S3欧拉积分在本节中我们将讨论由含参量反常积分定义的两个很重要的非初等函数I函数和B函数一、『函数二、B函数三、I函数与B函数之问的关系前页后页返回
前页 后页 返回 §3 欧 拉 积 分 在本节中我们将讨论由含参量反常积分 定义的两个很重要的非初等函数 —— 一、 函数 二、 B 函数 返回 函数和 函数. 三、 函数与 B 函数之间的关系
一、F函数含参量积分：(1)I(s)= Jxs-le**dx, s >0,称为格马函数I函数可以写成如下两个积分之和：I(s) = J, xs-le-*dx + Jfx-le**dx = I(s)+ J(s),其中I(s)当s≥1时是正常积分,当0<s<1时是收敛的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);后页返回前页
前页 后页 返回 一． 函 数 含参量积分： + − − = 1 0 ( ) e d , 0 , (1) s x s x x s 称为格马函数. 函数可以写成如下两个积分之和： + − − − − = + = + 1 1 1 0 1 ( ) e d e d ( ) ( ) , s x s x s x x x x I s J s 其中 I s s ( ) 1 当 时是正常积分,当 0 1 s 时是收敛 的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);
J(s)当s≥0时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西判别法推得).所以含参量积分(1)在s>0时收敛即I函数的定义域为s>0.1. I(s)在定义域s>0 内连续且有任意阶导数在任何闭区间[a,b](a>O)上，对于函数I(s)，当0<x≤1时有 x"-le-*≤x"-le-*,由于,x-le-*dx 收敛,从而I(s)在[a,b]上也一致收敛,对于J(s)，当后页返回前页
前页 后页 返回 J s s ( ) 0 当 时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西 判别法推得). 所以含参量积分(1)在 s 0 时收敛, 即 函数的定义域为 . s 0. 1. ( )s 在定义域 s 0 内连续且有任意阶导数 在任何闭区间 [ , ]( 0) a b a 上, 对于函数 I s( ) , 当 0 1 x 1 1 e e , s x a x x x − − − − 1 1 0 e d a x x x − − 时有 由于 收 敛, 从而 I s( ) 在 [ , ] a b 上也一致收敛, 对于 J s( ) , 当
1≤x0 上连续用上述相同的方法考察积分+8Sdx= Jt"xs'e** Inxdx .+eJo asJO它在任何区间[a,b](a>0)上一致收敛.于是由定理19.10得到I(s)在[a,b]上可导,由a, b的任意性,I(s)返回前页后页
前页 后页 返回 s 0 上连续. 用上述相同的方法考察积分 ( ) + + − − − − = 1 1 0 0 e d e ln d . s x s x x x x x x s 它在任何区间 [ , ]( 0) a b a 上一致收敛. 于是由定理 19.10得到 ( )s 在 [ , ] a b 上可导, 由a, b的任意性, ( )s 1 + x 1 1 e e , s x b x x x − − − − 1 1 e d b x x x + − − 时 , 有 由于 收敛,从而 J s( ) 在 [ , ] a b 上也一致收敛, 于是 ( )s 在
在s>0上可导，且I'(s)= f."xs-'e-* Inxdx, s >0.同理可证I("(s)= f,x-e**(Inx)"dx , s >0, n = 2,3,...2.递推公式(s+1)= sr(s)对下述积分应用分部积分法，有x'e-*dx = -xe-x+s/xs-xdx1A+s["xs-lexdxE-Ae1前页后页返回
前页 后页 返回 1 0 ( ) e ln d , 0 . s x s x x x s + − − = 同理可证 ( ) 1 0 ( ) e (ln ) d , 0, 2,3, . n s x n s x x x s n + − − = = 2. 递推公式 ( 1) ( ) s s s + = 对下述积分应用分部积分法, 有 1 0 0 0 e d e e d A A A s x s x s x x x x s x x − − − − = − + − − − = − + 1 0 e e d . A s A s x A s x x 在 s 0 上可导, 且
