第五章留数及其应用(Residueand application)第一讲授课题目：$5.1孤立奇点教学内容：孤立奇点的分类、各类奇点的特征、函数的零点与极点的关系、函数的零点与极点的关系.函数在无穷远点的性态学时安排：2学时教学目标：1、掌握孤立奇点的分类2、理解并掌握各类奇点的特征3、了解函数的零点与极点的关系及函数的零点与极点的关系教学重点：孤立奇点的分类教学难点：各类奇点的特征教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：P32-13习题五：1-5板书设计：一、孤立奇点的分类二、各类奇点的特征三、函数的零点与极点的关系参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第1
1 第五章 留数及其应用 (Residue and application) 第一讲 授课题目：§5.1 孤立奇点 教学内容：孤立奇点的分类、各类奇点的特征、函数的零点与极 点的关系、函数的零点与极点的关系.函数在无穷远 点的性态 学时安排：2 学时 教学目标：1、掌握孤立奇点的分类 2、理解并掌握各类奇点的特征 3、了解函数的零点与极点的关系及函数的零点与极 点的关系 教学重点：孤立奇点的分类 教学难点：各类奇点的特征 教学方式：多媒体与板书相结合 作业布置： P132−133 习题五：1-5 板书设计：一、孤立奇点的分类 二、各类奇点的特征 三、函数的零点与极点的关系 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育 出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第
二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月课后记事：1、会判断函数的孤立奇点，并能正确分类2、基本掌握各类奇点的特征3、课后要答疑教学过程：2
2 二版）2005 年 5 月. 4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等 教育出版社，2008 年 4 月. 课后记事：1、会判断函数的孤立奇点，并能正确分类 2、基本掌握各类奇点的特征 3、课后要答疑 教学过程：
$5.1孤立奇点(Isolated singular point)一、孤立奇点的分类（Isolatedsingularpointsof）设函数f()在去掉圆心的圆盘D:0z-zR(0<R≤+)内解析，那么我们称z为f(=)的孤立奇点.在D内，f(=)有洛朗展式f(2)=- Zα,(z-z0),其中f()d5,(n=0,±1,±2..)dn2m Jc,(5 -20) α,(z-z)",为f(=)的解析C。是圆/z-z。 p(0<p<R). n=-0部分，艺α-α(=-=)",为 (2)的主要部分.n=l-0是Sinz1的孤立奇点.例1N21f(a):例2(n=12.）是它的孤立奇点1n元sinZ一般地，对于上述函数f(-)，按照它的洛朗展式含负幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：定义（Definition）5.1（1）若f(-)在z.的主要部分为零，3
3 §5.1 孤立奇点 (Isolated singular point) 一、孤立奇点的分类（Isolated singular points of） 设函数 f (z) 在去掉圆心的圆盘 : 0 | | (0 ) D z − z0 R R + 内 解析，那么我们称 0 z 为 f (z) 的孤立奇点.在 D 内， f (z) 有洛朗展 式 ( ) ( ) , 0 + =− = − n n n f z z z 其中 ,( 0, 1, 2,.) ( ) ( ) 2 1 1 0 = − = + C n n d n z f i C 是圆 | | (0 ) z − z0 = R . ( ) , 0 0 + =− − n n n z z 为 f (z) 的解析 部分， ( ) , 1 0 + = − − − n n n z z 为 f (z) 的主要部分. 例1 0 是 z e z z 1 , sin ， z 1 的孤立奇点. 例2 ( ) z f z 1 sin 1 = ， ( 1,2,) 1 0 = n = n z 是它的孤立奇点. 一般地，对于上述函数 f (z) ，按照它的洛朗展式含负幂的 情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下： 定义（Definition）5.1(1) 若 f (z) 在 0 z 的主要部分为零
