＊s7 n重积分由于三维以上的空问中区域的体积没有直观的几何意义，因此本节先定义n维长方体的体积，再定义n维区域的体积，最后建立起n重积分的理论与计算方法一、n重积分的物理背景二、 n 重积分的定义三、n重积分的计算前页后页返回
前页 后页 返回 *§7 n 重 积 分 由于三维以上的空间中区域的体积没有 直观的几何意义, 因此本节先定义 n维长方 体的体积, 再定义 n维区域的体积, 最后建 立起 n重积分的理论与计算方法. 一、n 重积分的物理背景 二、 n 重积分的定义 三、 n 重积分的计算 返回
一、n重积分的物理背景设物体V中点坐标为(xi,yi,z),V中点坐标为(x2,2,z2),它们的密度函数分别为P(xi,i,z)与P2(x2,J2,z2),且它们之间的引力系数为1. 下面用微元法求它们之间的引力.为此，在V中取质量微元P,dx,dyidzi，在V,中取质量微元P,dx,dy,dz2，由万有引力定律知道，V的微元对V,的微元的引力在x轴上的投影为后页返回前页
前页 后页 返回 一 、n 重积分的物理背景 V1 1 1 1 ( , , ), x y z 设物体 中点坐标为 V2 中点坐标为 2 2 2 2 ( , , ) x y z , 且它们之间的引力系数为1. 下面用 微元法求它们之间的引力. 为此, 在 V1 中取质量微 万有引力定律知道 V1 V2 , 的微元对 的微元的引力 在 x 轴上的投影为 2 2 2 ( , , ), x y z 1 1 1 1 它们的密度函数分别为 ( , , ) x y z 与 1 1 1 1 d d d , x y z 元 在 V2 中取质量微元 2 2 2 2 d d d , x y z 由
dF, = PrP,(x -x,)dx,dy,dz,dx,dy,dz,r3其中 r=/(x,-x,)+(yi-2)+(z -z2).于是V与V，间的引力在x轴上投影的值为r /p (og-d, d,dda..r3V这个6重积分是在由(xi,J,,X2,2,z2)构成的六维区域V=V,×V上的积分.引力在y轴和z轴上的投影也是类似的积分.这就是n重积分的应用背景后页返回前页
前页 后页 返回 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 3 ( )d d d d d d d , x x x x y z x y z F r − = 其中 2 2 2 1 2 1 2 1 2 r x x y y z z = − + − + − ( ) ( ) ( ) .于是 V1 与 V2 间的引力在x轴上投影的值为 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 2 2 2 ( , , ) ( , , )( )d d d d d d . x V x y z x y z x x F x y z x y z r − = 这个6重积分是在由 1 1 1 2 2 2 ( , , , , , ) x y z x y z 构成的六维 区域 V V V = 1 2 上的积分. 引力在y轴和z 轴上的投 影也是类似的积分.这就是 n重积分的应用背景
二、n重积分的定义先定义n维区域的体积1.最简单的n维区域是n维长方体V =[a,,b,]x[a2,b,]x...x[an,b.]规定 V的体积为(b, -a,)(b, -az).(bn-an)2.仿照可求面积概念那样建立n维区域G的可求体积概念.用覆盖G的有限个n维长方体体积之和的下确界定义为G的外体积，用G所包含的没有公共内点的有限个n维长方体体积之和的上确界定义返回前页后页
前页 后页 返回 二、n重积分的定义 先定义 n 维区域的体积. 1.最简单的 n 维区域是 n 维长方体 1 1 2 2 [ , ] [ , ] [ , ], V a b a b a b = n n V 1 1 2 2 ( )( ) ( ). n n 规定 的体积为 b a b a b a − − − 2. 仿照可求面积概念那样建立n维区域 G 的可求体 积概念. 用覆盖 G 的有限个n维长方体体积之和的 内点的有限个 n 维长方体体积之和的上确界定义 下确界定义为 G 的外体积, 用 G 所包含的没有公共
为G的内体积,外体积与内体积相等的区域称为可求体积的.可以证明n维单纯形X, ≥0,x, ≥0,.",x, ≥0, x, +x, +...+x, ≤h和 n维球体x+x?+...+x, <R的是可求体积的3.设n元函数f(xi,x2，x）定义在n维可求体积的区域V上.照例通过对V的分割、近似求和、取后页返回前页
