S2无穷积分的性质及收敛判别本节讨论无穷积分的性质，并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法。一、无穷积分的性质二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法返回前页后页
前页 后页 返回 §2 无穷积分的性质及收敛判别 一、无穷积分的性质 本节讨论无穷积分的性质, 并用这些 性质得到无穷积分的收敛判别法. 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 三、一般函数无穷积分的收敛判别法 返回
一、无穷积分的性质（无穷积分收敛的柯西准则）无穷积分定理11.1([, f(x)dx 收敛的充要条件是：Vε>0,3G≥a,当 uj,u, >G时,["f(x)dx-」'(x)dx -J"f(x)dx<8.前页后页返回
前页 后页 返回 ( )d a f x x + 收敛的充要条件是: 0, , G a 1 2 2 1 ( )d ( )d ( )d . u u u a a u f x x f x x f x x − = 一、无穷积分的性质 1 2 当 u u G , , 时 定理11.1 (无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分
性质1 若「fi(x)dx与/f,(x)dx 都收敛, kj,k,为任意常数，则[ (kifi(x)+ k,fa(x)dx也收敛,且[ (kif(x)+ k ,(x) dx- kiJ, fi(x)dx + k, J, f,(x)dx.后页返回前页
前页 后页 返回 性质1 1 2 1 2 ( )d ( )d , , a a f x x f x x k k + + 若 与 都收敛 为任意常数,则 ( 1 1 2 2 ( ) ( ) d) a k f x k f x x + + 也收敛,且 ( 1 1 2 2 ( ) ( ) d) a k f x k f x x + + 1 1 2 2 ( )d ( )d . a a k f x x k f x x + + = +
性质2 若f 在任何有限区间[a,ul上可积,则[, f(x)dx 与 [,f(x) dx (Vb>a),同敛态(同时收敛或同时发散)，且," f(x)dx=f'f(x)dx +Jf(x)dx.返回前页后页
前页 后页 返回 ( ) d ( ) d ( ), a b f x x f x x b a + + 与 ( )d ( )d ( )d . b a a b f x x f x x f x x + + = + 同敛态(同时收敛或同时发散)，且 性质2 若 f a u 在任何有限区间[ , ]上可积,则
（无穷积分收敛的充要条件）无穷积分重要结论空厂， f(x)dx 收敛的充要条件是：Vε>0,3G≥a,当u>G时,总有J." (x)dx<6.[ 1f(x)dx 收敛, 则称f(x)dx若无穷积分绝对收敛前页后页返回
前页 后页 返回 ( )d a f x x + 收敛的充要条件是: 0, , G a + ( )d . u f x x 当 u G 时,总有 重要结论 (无穷积分收敛的充要条件)无穷积分 若无穷积分 ( ) d , ( )d a a f x x f x x + + 收敛 则称 绝对收敛
性质3（绝对收敛的无穷积分必收敛)若f在任何有限区间[a, u]上可积,且「 |f(x) dx收敛,则[f(x)dx 亦必收敛,并且J." f(x)dx≤J. / (x) dx.前页后页返回
前页 后页 返回 何有限区间 [a, u]上可积, ( ) d , a f x x + 且 收敛 则 ( )d a f x x 亦必收敛,并且 + ( )d ( ) d . a a f x x f x x + + 性质3(绝对收敛的无穷积分必收敛)若 f 在任
证 因 [ If(x)dx 收敛, 由柯西准则的必要性,对"/f(x)dx0,G>a,当u,>u>G时,S福" (x)dx ≤ "f(x)]dxa, [, f(x)dx ≤],r(x)]dx,于是.f(x)dx - im [" f(x)dx/≤J. (x)]dx.后页返回前页
前页 后页 返回 2 1 0, , , G a u u G 当 时 2 1 ( ) d , u u f x x 因此 2 2 1 1 ( )d ( ) d . u u u u f x x f x x 再由柯西准则的充分性, ( )d a f x x + 推知 收敛. ( )d lim ( )d ( ) d . u a a a u f x x f x x f x x + + →+ = 又对任意 ( )d ( ) d , u u a a f x x f x x u a , 于是 证 ( ) d , a f x x + 因 收敛 由柯西准则的必要性, 对
sinvxdx(a>0)的收敛性Jx(a+x)例5 判别sinVx一,而[rndr收敛,解 由于/x(a+x)x.xsinVx因此Jx(a+x)dx绝对收敛收敛的无穷积分f(x)dx不一定是绝对收敛的若/，f(x)dx收敛而j1 f(x)/dx发散,则称[， f(x)dx 条件收敛.后页返回前页
前页 后页 返回 1 sin d ( ) x x x a x + + 因此 绝对收敛. 收敛的无穷积分 ( )d a f x x + 不一定是绝对收敛的. 例5 1 sin d ( 0) ( ) x x a x a x + + 判别 的收敛性. 解 sin 1 , ( ) x x a x x x + 而 3 2 1 1 dx x + 由于 收敛, ( )d | ( ) | d , a a f x x f x x + + 若 收敛而 发散 则称 ( )d a f x x + 条件收敛
二、非负函数无穷积分的收敛判别法重要结论（非负函数无穷积分的判别法）设定义在[a,+上的非负函数f 在任何[a,u]上可积,则，f(x)dx收敛的充要条件是：3 M >0,使V ue [a, +), " f(x)dx ≤M.前页后页返回
前页 后页 返回 [ , ), ( )d . u a + u a f x x M 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 重要结论(非负函数无穷积分的判别法)设定义在 [ , ) a + 上的非负函数 f 在任何 [ , ] , a u 上可积 则 ( )d a f x x + 收敛的充要条件是: M 0, 使
定理11.2(比较判别法）设定义在[a,+o)上的两个非负函数f，g在任何有限区间[a,u]上可积，且存在G>a,满足f(x) ≤ g(x), x e[G,+00),则当 「,g(x)dx 收敛时,J。f(x)dx 亦收敛;当 「,f(x)dx 发散时,[, g(x)dx 亦发散后页返回前页
前页 后页 返回 f x g x x G ( ) ( ), [ , ), + 非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且 定理11.2 (比较判别法) 设定义在 [ , ) a + 上的两个 存在 G a , 满足 ( )d , ( )d a a f x x g x x + + 当 发散时 亦发散. ( )d , ( )d a a g x x f x x + + 则当 收敛时 亦收敛;