则称=。为f(z）的可去奇点.(2）若f(=)在z。点的主要部分为有限多项。即α(m=1)d.α_1(α-m#0)(--0)(-0)++2-20则称=。为f(=）的m阶极点(3）若f(=）在z。点的主要部分有无限多项，则称zo为(2）的本性奇点.二、各类奇点的特征(The characteristics of various types of singularities)1、可去奇点（Removablesingularity）我们说z。是f(z）的可去奇点，或者说()在z。有可去奇点.这是因为令(=)=α，就得到在整个圆盘|z-zkR内的解析函数f(2)定理(Theorem)5.1 函数f(=)在D:0z-zokR(0<R≤+)内解析，那么二。是f(=)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，limf(a)=α%，其中α是一个复数证明：（必要性）.已知=。是f(z)的可去奇点，在0z-zR内，f()有洛朗展式：f(2)=α +α(z-z0)+...+α,(z-z0)" +..因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在4
4 则称 0 z 为 f (z) 的可去奇点. (2) 若 f (z) 在 0 z 点的主要部分为有限多项. 即 0 1 1 0 ( 1) 0 (z z ) (z z ) z z m m m m − + + − + − − − − − − ( −m 0 ) 则称 0 z 为 f (z) 的 m 阶极点. (3) 若 f (z) 在 0 z 点的主要部分有无限多项, 则称 0 z 为 f (z) 的本性奇点. 二、各类奇点的特征 (The characteristics of various types of singularities) 1、可去奇点(Removable singularity) 我们说 0 z 是 f (z) 的可去奇点，或者说 f (z) 在 0 z 有可去 奇 点. 这是因为令 0 0 f (z ) = ，就得到在整个圆盘 | z − z0 | R 内的解析函数 f (z) . 定理(Theorem)5.1 函数 f (z) 在 : 0 | | (0 ) D z − z0 R R + 内 解析，那么 0 z 是 f (z) 的可去奇点的必要与充分条件是：存在着 极限， 0 lim ( ) 0 = → f z z z ，其中 0 是一个复数. 证明：（必要性）.已知 0 z 是 f (z) 的可去奇点，在 0 | z − z0 | R 内， f (z) 有洛朗展式： ( ) ( ) . ( ) . = 0 + 1 − 0 + + − 0 + n n f z z z z z 因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是 R，所以它的和函数在
[z-zkR内解析，于是显然存在着limf(-)=αg.（充分性）设在0△z-zkR内，f(z)的洛朗展式是f(a)- Zα,(2-20)f(S)其中α,= 2m (/-2%)- ,(n = 0 ±1,±2.)已知limf(z)=αg，所以存在着两个正数M及p(≤R)，使得在0z-z内,If(=)kM,那么取p，使得01时，称=是f(2)的m重极点5
5 | z − z0 | R 内解析，于是显然存在着 0 lim ( ) 0 = → f z z z . （充分性）设在 0 | z − z0 | R 内， f (z) 的洛朗展式是 ( ) ( ) , 0 + =− = − n n n f z z z 其中 ,( 0, 1, 2,.) ( ) ( ) 2 1 1 0 = − = + d n z f i n n 已知 0 lim ( ) 0 = → f z z z ，所以存在着两个正数 M 及 ( ) 0 R ，使得在 0 0 0 | z − z | 内， | f (z) | M , 那么取 ，使得 0 0 ，我们有 ( 0, 1, 2,.) 