 0 0 0 f x u x g x u x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , = + 0 0 0 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) x x u x u x v x u x v x v x v x = − = 即
例3求下列函数的导数：(i）x-n，n是正整数；(ii) tanx, cotx:(iii) secx, cscx.hxn-1-nx-n-1解(i)(x-")2n文sinx(sin x)'cos x - sin x(cosx)(ii) (tanx)cosxcos.x1cos x +sinX2= secx22cosxcosx后页返回前页
前页 后页 返回 例3 求下列函数的导数： 2 2 2 2 2 cos sin 1 sec . cos cos x x x x x + = = = ( i ) , ; n x n − 是正整数 (ii) tan , cot ; x x (iii) sec , csc . x x 解 1 1 2 1 ( i ) ( ) . n n n n n n x x nx x x − − − − = = − = − 2 sin (sin ) cos sin (cos ) (ii) (tan ) cos cos x x x x x x x x − = =
同理可得(cot x)' = -cscx2sin?x(cosx)'sinx(i) (secx)-一cos"xcos"xcosx= secx tanx.同理可得(cscx) = -cscx cot x.返回前页后页
前页 后页 返回 同理可得 = sec tan . x x 2 2 1 (cos ) sin (iii) (sec ) cos cos cos x x x x x x = = − = (csc ) csc cot . x x x = − 2 2 1 ( cot ) csc . sin x x x = − = − 同理可得