S2 第二型曲线积分第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分，这是由于第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线作的功，而这类问题显然与曲线的方向有关。一、第二型曲线积分的定义二、第二型曲线积分的计算三、两类曲线积分的联系前页后页返回
前页 后页 返回 §2 第二型曲线积分 第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的 是在有方向的曲线上定义的积分, 这是由于 第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线 作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关. 三、两类曲线积分的联系 一、第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的计算 返回
一．第二型曲线积分的定义在物理中还遇到过另一yB(M,)种类型的曲线积分问题M-1例如一质点受力F(x,J)L(x,y)P的作用沿平面曲线L从M,H0M,A(M.)点A移动到点B,求力x0F(x,y)所作的功，,见图图20-220-2.后页前页返回
前页 后页 返回 一． 第二型曲线积分的定义 在物理中还遇到过另一 种类型的曲线积分问题. 例如一质点受力 F x y ( , ) 的作用沿平面曲线 L 从 点 A 移动到点 B, 求力 F x y ( , ) 所作的功,见图 20-2. 图 20 2 − O y x A M0 ( ) ( , ) x y M1 M2 M n−1 B M n ( ) F L P Q
为此在曲线 AB内插入n-1个分点M,Mz,Mn-1它们与 A=M,B=M,一起把有向曲线 AB分成 n个有向小曲线段 M;-,M,(i=1,2,,n).若记小曲线段 M-,M,的弧长为 △s;,则分割 T 的细度为II T II= max As,.1<i<n设力 F(x,y)在x轴和y轴方向的投影分别为P(x, y)与Q(x, y), 那么F(x,y) =(P(x, y), Q(x, y)后页返回前页
前页 后页 返回 AB n −1 1 2 1 , , , 为此在曲线 内插入 个分点 M M M n− 0 , 它们与 A M B M = = n 一起把有向曲线 AB 分成 n 个有向小曲线段 M M i n i i −1 ( 1,2, , ). = 若记小曲线 = 1 || || max . i i n T s 设力 F x y ( , ) 在 x y 轴和 轴方向的投影分别为 P x y Q x y ( , ) ( , ), 与 那么 F x y P x y Q x y ( , ) ( ( , ), ( , )). = M Mi i −1 , i 段 的弧长为 s 则分割 T 的细度为
又设小曲线段 M-,M,在 x轴和y轴上的投影分别为Ax, =x; -xi-1 与 Ay; = y;-yi-1, 其中(x, y,)与(x;-1, yi-1)分别为点 M,与 M-,的坐标.记LMiM, =(Ax, Ay,),于是力 F(x,y)在小曲线段 M-,M,上所作的功W, ~ F(5, n:) Lm-m, = P(5i, n;)Ax, +Q(5, n:)Ay;其中(S;,n;)为小曲线段 M-,M,上任一点.因而力F(x,Jy)沿曲线AB所作的功近似地等于后页返回前页
前页 后页 返回 M Mi i −1 又设小曲线段 在 x y 轴和 轴上的投影分别为 1 1 ( , ) i i x y − − 分别为点 M M i i 与 −1 的坐标. 记 − = 1 ( , ), M M i i i i L x y F x y ( , ) 于是力 在小曲线段 M Mi i −1 上所作的功 1 ( , ) ( , ) ( , ) , i i W F L P x Q y i i i M M i i i i i i − = + ( , ) i i 其中 为小曲线段 M Mi i −1 上任一点. 因而力 F x y ( , ) 沿曲线 AB 所作的功近似地等于 = − = − − − 1 1, i i i i i i x x x y y y 与 其中 ( , ) i i x y 与
W -Zw, ~ ZP(s, n,)Ax, + Zo(5, n,)Ay,.i-1i=1i=1当细度ⅡTI→0时,上式右边和式的极限就应该是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分定义1设函数P(x,)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L：AB上.对L的任一分割T,它把L分成n个小曲线段M-M,(i =1,2,..,n),返回前页后页
前页 后页 返回 = = = = + 1 1 1 ( , ) ( , ) . n n n i i i i i i i i i i W W P x Q y 当细度 || || 0 T → 时, 上式右边和式的极限就应该是 所求的功. 这种类型的和式极限就是下面所要讨论 的第二型曲线积分. 定义1 设函数 P x y Q x y ( , ) ( , ) 与 定义在平面有向可 求长度曲线 L AB : 上. 对 L 的任一分割 T, 它把 L 分 成n个小曲线段 M M i n i i −1 ( 1,2, , ), =