2 2 1 | | 1 = = + n M n M n n 当 n 0 时，在上式中令 趋近于 0， 就得到 = 0(n = −1,−2,−3,.) n .于是 0 z 是 f (z) 的可去奇点. 定理(Theorem) 5.1 设 0 z 为 f (z) 的孤立奇点，则 0 z 是 f (z) 的 可去奇点的充分必要条件是：存在着某一个正数 ( ) 0 R ，使得 f (z) 在 0 0 0 | z − z | 内有界. 2. 极点(Pole) 设 0 z 是 f (z) 的 m 阶极点.当 m =1 时，称 0 z 是 f (z) 的单极 点，当 m 1 时，称 0 z 是 f (z) 的 m 重极点
z.是f()的m(≥l)阶极点，那么在0z-zokR内，f(-)有洛朗展式：ααm+1f(-)=(-)(--)2-2+α+α,(z-z0)+...+α,(z-z0)"+..在这里α±0.于是在0z-z.kR内α=m+1α_mα_f(2) =(-)(-)-++Z-+α +α,(z-zo)+...+α,(z-z)"+..Pz(z -20)其中(2)是一个在|z-zkR内解析的函数，并且(=)±0.反之，如果函数f(=)在0z-zkR内可以表示成为上式右端的形状，而(=)是一个在|z-zkR内解析的函数，并且(z)0那么可以推出z。是f()的m阶极点.这样我们就得到：z.是f(z)的m阶极点充要条件是：1(1)f(2) =Plz(2-zo)其中(=)在=。解析，并且p(=)±0.由此可得如下定理：定理（Theorem)5.2设函数f(=)在D:0z-zR(0<R≤+o)内解析，那么z0是f(z)的极点的充分必要条件是：limf(z)=o06
6 0 z 是 f (z) 的 m(1) 阶极点，那么在 0 | z − z0 | R 内， f (z) 有洛朗展式： ( ) . ( ) . . ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 + + − + + − + − + + − + − = − − − − + n n m m m m z z z z z z z z z z f z 在这里 −m 0 .于是在 0 | z − z0 | R 内 ( ) (z) z z z z z z z z z z z z f z m n n m m m m 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 ( ) . ( ) . . ( ) ( ) ( ) − + + − + + − + = − + + − + − = − − − − + 其中 (z) 是一个在 | z − z0 | R 内解析的函数，并且 (z0 ) 0 .反 之，如果函数 f (z) 在 0 | z − z0 | R 内可以表示成为上式右端的 形状，而 (z) 是一个在 | z − z0 | R 内解析的函数，并且 (z0 ) 0 ， 那么可以推出 0 z 是 f (z) 的 m 阶极点.这样我们就得到： 0 z 是 f (z) 的 m 阶极点充要条件是： ( ) (z) z z f z m 0 1 ( ) − = （1） 其中 (z) 在 0 z 解析，并且 (z0 ) 0 . 由此可得如下定理： 定理(Theorem)5.2 设函数 f (z) 在 : 0 | | (0 ) D z − z0 R R + 内解析，那么 0 z 是 f (z) 的极点的充分必要条件是： = → lim ( ) 0 f z z z
推论设函数f(z)在D:0z-zR(0<R≤+o)内解析,那么z.是f(2)的m阶极点的充分必要条件是：lim(z-z0)" f(z)=α-m 在这里m是一个正整数，αm是一个不等于0的复常数3.本性奇点（Essentialsingularity）定理（Theorem)5.3设函数f(=)在D:0z-zR(0<R≤+)内解析，那么z是f()的本性奇点的充分必要条件是：不存在有限或无穷极限lim f(=).→=0例3研究是函数f()=e=孤立奇点的类型解：z=0是函数f(-)=e=的孤立奇点当z沿正实轴趋近于0时，e=趋近于+o；当z沿负实轴趋近于0时，e=趋近于0；1所以lime不存在，故z=0是函数f()=e=的本性奇点例 4 研究是函数 T(-)=sin=孤立奇点的类型2解：z=0 是函数T(-)=sin=的孤立奇点。因为函数Nr()=-三在0=+α内的洛朗展式为Z+(-1)"_2n2224sin ≥=1-3!5!(2n+1)!N7
