S2 函数的幂级数展开由泰勒公式知道，可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和，如果能将一个满足适当条件的函数在某个区间上表示成一个幂级数，就为函数的研究提供了一种新的方法。一、泰勒级数二、初等函数的幂级数展开式前页后页返回
前页 后页 返回 §2 函数的幂级数展开 由泰勒公式知道, 可以将满足一定条件的 函数表示为一个多项式与一个余项的和. 如 果能将一个满足适当条件的函数在某个区间 上表示成一个幂级数, 就为函数的研究提供 了一种新的方法. 返回 二、初等函数的幂级数展开式 一、泰勒级数
一、泰勒级数在第六章$3的泰勒定理中曾指出，若函数f在点xo的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则(x) = (x)+ (x)(x-x)+ ((x-x) ..2!f(" (x)(1)(x-x,)" + R,(x),十n!这里为R,(x)拉格朗日型余项f(n+l ()(2)R,(x)X(n +1)!后页返回前页
前页 后页 返回 一、泰勒级数 在第六章§3的泰勒定理中曾指出, 若函数f在点x0 的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数, 则 = + − + − + 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! f x f x f x f x x x x x 这里为 ( ) R x n 拉格朗日型余项 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) , (2) ( 1)! n n n f R x x x n + + = − + + − + ( ) 0 0 ( )( ) ( ), (1) ! n n n f x x x R x n
其中在x与x之间,称(1)式为f在点x,的泰勒公式由于余项R,(x)是关于(x-x)"的高阶无穷小,因此在点 x附近f 可用(1)式右边的多项式来近似代替,这是泰勒公式带来的重要结论再进一步，设函数f在x=x.处存在任意阶导数，就可以由函数f得到一个幂级数f(x)+ F(x,)(x - x)+ I"(cx)2!f("(x)(3)x-x)"+..十n!返回前页后页
前页 后页 返回 ( ) R x n 0 ( )n 由于余项 是关于 x x − 的高阶无穷小, 因此 在点 0 x 附近 f 可用(1)式右边的多项式来近似代替, 这是泰勒公式带来的重要结论. 再进一步, 设函数 f 在 0 x x = 处存在任意阶导数, 就 可以由函数 f 得到一个幂级数 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! f x f x f x x x x x + − + − + ( ) 0 0 ( )( ) , (3) ! n n f x x x n + − + 其中 在x与x0之间, 称(1)式为 f 在点 0 x 的泰勒公式
通常称(3)式为f在 x=x。处的泰勒级数.对于级数(3)是否能在点x,附近确切地表达f，或者说级数(3)在点x附近的和函数是否就是f本身，这就是本节所要着重讨论的问题.请先看一个例子例1由于函数1=↓e7, x# 0,f(x)=0,x=0在x=0处的任意阶导数都等于0（见第六章$4第二段末尾），即后页返回前页
前页 后页 返回 通常称 (3) 式为 f 在 0 x x = 处的泰勒级数. 对于级数 (3)是否能在点 0 x 附近确切地表达 f , 或者说级数(3) 0 在点 x 附近的和函数是否就是 f 本身, 这就是本节 所要着重讨论的问题. 请先看一个例子. 例1 由于函数 2 1 e , 0, ( ) 0, 0 x x f x x − = = 在 x = 0 处的任意阶导数都等于0 (见第六章§4 第 二段末尾), 即
f(n)(0) = 0, n =1,2,...因此f在x=0的泰勒级数为000+0.x+=xXT2!n!显然它在(-80, +)上收敛,且其和函数S(x)=0. 由此看到,对一切x ±0都有f(x)≠ S(x).上例说明，具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不都能收敛于该函数本身，哪怕在很小的一个邻域内。那么怎样的函数，其泰勒级数才能收敛于它本身呢？前页后页返回
前页 后页 返回 ( )(0) 0 , 1,2, , n f n = = 因此 f 在 x = 0 的泰勒级数为 0 0 2 0 0 . 2! ! n x x x n + + + + + 显然它在 ( , ) − + 上收敛, 且其和函数 S x( ) 0 = . 由 此看到, 对一切 x 0 都有 f x S x ( ) ( ) . 上例说明, 具有任意阶导数的函数, 其泰勒级数并不 都能收敛于该函数本身, 哪怕在很小的一个邻域内. 那么怎样的函数, 其泰勒级数才能收敛于它本身呢?
