实验一MATLAB计算留数和积分（一）实验类型：验证性（二）实验类别：基础实验（三）实验学时数：2学时（四）实验目的1、熟悉MATLAB基本命令与操作；2、掌握MATLAB计算留数；3、掌握MATLAB计算封闭曲线上的复积分（五）实验内容MATLAB基本命令与实际操作MATLAB基本命令1、在MATLAB中求函数的留数的方法较简单，如果已知奇点和重数m则可用下面的MATLAB语句求出相应的留数R=limit(f*(z-Zo),z,zo)%简单极点%m阶极点R=limit(diff(f*(z-zo)^m,z,m-1)/prod(1:m-1);z,zo)2、在MATLAB中用函数Residue,可以计算有理函数的留数.调用格式如下：格式：[R, P, K]=residue(B,A)说明：向量B为f(z)的分子系数;向量 A为f(z)的分母系数;向量R为留数；向量P为极点位置；1
1 实验一 MATLAB 计算留数和积分 （一） 实验类型：验证性 （二） 实验类别：基础实验 （三） 实验学时数：2 学时 （四） 实验目的 1、熟悉 MATLAB 基本命令与操作； 2、掌握 MATLAB 计算留数； 3、掌握 MATLAB 计算封闭曲线上的复积分. （五） 实验内容 MATLAB 基本命令与实际操作 MATLAB 基本命令 1、在 MATLAB 中求函数的留数的方法较简单，如果已知奇点 和重数 ， 则可用下面的 MATLAB 语句求出相应的留数． R=limit(f*(z-z0),z,z0) % 简单极点 R=limit(diff(f*(z-z0)^m,z,m-1)/prod(1:m-1);z,z0) % m 阶极点 2、在 MATLAB 中用函数 Residue,可以计算有理函数的留数． 调用格式如下： 格式：[R, P, K]=residue(B,A) 说明：向量 B 为 f(z)的分子系数； 向量 A 为 f(z)的分母系数； 向量 R 为留数； 向量 P 为极点位置； 0 z m
向量k为直接项（六）实验要求1、学生在实验操作过程中自己动手独立完成，1人为1组。2、完成实验报告：按照试验的每个题目的具体要求完成（七）实验仪器、设备计算机（安装Windows98、Windows2000或WindowsXP或以上）（八）实验课承担单位：信息与计算实验室1.1求孤立奇点处的留数1.2利用留数定理计算闭合路径的积分1.1求孤立奇点处的留数1.1.1用下面MATLAB语句求函数的留数当z.是简单极点时，用MATLAB语句R=limit(f*(z-zO),z,zO)求函数的留数当z.是m阶极点时，用MATLAB语句R=limit(diff(f*(z-z0)^m,z,m-1)/prod(1:m-1);z,z0)求函数的留数1sin(≥+ )e-2xf(2)=2(=-1)3例1试求函数的孤立奇点处的留数【解】分析原函数可知：=0是三阶极点，z=1是简单极点，因此可以直接使用下面的MATLAB语句分别求出这两个奇点的留数，【Matlab源程序】syms zf=sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/(z^3*(z-1)R=limit(diff(f*z^3,z,2)/prod(1:2),z,0)2
2 向量 k 为直接项: （六） 实验要求 1、学生在实验操作过程中自己动手独立完成，1 人为 1 组。 2、完成实验报告：按照试验的每个题目的具体要求完成 （七） 实验仪器、设备 计算机（安装 Windows98 、Windows2000 或 Windows XP 或以上） （八） 实验课承担单位：信息与计算实验室 1.1 求孤立奇点处的留数 1.2 利用留数定理计算闭合路径的积分 1.1 求孤立奇点处的留数 1.1.1 用下面 MATLAB 语句求函数的留数． 当 0 z 是简单极点时，用 MATLAB 语句 R=limit(f*(z-z0),z,z0)求函数的留数; 当 0 z 是 m 阶极点时，用 MATLAB 语句 R=limit(diff(f*(z-z0)^m,z,m-1)/prod(1:m-1);z,z0) 求函数的留数. 例 1 试求函数 的孤立奇点处的留数． 【解】分析原函数可知： 是三阶极点， 是简单极点，因此可以直接 使用下面的 MATLAB 语句分别求出这两个奇点的留数． 【Matlab 源程序】 syms z f=sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/(z^3*(z-1)) R=limit(diff(f*z^3,z,2)/prod(1:2),z,0) 2π 3 1 π ( ) sin( ) ( 1) 3 f z z e z z − = + − z = 0 z =1
%仿真结果为：R=-1/4*3^(1/2)+1/2;limit(f*(z-1),z,1)%仿真结果为：R=1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*exp(-2)*cos(1)*3^(1/2)Z在≥=和z=2处的留数，练习题1求函数f(=)=(z-2)cosz2%结果为：R=-2*pi/(pi^2-8*pi+16)R=(cos(2)+2*sin(2)/cos(2)^ 21.1.2对于有理函数的留数计算，在MATLAB中用函数Residue.调用格式如下：格式: [R, P, K]=residue(B,A)说明：向量B为f(z)的分子系数;向量 A为 f(z)的分母系数 ;向量R为留数；向量P为极点位置；向量k为直接项：直接项是指有理分式(=)=B(=)/ A(=)的展开式中的 K(=),即为没有奇点的项,例如下式:(=)= B(=_0() Q(2)O(n)+ K(2)z- P(n)A(=)z-P(I) z-P(2)2+1例2求函数z+1在奇点处的留数.【解】【Matlab源程序】[R,P,K]= residue ([1,0,1],[1,1])3