前页 后页 返回 为 G 的内体积, 外体积与内体积相等的区域称为可 求体积的. 可以证明 n 维单纯形 1 2 1 2 0, 0, , 0, n n x x x x x x h + + + 和 n 维球体 2 2 2 2 1 2 n x x x R + + + 的是可求体积的. 3. 设n元函数 1 2 ( , , ) n f x x x 定义在n 维可求体积 的区域 V 上.照例通过对 V 的分割、近似求和、取
极限的过程，便得到n重积分：=(1)f(x,...x,)dx,..dxn4.n重积分也有与二重积分相仿的结论，例如若f(xj,x,)在有界闭区域V上连续,则n 重积分(1)必存在。后页返回前页
前页 后页 返回 极限的过程,便得到 n重积分： 1 1 ( , )d d . (1) n n n V I f x x x x = 4. n 重积分也有与二重积分相仿的结论,例如: 若 1 ( , ) n f x x 在有界闭区域V上连续, 则n 重积分 (1)必存在
三、n重积分的计算计算n重积分的办法是把它化为重数较低的积分来计算.如当积分区域是长方体[a,,b,]x[a,,b,]x...×[an,b,]时,则有"dx,dx"f(x,..,xn)dx.当V由一组不等式a ≤x,≤bi,a,(x)≤x, ≤b,(xi),后页返回前页
前页 后页 返回 计算 n 重积分的办法是把它化为重数较低的积分来 计算.如当积分区域是长方体 [ , ] [ , ] [ , ] 1 1 2 2 n n a b a b a b 时,则有 = 1 2 1 2 d d ( , , )d . 1 2 1 n n b b b n n a a a I x x f x x x 当 V 由一组不等式 1 1 1 2 1 2 2 1 a x b a x x b x , ( ) ( ), , 三、 n 重积分的计算
a,(x,...,xn-1)≤x,≤b,(xi,..",xn-)表示时,则有bz(x)I =(xj,",xn)dxnX设变换X = x(51,52,,5n)X2 = x,(51,52,*,5n),[x, = x,(51,52,",5n),把n维55空间区域V一对一地映射成n维前页后页返回
前页 后页 返回 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n n a x x x b x x − − 表示时,则有 − − = 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ( ) ( , , ) 1 2 1 ( ) ( , , ) d d ( , , )d . n n n n b b x b x x n n a a x a x x I x x f x x x 设变换 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ), : ( , , , ), n n n n n x x x x T x x = = = 1 2 n 把 n 维 空间区域 V一对一地映射成 n 维
Xixxn空间中的区域V,且在V上的函数行列式ax,ax,ax;05,a5i05nax2ax2ax,a(x,x,x,)5i052o5.# 0,a(51,52,.5n).....x,axnaxna5.505,[a5i则成立下列n重积分的换元公式：前页后页返回
前页 后页 返回 1 2 n x x x 空间中的区域V, 且在 V 上的函数行列式 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , , ) 0, ( , , ) n n n n n n n n x x x x x x x x x J x x x = = 则成立下列 n 重积分的换元公式：
I- (x.,)dx..dx.n( (5.),(5.)xIJId5,d5,...dEn例 求 - .了,( .+ )d,..dx,,其中 V为 n 维立方体:[0,1]×.·×[0,1]解 利用对称性,有后页返回前页
前页 后页 返回 1 1 ( , )d d n n n V I f x x x x = 解 利用对称性,有 1 1 1 ( ( , ), , ( , )) n n n n V = f x x 1 2 | | d d d . n J 例1 求 5 5 1 1 ( )d d , n n n V I x x x x = + + 其中 V 为n 维立方体: [0,1] [0,1].