7 推论设函数 f (z) 在 : 0 | | (0 ) D z − z0 R R + 内解析，那 么 0 z 是 f (z) 的 m 阶极点的充分必要条件是： m m z z z z f z − → lim ( − 0 ) ( ) = 0 ， 在这里 m 是一个正整数， −m 是一个不等于 0 的复常数. 3. 本性奇点 (Essential singularity) 定理(Theorem)5.3 设函数 f (z) 在 : 0 | | (0 ) D z − z0 R R + 内解析，那么 0 z 是 f (z) 的本性奇点的充分必要条件是：不存在有限或无穷极限 lim ( ) 0 f z z→z . 例 3 研究是函数 ( ) z f z e 1 = 孤立奇点的类型 解： z = 0 是函数 ( ) z f z e 1 = 的孤立奇点. 当 z 沿正实轴趋近于 0 时， z e 1 趋近于 + ； 当 z 沿负实轴趋近于 0 时， z e 1 趋近于 0； 所以 z z e 1 0 lim → 不存在，故 z = 0 是函数 ( ) z f z e 1 = 的本性奇点. 例 4 研究是函数 ( ) z z f z sin = 孤立奇点的类型 解 ： z = 0 是函数 ( ) z z f z sin = 的孤立奇点 . 因 为 函 数 ( ) z z f z sin = 在 0 | z | + 内的洛朗展式为 . (2 1)! ( 1) . 3! 5! 1 sin 2 4 2 + + − = − + − + n z z z z z n n
由于展式中负幂项系数均为0，故故≥=0是函数f()=sin三的可去奇点例5求出下列函数的奇点，并确定它们的类型，对无穷远点也要加以讨论：25(1) F(a)= sin z-=(2) f(=)=23(1-2)2解（1）（法一）f()以z=0为奇点先求f(=)在0<zk+0的洛朗展式1 r(-1)"≥2n4l(-1)"22n+1/(a) = sin 2-2,232(2n+1)!(zn +1)!2由此，f(-)在z=0的负幂项部分为零；故z=0为f(-)的可去奇点(法二)COSz1- sin z1sin z2-== lim因为lim= lim3=26z6-→0=→0=→0故z=0为f(=)可去的奇点（2）显然z=1是f(=)的二级极点三、函数的零点与极点的关系(Functionrelationship between the zero andpole)定义(Definition)5.2若f(z)=(z-z)"p()，其中(=)在z。解析，且p(=。）±0，m是一正整数，则称z。为f(=)的m阶零点.8
8 由于展式中负幂项系数均为 0，故故 z = 0 是函数 ( ) z z f z sin = 的 可去奇点. 例 5 求出下列函数的奇点，并确定它们的类型，对无穷远点 也要加以讨论： （1） 3 sin ( ) z z z f z − = （2） 2 5 (1 ) ( ) z z f z − = 解（1）（法一） f (z) 以 z = 0 为奇点 先求 f (z) 在 0 | z | + 的洛朗展式： + = + + = + + − − = + − = − = 1 2 1 3 0 2 1 3 3 (2 1)! 1 ( 1) ( 1)! sin 1 ( 1) ( ) n n n n n n n z z z zn z z z z z f z 由此， f (z) 在 z = 0 的负幂项部分为零；故 z = 0 为 f (z) 的可去奇 点. （法二） 因为 6 1 6 sin lim 3 cos 1 lim sin lim 0 2 0 3 0 = − − = − = − → → → z z z z z z z z z z 故 z = 0 为 f (z) 可去的奇点 （2）显然 z = 1 是 f (z) 的二级极点. 三、函数的零点与极点的关系 (Function relationship between the zero and pole) 定义(Definition)5.2 若 f z (z z ) (z) m ( ) = − 0 ，其中 (z) 在 0 z 解析，且 (z0 ) 0，m 是一正整数，则称 0 z 为 f (z) 的 m 阶零 点