让A→+就得到T(s)的递推公式：(3)r(s +1) = sr(s) .设n<s≤n+1,即o<s-n≤1,应用递推公式(3)n次可以得到r(s +1) = sT(s) = s(s -1)r(s -1) = ...(4)= s(s -1)...(s -n)r(s -n) .公式(3)还指出,如果已知I(s)在0<s≤1上的值，那返回前页后页
前页 后页 返回 让 A → + 就得到 ( )s 的递推公式: ( 1) ( ) . (3) s s s + = 设 n s n s n + − 1 , 0 1 , 即 应用递推公式(3) n次 可以得到 ( 1) ( ) ( 1) ( 1) s s s s s s + = = − − = = − − − s s s n s n ( 1) ( ) ( ) . (4) 公式(3)还指出, 如果已知 ( )s 在 0 1 s 上的值, 那
么在其他范围内的函数值可由它计算出来若s为正整数n+1,则(4)式可写成I(n+1) = n(n -1)...2.1.(1) = n! (e-*dx = n!. (5)3.I函数图象的讨论对一切s>0,(s)和r"(s)恒大于0,因此I(s)的图形位于x轴上方,且是向下凸的.因为r(1)=I(2)=1，所以r(s)在s>0上存在唯一的极小点x,且x,E(l,2)。返回前页后页
前页 后页 返回 么在其他范围内的函数值可由它计算出来. 若s为正整数n+1,则(4)式可写成 0 ( 1) ( 1) 2 1 (1) ! e d ! . (5) x n n n n x n + − + = − = = 3. 函数图象的讨论 对一切 s 0 , ( ) ( ) s s 和 恒大于0, 因此 ( )s 的图形 位于 x 轴上方, 且是向下凸的. 因为 (1) (2) 1 = = ， 所以 ( )s 在 s 0 上存在唯一的极小点 x x 0 0 且 ， (1 2)
又I(s)在(0, x)内严格减;在(x,+)内严格增sT() _ I(s+1) (s >0) 及由于I(s)=sslim r(s +1) = r(1) =1,s->0+故有T(s + 1)lim (s) = lim=+8:s-→0+$-→0+s由(5)式及r(s)在(xo,+8)上严格增可推得lim T(s) = +00 .$→+8后页返回前页
前页 后页 返回 0 lim ( 1) (1) 1 , s s → + + = = 故有 0 0 ( 1) lim ( ) lim . s s s s s → → + + + = = + ( )s 0 由(5)式及 在 ( , ) x + 上严格增可推得 ( )s 0 (0, ) x 0 又 在 内严格减;在 ( , ) x + 内严格增. 由于 ( ) ( 1) ( ) ( 0) s s s s s s s + = = 及 lim ( ) . s s →+ = +
综上所述，函数的图象如图19-2中s>0部分所示4. 延拓I(s)改写递推公式3）为I(s +1)(6)r(s)= s当-1<s<0时,(6)式右端有意义,于是可应用(6)式来定义左端函数I(s)在(-1,0)内的值,并且可推知这时r(s)< 0.返回前页后页
前页 后页 返回 综上所述, 函数的图象如图19-2中 s 0 部分所示. 4. 延拓 ( )s 改写递推公式 (3) 为 + = ( 1) ( ) . (6) s s s 当 − 1 0 s 时, (6)式右端有意义, 于是可应用(6)式 来定义左端函数 ( )s 在 ( 1, 0) − 内的值,并且可推知 这时 ( ) 0 . s
↑ T(x)用同样的方法，利用(s)已在(-1,0)内有32定义这一事实，由(6)114-3-21-1 2 3 4 x式又可定义I(s)在-2-3(-2,-1)内的值,而且ΛF-4这时 I(s)>0. 依此图19-2下去可把I(s)延拓到整个数轴(除了s =0,-1,-2,··以外），其图象如图19-2所示后页返回前页
前页 后页 返回 图19 2 − −1 x ( ) x −4 −3 −2 1 2 3 4 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 用同样的方法, 利用 式又可定义 ( )s 在 ( 2, 1) − − 内的值, 而且 这时 ( ) 0 . s 依此 下去可把 ( )s 延拓到整个数轴(除了 s = − − 0, 1, 2, 以外),其图象如图19-2所示. ( )s 已在 ( 1 ,0) − 内有 定义这一事实, 由(6)