定理14.11设f在点x。具有任意阶导数，那么f在区间(x。-r,x。+r)上等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式lx-xkr的x，有lim R,(x) = 0,n>8这里R,(x)是f在点x泰勒公式的余项本定理的证明可以直接从第六章83泰勒定理推出如果f能在点x,的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数f在点x的这一邻域内可以展开成泰勒级数，并称等式后页返回前页
前页 后页 返回 定理14.11 设 f 在点 0 x 具有任意阶导数, 那么 f 在 区间 0 0 ( , ) x r x r − + 上等于它的泰勒级数的和函数的 0 充分条件是: 对一切满足不等式 | | x x r − 的 x , 有 lim ( ) 0, n n R x → = ( ) R x n 0 这里 是 x f 在点 泰勒公式的余项. 本定理的证明可以直接从第六章§3泰勒定理推出. 如果 f 能在点 0 x 的某邻域上等于其泰勒级数的和函 数, 则称函数 f 在点 0 x 的这一邻域内可以展开成泰 勒级数, 并称等式
f(x)= f(x)+ f(x)(x-x,) + "(x))+..2!+"(x)(4)x-xo)"+..n!的右边为f在x=x,处的泰勒展开式，或幂级数展开式.由级数的逐项求导性质可得：8若f为幂级数Za,x"在收敛区间(-R, R)上的和函n=0数，则Za,x"就是f 在(-R,R)上的泰勒展开式,n=0后页返回前页
前页 后页 返回 = + − + − + 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! f x f x f x f x x x x x 的右边为 f 在 0 x x = 处的泰勒展开式, 或幂级数展 开式. 由级数的逐项求导性质可得: 0 n n n a x = 若 f 为幂级数 在收敛区间 ( , ) −R R 上的和函 0 n n n a x = 数, 则 就是 f 在 ( , ) −R R 上的泰勒展开式, + − + ( ) 0 0 ( )( ) (4) ! n n f x x x n
即幂级数展开式是惟一的在实际应用上，主要讨论函数在x。=0处的展开式这时(3）式就变成f"(0)f(0) + F(0)(0)X++2!1!n!称为麦克劳林级数从定理14.11知道，余项对确定函数能否展开为幕级数是极为重要的，下面我们重新写出当x=0时的后页返回前页
前页 后页 返回 即幂级数展开式是惟一的. 在实际应用上, 主要讨论函数在 0 x = 0 处的展开式, 这时(3)式就变成 ( ) 2 (0) (0) (0) (0) , 1! 2! ! n n f f f f x x x n + + + + + 称为麦克劳林级数. 从定理14.11知道, 余项对确定函数能否展开为幂级 数是极为重要的, 下面我们重新写出当 0 x = 0 时的
积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项，以便于后面的讨论.它们分别是R,(x) -_* y(a(0)(x-1)"d,n!Jo1(5)x"+1,5在0 与x之间,R,(x) :(n+1)f(n+)(0x)(1-0)"xn+1,0 ≤0≤1.L后页返回前页
前页 后页 返回 积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项, 以便 于后面的讨论. 它们分别是 ( 1) 0 1 ( ) ( )( ) d , ! x n n R x f t x t t n n + = − 1 ( 1) 1 ( ) ( ) , 0 , ( 1)! n n R x f x x n n + + = + 在 与 之间 1 ( 1) 1 ( ) ( )(1 ) ,0 1. ! n n n R x f x x n n + + = −
二、初等函数的幂级数展开式例2求k次多项式函数f(x) =Co +cx+cx? +.ix的幂级数展开式解由于n!Cn'nk,总有 limR,(x)=0,因而n>00后页返回前页
前页 后页 返回 二、初等函数的幂级数展开式 例2 求k次多项式函数 2 0 1 2 ( ) k k f x c c x c x c x = + + + + 的幂级数展开式. 解 由于 ( ) ! , , (0) 0, , n n c n k n f n k = lim ( ) 0, n n R x → 总有 = 因而