定理（Theorem)5.4若f(z)在z。解析，则z.为f(=)的m阶零点充分必要条件是f()(z)=0 (n= 0,1, -m-1) f(m)(=)+ 0证明：（必要性）若z.为f(=)的m阶零点，则f(a)=(=-z0)"p(a)设(=)在z。的泰勒展式为p(2)=α +α,(z-z)+...+α,(z-z)" +.其中α。=(=)≠0，从而f()在z。的泰勒展式为f(z)=α(z-z0)" +α;(z-z0)m+l +..由此式推知f(n)(zo)=0 (n =0,1, .-m-1), f(m)(-)±0（充分性）课后作业注1：不恒为零的解析函数的零点是孤立的(Analytic function is not identically zero zero isisolated)零点与极点有如下关系的m定理（Theorem)5.5z.为f(z)的m阶极点，则z是f(a)阶零点，反之亦然.例6函数T()=有什么奇点？如果是极点，指出它们sm的阶.9
9 定理(Theorem)5.4 若 f (z) 在 0 z 解析，则 0 z 为 f (z) 的 m 阶 零点充分必要条件是 ( ) ( ) ( ) f (z0 ) = 0 n = 0,1, m −1 , f (z0 ) 0 n m 证明：（必要性）若 0 z 为 f (z) 的 m 阶零点，则 f z (z z ) (z) m ( ) = − 0 设 (z) 在 0 z 的泰勒展式为 ( ) ( ) . ( ) . = 0 + 1 − 0 + + − 0 + n n z z z z z 其中 0 = (z0 ) 0 ，从而 f (z) 在 0 z 的泰勒展式为 = ( − ) + ( − ) + +1 0 0 1 0 ( ) m m f z z z z z 由此式推知 ( ) ( ) ( ) f (z0 ) = 0 n = 0,1, m −1 , f (z0 ) 0 n m （充分性）课后作业 注 1：不恒为零的解析函数的零点是孤立的 (Analytic function is not identically zero zero is isolated) 零点与极点有如下关系 定理(Theorem)5.5 0 z 为 f (z) 的 m 阶极点，则 0 z 是 f (z) 1 的 m 阶零点，反之亦然. 例 6 函数 ( ) z f z sin 1 = 有什么奇点？如果是极点，指出它们 的阶
解：sinz=0=z=k元(k=0,±l,±2,..)是函数f()的孤立奇点，由于(sinz)=元0(k=0,±1,±2,),所以z=k元(k=0,±1,±2,)都是sinz的一阶零点，也就是一阶极点.f(-)=sin z四、函数在无穷远点的性态(Functioninthebehavior ofInfinity)定义（Definition)5.3设函数f()在无穷远点的邻域R R,n= 0±1,±.)令，按照R>0或R=0，我们得到在0wk六或R0wk+o内解析的函数p(w)=f()，在0wk内其洛朗R级数展式是：p(w) =1一代入，得到在R△z+内再用w=f(=)= Zb,=-n(3)10
10 解：sin z = 0 z = k(k = 0,1,2, ) 是函数 f (z) 的孤立奇 点，由于 (sin ) 0( = 0,1,2, ) = z k z k ， 所 以 z = k(k = 0,1,2, ) 都 是 sin z 的 一 阶 零 点 ， 也 就 是 ( ) z f z sin 1 = 一阶极点. 四、函数在无穷远点的性态(Function in the behavior of Infinity) 定 义 (Definition)5.3 设函数 f (z) 在无穷远点的邻域 R | z | + 内解析，则称无穷远点为 f (z) 的孤立奇点. 在 R | z | + 内， f (z) 有洛朗级数展式： + =− = n n n f (z) z （2） 其中 ,( , 0, 1, 2,.) ( ) ( ) 2 1 1 0 = − = = + d R n z f i n n 令 w z 1 = ，按照 R 0 或 R = 0 ， 我 们 得 到 在 R w 1 0 | | 或 0 | w| + 内解析的函数 ) 1 ( ) ( w w = f ，在 R w 1 0 | | 内其洛朗 级数展式是： + =− = n n (w) bnw 再用 z w 1 = 代入，得到在 R | z | + 内 + =− − = n n n f (z) b z （3）