3 %仿真结果为：R = -1/4*3^(1/2)+1/2 ; limit(f*(z-1),z,1) %仿真结果为：R =1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*exp(-2)*cos(1)*3^(1/2). 练习题 1 求函数 2 ( ) ( 2) cos z f z z z = − 在 2 z = 和 z = 2 处的留数． %结果为： R=-2*pi/(pi^2-8*pi+16) R=(cos(2)+2*sin(2))/cos(2)^2 1.1.2 对于有理函数的留数计算，在 MATLAB 中用函数 Residue． 调用格式如下： 格式：[R, P, K]=residue(B,A) 说明：向量 B 为 f(z)的分子系数； 向量 A 为 f(z)的分母系数； 向量 R 为留数； 向量 P 为极点位置； 向量 k 为直接项: 直接项是指有理分式 的展开式中的 ,即为没有奇点的项, 例如下式: 例 2 求函数 在奇点处的留数． 【解】【Matlab 源程序】 [R,P,K]= residue ([1,0,1],[1,1]) f z B z A z ( ) ( )/ ( ) = K z( ) ( ) (1) (2) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) (2) ( ) B z Q Q Q n f z K z A z z P z P z P n = = + + + + − − − 1 1 2 + + z z
%结果为：R=2P =-1K=1 -12-2+1求函数 (=)=练习题2(z-1)(z-3)在奇点处的留数.【解】【Matlab源程序】[R,P,K]= residue ([1,-1,0,1],[1,-4,3])%结果为：R=9.5000-0.5000P=31K=131.2利用留数定理计算闭合路径的积分对闭合路径的积分，先计算闭区域内各孤立奇点的留数，再利用留数定理可得积分值.留数定理：设函数(2)在区域D内除有限个孤立奇点"i,2，,"外处处解析，C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则4,(2)dz = 2miZ Res[(2),=)]k=1例 3 计算积分4, 2-+ld= , 其中 C 是正向圆周[==2 ,金TCz-1【解】先求被积函数的留数【Matlab源程序】4
4 %结果为： R= 2 P = -1 K = 1 -1 练习题 2 求函数 在奇点处的留数． 【解】【Matlab 源程序】 [R,P,K]= residue ([1,-1,0,1],[1,-4,3]) %结果为： R= 9.5000 -0.5000 P = 3 1 K = 1 3 1.2 利用留数定理计算闭合路径的积分 对闭合路径的积分，先计算闭区域内各孤立奇点的留数，再利用留数定理可 得积分值． 留数定理：设函数 在区域 D 内除有限个孤立奇点 外处处解 析， 为 D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则 例 3 计算积分 2 C 2 1d 1 z z z z − + − ，其中 C 是正向圆周 z = 2． 【解】先求被积函数的留数 【Matlab 源程序】 f z( ) 1 2 , , , n z z z C n k=1 ( )d 2πi Res[ ( ), ] k C f z z f z z = 3 2 1 ( ) ( 1)( 3) z z f z z z − + = − −
[R,P,K]= residue ([2,-1 , 1],[1,-1])%结果为：R= 2P = 1K= 2可见在圆周||=2内有一个极点，所以积分值等于S=2元isum(R)S=2*pi*i*2%结果为S=0+12.5664i222-z+1,-dz=2元isum(R)=4元i.故原积分z-12=+ldz的值练习题3计算积分2-11ddz9 ==2 (= + i)1°(=-1)(= - 3) 的值.例4计算积分?【解】【Matlab源程序】clearsymstzz=2*cos(t)+i*2*sin(t);f=1/(z+i)^10/(z-1)/(z-3);inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)%结果为inc=779/78125000**pi+237/312500000*pi%若只输出6位有效数值，使用语句vpa(inc,6)%结果为为ans=.238258e-5+.313254e-4*iJ
5 [R,P,K]= residue ([2,-1，1],[1,-1]) %结果为： R= 2 P = 1 K = 2 可见在圆周 z = 2 内有一个极点，所以积分值等于 S=2*pi*i*2 %结果为 S =0+12.5664i 故原积分 2 C 2 1d 2 sum(R) 4 . 1 z z z i i z − + = = − 练习题 3 计算积分 2 1 2 1d z 1 z z z = + − 的值. 例 4 计算积分 的值． 【解】【Matlab 源程序】 clear syms t z z=2*cos(t)+i*2*sin(t); f=1/(z+i)^10/(z-1)/(z-3); inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi) %结果为 inc =779/78125000*i*pi+237/312500000*pi %若只输出 6 位有效数值，使用语句 vpa(inc,6) %结果为 ans =.238258e-5+.313254e-4*i. S = 2πisum(R) 10 | | 2 1 d ( i) ( 1)( 3) z z z z z = + − −
例5计算积分三dz,其中C是从1到i的直线段.【解】【Matlab源程序】clearsymstzz=1-t+it;f=conj(z);inc=int(f*diff(z),t,0,1)%结果为inc =i.2156练习题4计算积分9=2(2+1)(=+1dz的值【解】【Matlab源程序】symstzZ=2*cos(t)+i*2*sin(t);f=z15/(z^2+1)2*(z4+1)3);inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)%结果为：inc =2*i*pi.6
6 例 5 计算积分 C z zd ,其中 C 是从 1 到 i 的直线段． 【解】【Matlab 源程序】 clear syms t z z=1-t+it; f=conj(z); inc=int(f*diff(z),t,0,1) %结果为 inc =i. 练习题 4 计算积分 的值. 【解】【Matlab 源程序】 syms t z z=2*cos(t)+i*2*sin(t); f=z^15/((z^2+1)^2*(z^4+1)^3); inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi) %结果为 ： inc =2*i*pi. 15 2 2 4 3 2 d ( 1) ( 1) z z z z z = + +