S3 数列极限存在的条件一、单调有界定理二、柯西收敛准则返回前页后页
前页 后页 返回 §3 数列极限存在的条件 一、单调有界定理 二、柯西收敛准则 返回
一、单调有界定理定理2.9在实数集内.有界的单调数列必有极限福有上界的单调递增的数列必有极限有下界的单调递减的数列必有极限a,(n>N)ana-saa+前页后页返回
前页 后页 返回 一、单调有界定理 定理 2.9 在实数集内,有界的单调数列必有极限. a− a + ( ) x N a a ( ) n a n N 有上界的单调递增的数列必有极限. 有下界的单调递减的数列必有极限
例1 设 a,=1+,α>120M证明：(an)收敛例2 设 a, = V2, .., a, = V2+ V2+.+ ~2n求 liman.n-→8前页后页返回
前页 后页 返回 例2 设 1 2, , 2 2 2 , , n n a a = = + + + 求 lim . n n a → 例1 设 1 1 1 1 , 1. 2 3 n a n = + + + + 证明: . an收敛
习题2下面的叙述错在哪儿？“设 a, = 2", n =1, 2, ..,则an+1 =2+l =- 2an.因为显然有 a,>0,所以 {a,} 递增.设 lima,=A,n8从而得出A=2A-A=0,即 lim 2n = 0. "n→80返回前页后页
前页 后页 返回 习题2 下面的叙述错在哪儿？ 2 2 . 1 1 n n an = = a + + 因为显然有 0, { } . n n a a 所以 递增 lim , n n a A → 设 = 2 , 1, 2, , n n “设 a n = = 则 A A A = = 2 0 , lim 2 0 . n n→ 即 = ” 从而得出
例3设s是有界数集.证明：若sups=a?S,则存在严格单调增数列x,c s,使得limx,=a.n-00证因a是S的上界，故对V>0,3xeS,使得x>a-&.又因a生s,故x<a,从而有a-8<x<a.现取6,=1,则3x, ES,使得a-<x<a.再取8,=mint,a-xi,则3x, eS,使得后页返回前页
前页 后页 返回 例3 设 S S a S 是有界数集. : sup , 证明 若 = 则存 { } , lim . n n n x S x a → 在严格单调增数列 = 使得 证 因 a S x S 是 的上界,故对 0, ,使得 x a a S x a − . , , 又因 故 从而有 a x a − . 1 1 现取 = 1, , 则 x S 使得 1 1 a x a − . 2 1 2 1 min{ , }, , 2 再取 = − a x x S 则 使得
a-8a-8, ≥a-(a-x)=xi一般地,按上述步骤得到x,-之后，取8, = min(-,a -x,-11,n则存在x,ES,使得a-ona-6,≥a-(a-xn-1)=xn-1于是得到(x,c S,它是严格单调的,满足后页返回前页
前页 后页 返回 − 1 2 a x a , 1 , n x 一般地 按上述步骤得到 − 之后,取 1 1 min{ , }, n n a x n = − − , n 则存在 x S 使得 − , n n a x a 2 2 1 1 且有 x a a a x x − − − = ( ) . 1 1 ( ) . n n n n x a a a x x 且有 − − − = − − { } , n 于是得到 x S 它是严格单调的,满足
a-e<x<a,因此, Ix,-al<8,≤-,n=1,2,..这就证明了lim x, = a.n→00前页后页返回
前页 后页 返回 − , n n a x a lim . n n x a → 这就证明了 = − = 1 , 1,2, . n n x a n n 因此,
例4 证明极限 lim(1+-)"存在,n00n证设 a, -(1+-),n=1,2,.n(n-1)...1 11 n(n-1) 1a, =1+n-h?n"2!n!n1(1-1)+(1--(1-3)3!1!2!nn1-(1--)(1-2)(1- n-1)(1)十+n!nn返回前页后页
前页 后页 返回 1 1 2 1 (1 )(1 ) (1 ), (1) ! n n n n n − + + − − − − − = + + + + 2 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 2! ! n n n n n n a n n n n n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! 3! n n n = + + − + − − → + 1 lim(1 ) . n n n 例4 证明极限 存在 证 = + = 1 (1 ) , 1,2, . n n a n n 设
21(1- 1)+1-)(1 -1 =1+San+171!2!3!n+n+1n+12001nn+n++21n)(1(1X(n+1)!n+1n+ln+l把a,和a,的展开式作比较就可发现,a,的展开式有n+1项，其中的每一项都比a的展开式中的前n+1项小,而a的最后一项大于零.因此后页返回前页
前页 后页 返回 1 1 2 (1 )(1 ) (1 ). ( 1)! 1 1 1 n n n n n + − − − + + + + + +1 1 的前 n a 项小 n ,而 的最后一项大于零.因此 +1 , n n n 把 a a a 和 的展开式作比较就可发现 的展开 + = + + − + − − + + + 1 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! 1 3! 1 1 n a n n n 1 1 2 1 (1 )(1 ) (1 ) ! 1 1 1 n n n n n − + + − − − + + + + +1 1 式有 n a 项 n ,其中的每一项都比 的展开式中
+-+--)二a, =1+1!2!(-)α-2)-(1-"-),(1)!n111211)+(-(1-+)(11+an+121!3!2!n+in+1n+12)(1..(1C1Vh!n+1n+n+l21)(1..(11!(n+n+?后页返回前页
前页 后页 返回 1 1 2 1 (1 )(1 ) (1 ), (1) ! n n n n n − + + − − − = + + − + − − 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! 3! n a n n n 1 1 2 (1 )(1 ) (1 ). ( 1)! 1 1 1 n n n n n + − − − + + + + + = + + − + − − + + + 1 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! 1 3! 1 1 n a n n n 1 1 2 1 (1 )(1 ) (1 ) ! 1 1 1 n n n n n − + + − − − + + +