S1 反常积分概念反常积分讨论的是无穷区问上的积分和无界函数的积分，是定积分概念的推广。一、反常积分的背景二、两类反常积分的定义前页后页返回
前页 后页 返回 §1 反常积分概念 一、反常积分的背景 反常积分讨论的是无穷区间上的积 分和无界函数的积分，是定积分概念 的推广. 二、两类反常积分的定义 返回
一、反常积分的背景在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间的有穷性：被积函数的有界性但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间上的“积分”或无界函数的“积分”，例1（第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度v至少要多大？返回前页后页
前页 后页 返回 一、反常积分的背景 在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间 但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间 例1(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火 的有穷性; 被积函数的有界性. 上的“积分”或无界函数的“积分”. 箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初 速度 v0 至少要多大？
解设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为g，按万有引力定理，在距地心x(≥R）处火箭所受的引力为F-mgR?Y于是火箭从地面上升到距地心为r>R)处需作功mgR?Pdx=mgR福大RR后页返回前页
前页 后页 返回 解 设地球半径为 R,火箭质量为 m,地面上的重 处火箭所受的引力为 , 2 2 x mgR F = 于是火箭从地面上升到距地心为 r( R) 处需作功 . 1 1 d 2 2 2 = − R r x mgR x r mgR R 力加速度为 g, 按万有引力定理, 在距地心 x( R)
当r→+时，其极限mgR就是火箭无限远离地球需作的功于是自然把这一极限写作上限为+00的积分+omgR?mgR?Jimdx =dx = mgR.JR心大JRr+o0J由机械能守恒定律可求初速度V至少应使Imvg = mgR.用g=9.81(m/s),R=6.371×10°(m)代入,得Vg = /2gR~11.2 (km/s).前页后页返回
前页 后页 返回 当 r → + 时,其极限 mgR 就是火箭无限远离地 +的积分 2 2 2 2 d lim d . r R R r mgR mgR x x mgR x x + →+ = = 由机械能守恒定律可求初速度 v0 至少应使 2 0 1 . 2 mv mgR = 2 6 用 g R = = 9.81(m / s ) , 6.371 10 (m) 代入,得 0 v gR = 2 11.2 (km/s). 球需作的功．于是自然把这一极限写作上限为
例2 圆柱形桶的内壁高为 h.内半径为R,桶底有一半径为r的小孔：试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？解 桶内水位高度为 h-x 时,流出水的速度为V=/2g(h-x)在时间dt内，桶中液面降低的微小量为dx，它们之间应满足元Rdx=v元rdt，因此R?dx,xe[0,h]dt=r /2g(h-x)前页后页返回
前页 后页 返回 例2 圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R,桶底有 v g h x = − 2 ( ). 在时间d t内,桶中液面降低的微小量为d x,它们 ( ) 2 2 d d , 0, . 2 R t x x h r g h x = − 解 桶内水位高度为 h x − 时,流出水的速度为 一半径为 r 的小孔．试问从盛满水开始打开小孔 直至流完桶中的水,共需多少时间？ 2 2 之间应满足 πR x v r t d = π d , 因此
于是流完一桶水所需时间为R21=1PJ2g(h-dx.但由于被积函数是[0,h)上的无界函数,所以它的确切含义为R?t = limdx1.p/2g(h-x)u-h-EE-V--Vlim二u->h后页返回前页
前页 后页 返回 于是流完一桶水所需时间为 ( ) 2 0 2 d . 2 h R t x r g h x = − 但由于被积函数是 0,h) 上的无界函数,所以它的 ( ) 2 0 2 lim d 2 u u h R t x r g h x → − = − ( ) 2 2 2 lim u h R h h u g r → − = − − 确切含义为 2 2 . h R g r =
二、两类反常积分的定义定义1设函数f 定义在[a, +oo)上,且在任何有限区间[a,u]上可积.若存在极限lim J, f(x)dr= J,则称此极限J为函数f 在[a,+o）上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作J = t" f(x)dx,并称「f(x)dx 收敛,否则称f(x)dx发散后页返回前页
前页 后页 返回 二、两类反常积分的定义 区间 [a, u] 上可积. 若存在极限 lim ( )d , u u a f x x J →+ = 则称此极限 J 为函数 f 在 a,+ ) 上的无穷限反 ( )d , a J f x x + = ( )d , a f x x + 并称 收敛 ( )d . a f x x + 否则称 发散 定义1 设函数 f 定义在 [ a, +)上, 且在任何有限 常积分(简称无穷积分),记作
类似定义I,f(x)dx= lim f'f(x)dx,[t f(x)dx=[" f(x)dx+ J, f(x)dx.其中a是（-,+)内任意一点定义2 设函数f 定义在(a,bl上,在a的任意右邻域内无界,但在任何内闭区间[u,b]上有界且可积,如果存在极限lim J'f(x)dx = J,后页返回前页
前页 后页 返回 类似定义 ( )d lim ( )d , b b u u f x x f x x − →− = ( )d ( )d ( )d . a a f x x f x x f x x + + − − = + 其中a 是( − + ， ) . 内任意一点 域内无界, 但在任何内闭区间 [u, b] 上有界且可积. 如果存在极限 lim ( )d , b u a u f x x J → + = 定义2 设函数 f 定义在 (a, b] 上, 在 a 的任意右邻
则称此极限为无界函数 f 在（a,bl上的反常积分记作J -{'f(x)dx,并称[f(x)dx 收敛.若极限 lim /f(x)dx不存在,5则称f(x)dx发散["f(x)dx 为瑕积分,通常称a为的瑕点.又称类似定义瑕点为b时的瑕积分I'f(x) dx - lim J, f(x) dx.前页后页返回
前页 后页 返回 则称此极限为无界函数 f 在 (a, b] 上的反常积分, ( )d , b a J f x x = ( )d b a 则称 f x x 发散. ( )d b a 并称 f x x 收敛. lim ( )d , b u a u 若极限 + f x x不存在 → 类似定义瑕点为 b 时的瑕积分 ( ) d lim ( ) d . b u a a u b f x x f x x → − = ( )d b a 又称 f x x 为瑕积分, 通常称a 为 f 的瑕点. 记作
其中f在[a,b)有定义,在b的任一左邻域内无界在任何[a,u]c[a,b]上可积若f 的瑕点ce(a,b)，定义['f(x)dx=f'f(x)dx+f'f(x)dx- Iim 'f(x)d + im J'(x)dx.若f(x)dx和"f(x)dx都收敛,则称f(x)dx收敛后页返回前页
前页 后页 返回 其中 f 在 [a, b) 有定义, 在 b 的任一左邻域内无界, ( )d ( )d ( )d b c b a a c f x x f x x f x x = + lim ( )d lim ( )d . u b u c v c a v f x x f x x → → − + = + 若 f 的瑕点 c a b ( , ) , 定义 ( )d ( )d , ( )d c b b a c a f x x f x x f x x 若 和 都收敛 则称 收敛. 在任何 [ , ] [ , ] a u a b 上可积