其中 M,=A,M,=B.记个小曲线段M-M,的弧长为△s,分割 T的细度 II T I= max△s,·又设 T 的分点1<i≤nM,的坐标为(x,,y;),并记Ax, = x, - x;-1, Ay, = y; - yi-1,(i = 1,2,.**,n)在每个小曲线段 M-,M,上任取一点(5i,n;),若极限lim Z P(5, n,)Ax, + lim, Zo(5, n,)Ay;IT-0ITII-0 i=1i-1存在且与分割T与点(Si,n)的取法无关，则称此极限为函数P(x,y),Q(x,y)沿有向曲线L上的第二型后页返回前页
前页 后页 返回 0 = = , . 其中 M A M B n 记个小曲线段 M Mi i −1 的弧长 , i s T = 1 || || max . i i n 为 分割 的细度 T s 又设 T 的分点 = − −1 , i i i x x x = − = −1 ,( 1,2, , ). i i i y y y i n M Mi i −1 ( , ), i i 在每个小曲线段 上任取一点 若极限 → → = = + || || 0 || || 0 1 1 lim ( , ) lim ( , ) n n i i i i i i T T i i P x Q y 存在且与分割 T 与点 ( , ) i i 的取法无关, 则称此极 限为函数 P x y Q x y ( , ), ( , ) 沿有向曲线 L 上的第二型 Mi 的坐标为 ( , ), x y i i 并记
曲线积分，记为J, P(x, y)dx +Q(x, y)dy或(1)P(x, y)dx + Q(x, y)dyAB上述积分(1)也可写作f, P(x, y)dx + f,o(x, y)dy或P(x, y)dx + (,Q(x, y)dyABAB前页后页返回
前页 后页 返回 曲线积分, 记为 ( , )d ( , )d L P x y x Q x y y + ( , )d ( , )d (1) AB P x y x Q x y y + 或 ( , )d ( , )d L L P x y x Q x y y + ( , )d ( , )d AB AB P x y x Q x y y + 上述积分(1)也可写作 或
为书写简洁起见，(1)式常简写成[, Pdx +Qdy 或 [, Pdx + Qdy.AB若L为封闭的有向曲线,则记为d, Pdx + Qdy.(2)若记 F(x, y) =(P(x, y),Q(x, y)), ds =(dx, dy), 则(1)式可写成向量形式F.ds 或龙F.ds.(3)JLAB于是,力F(x,y)=(P(x,J),Q(x,J))沿有向曲线后页返回前页
前页 后页 返回 为书写简洁起见, (1)式常简写成 + d d L P x Q y d d . AB P x Q y + 或 式可写成向量形式 d d . (2) L P x Q y + 若L为封闭的有向曲线, 则记为 若记 F x y P x y Q x y s x y ( , ) ( ( , ), ( , )), d (d , d ), = = 则(1) d L F s d . (3) AB F s 或 于是, 力 F x y P x y Q x y ( , ) ( ( , ), ( , )) = 沿有向曲线
L：AB对质点所作的功为W = (, P(x, y)dx +Q(x, y)dy.若L为空间有向可求长曲线,P(x,y,z),Q(x,J,z),R(x,y,z)为定义在L上的函数,则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分并记为(, P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz, (4)JL或简写成返回前页后页
前页 后页 返回 L AB : 对质点所作的功为 ( , )d ( , )d . L W P x y x Q x y y = + 若L为空间有向可求长曲线, P x y z ( , , ),Q x y z ( , , ), R x y z ( , , ) 为定义在L上的函数, 则可按上述办法类 似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分, 并记为 ( , , )d ( , , )d ( , , )d , (4) L P x y z x Q x y z y R x y z z + + 或简写成
. Pdx + Qdy + Rdz.1当把F(x, y) =(P(x, y),Q(x, y),R(x, y)) 与ds = (dx, dy, dz)看作三维向量时，（4)式也可表示成(3)式的向量形式第二型曲线积分与曲线L的方向有关.对同一曲线当方向由A到B 改为由B到A时,每一小曲线段的方向改变，从而所得的△x,,△y;也随之改变符号，故后页返回前页
前页 后页 返回 d d d . L P x Q y R z + + F x y P x y Q x y R x y ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , )) = 与 d (d , d , d ) s x y z = 当把 看作三维向量时, (4)式也可表示成(3)式的向量形式. 第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关. 对同一曲线, 当方向由 A 到 B 改为由 B 到 A 时, 每一小曲线段的 方向改变, 从而所得的 , i i x y 也随之改变符号, 故