S1 导数的概念导数是微分学的核心概念，是研究函数与自变量关系的产物，又是深刻研究函数性态的有力工具.无论何种学科，只要涉及“变化率”，就离不开导数。一、导数的概念二、导函数三、导数的几何意义返回前页后页
前页 后页 返回 导数是微分学的核心概念,是研究函数 §1 导数的概念 一、导数的概念 化率”, 就离不开导数. 三、导数的几何意义 二、导函数 态的有力工具. 无论何种学科, 只要涉及“变 与自变量关系的产物, 又是深刻研究函数性 返回
一、导数的概念牛顿（1642一1727,英国费马（1601-1665，法国莱布尼茨（1646-1716，德国）前页后页返回
前页 后页 返回 一、导数的概念 牛顿 ( 1642－1727, 英国 ) 费马 (1601-1665, 法国 ) 莱布尼茨( 1646-1716, 德国 )
1.瞬时速度设一质点作直线运动，质点的位置s是时间t的函数，即其运动规律是 s=s(t)，求在某时刻的瞬时速度时刻t及邻近时刻t之间的平均速度：_ s(0)-s(o)t-tos(t)-s(to)lim1t时刻的瞬时速度t-tot-→to返回前页后页
前页 后页 返回 1. 瞬时速度 设一质点作直线运动, 质点的位置 s 是 ( ) ( ) . 0 0 t t s t s t v − − = 时间 t 的函数, 即其运动规律是 s = s(t), 求在某 ( ) ( ) v t t s t s t t t = − − → 0 0 0 t lim 0时刻的瞬时速度： 时刻 t0 的瞬时速度 时刻 t0 及邻近时刻 t 之间的平均速度：
如图所示，需要寻找曲线y=f(x)在2.切线的斜率其上一点 P(xo,Jo)处的切线PT.,Qy=f(x)k_ f(x)-f(xo)TPx-xoaxx曲线在点P的切线PT的斜率为：OXof(x)-f(x)k = limx→xox-xo返回前页后页
前页 后页 返回 2. 切线的斜率 如图所示, . ( ) ( ) 0 0 _ x x f x f x k − − = 其上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线PT. 需要寻找曲线 y = f (x) 在 Q T 0 O x x x y P • • y f x = ( ) 曲线在点 P 的切线 PT 的斜率为： 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x k x x − − = →
s(0) - s(to) --lim1t时刻的瞬时速度：t-tot→to曲线在点P的切线PT的斜率为：f(x)- f(xo)k = limx→Xox-xo前页后页返回
前页 后页 返回 ( ) ( ) v t t s t s t t t = − − → 0 0 0 t lim 0时刻的瞬时速度： 曲线在点 P 的切线 PT 的斜率为： 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x k x x − − = →
定义1设函数 y=f(x)在点 x的某邻域内有定义，如果极限f(x)- f(xo)(3)limx→xox-Xo存在，则称函数f 在点x,可导，该极限称为f 在xo的导数，记作f'(xo).令 Ar =x - xo, Ay= f (xo +Ar) -f(xo),f(x, +4x) - f (xo). (4)Ay=limf(xo)= lim4x4x-→0 4x4x-→0后页返回前页
前页 后页 返回 定义1 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定 义，如果极限 0 0 0 ( ) ( ) lim (3) x x f x f x → x x − − 存在, 则称函数 f 在点 x0可导, 该极限称为 f 在 令 Dx = x – x0 , Dy = f (x0 +Dx) –f (x0 ), 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim . (4) x x y f x x f x f x D D x x D D → → D D + − = = x0 的导数，记作 ( ). x0 f
导数的意义：f'(x）就是f(x)关于x在x处的变化率例1 求函数 y=x3 在 x=1处的导数，并求该曲线在点P(1,1)的切线方程解 因为 Ay= f(1+Ax)- f(1)=(1+Ax)3 -1=3Ar +3Ar2+Ar3返回前页后页
前页 后页 返回 例1 求函数 y = x 3 在 x = 1 处的导数，并求该曲 线在点 P (1,1) 的切线方程. 解 (1 ) (1) (1 ) 1 3 因为 Dy = f + Dx − f = + Dx − 3 3 , 2 3 = Dx + Dx + Dx ( ) 就是 f (x) 关于 x 在 x0 处的变化率. x0 f 导数的意义：
所以Ay = lim (3+3Ax+ Ar*)=3.f'(1)= limAx-0 Ax Ax-0由此可知曲线 y=x3在点P(1,1)的切线斜率为k = f'(1)=3,于是所求切线方程为 y-1=3(x-1)即y = 3x - 2.后页返回前页
前页 后页 返回 (1) lim lim ( 3 3 ) 3 . 2 0 0 = + D + D = D D = D → D → x x x y f x x 由此可知曲线 y = x 3 在点 P(1, 1) 的切线斜率为 k = f (1) = 3, 所以 于是所求切线方程为 y −1 = 3(x −1), 即 y = 3x − 2
例2 常量函数 f(x)=在任何一点 x的导数都为零.这是因为 △y=0，所以 f(x)=0.例3 证明函数 f(x)=|x|在 x=0 处不可导证 因为1, x>0,f(x)- f(0)x-0-1, x<0,当x→0 时它的极限不存在，所以f(x)在x=0处不可导后页返回前页
前页 后页 返回 例2 常量函数 f (x) = c 在任何一点 x 的导数都为 例3 证明函数 f (x) = | x | 在 x = 0 处不可导. 证 因为 ( ) (0) 1, 0, 0 1, 0, f x f x x x − = − − 当 x → 0 时它的极限不存在, 所以 f (x) 在 x = 0 零. 这是因为 Dy 0，所以 f (x) 0. 处不可导
例4证明函数1x±0xsinxf(x)=0,x=0在x=0处不可导证因为当x→0时f(x)- f(0)品sinx-0x不存在极限，所以f在x=0 处不可导后页返回前页
前页 后页 返回 例4 证明函数 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x = = 在 x = 0 处不可导. ( ) (0) 1 sin 0 f x f x x − = − 不存在极限,所以 f 在 x = 0 处不可导. 证 因为当 x → 0 时