试卷五参考答案判断题（每题2分共20分）1-5×××V6-10×二、填空（每题2分共20分）1.4. 19,42.(2k+1)元-arctan(k =0,±1, ±2,..)13'134. 03.2元i5.收敛6.可去奇点7. 圆8.2元8(0)9. 10. m!s5m+1三、求解下列各题（每题5分，共30分）Ln(2-3i)= n|2--3iiArg(2-3i).......(3分)1.解：113=In13-2+2元k=0,±1,±2........··（5分）arctan2212.解：函数在复平面有两个奇点i和-2，在C内部作两个互不包含(z-i)(z+2)也互不相交的正向圆周C和C2，使得C1只包含奇点i,C2只包含奇点-2.据复合闭路定理有（3分)11d=+ βd瓣(-)(+2)=}(-)(+2)d2(=-i)(=+2)±2z-i-dzLLLL（4分）2+227(=+2)-=0LLLL(5分)之+因此3.解：令z=e则cos0=2z1
1 试卷五 参考答案 一、 判断题（每题 2 分共 20 分） 1-5 6-10 二、填空（每题 2 分共 20 分） 1. -4 13 ， 19 13 ； 2. ( ) 4 2 1 arctan ( 0, 1, 2, ) 3 k k + − = 3. 2i 4. 0 5. 收敛 6. 可去奇点 7. 圆 8.2 ( ) 9. 1 s 10. 1 ! m m s + 三、求解下列各题（每题 5 分，共 30 分） 1.解： ( ) ( ) Ln(2 3 ) ln 2 3 Arg(2 3 ) 3 1 3 ln13 arctan 2 .( 0, 1, 2, ) 2 2 i i i i i k k − = − + − = − + = 分 5分 2.解：函数 ( )( ) 1 z i z − + 2 在复平面有两个奇点 i 和-2, 在 C 内部作两个互不包含 也互不相交的正向圆周 C1 和 C2，使得 C1 只包含奇点 i, C2 只包含奇点-2.据复 合闭路定理有 (3分) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 3 2 1 1 1 d d 2 2 2 1 1 2 d d 2 1 1 2 2 0 z C C C C z i z dz z z z i z z i z z i z z z i z z z i z i z z i = = =− = + − + − + − + + − = + − + = + + − = LLLL LLLL 蜒 ? 蜒 4分 5分 3. 解：令 i z e = 则 2 1 cos 2 z z + = 因此
dz1（3分）1A2 +11+cos2z2d2+2az+1J-=12(4分）-a+ya?2元(5分)Ja?-14.解：由于0<=<+0内2[1111 sin-3分）31-3512531-21则Res=cos-,o所以c.,·（5分）3!6Z5.解：函数cosz在-1=1上解析，所以2元COSZLLLL(3分)cos2!(e-" +e)L LLL (5分)dz=2元iRes[F(=),0JLLLL (3分)=I zsinzsinz-zcosz6.解：LLLL (4分)=2元ilimsin’ z=0sinz=2元ilimE=OLLLL(5分）72=→0四、证明题（每题5分，共10分）1、证明因为C:z=z.+Re"则f(=)df(zo)=·（3分）2元iJc21_72元 f(=o +Re")Rie'deRe'2元iJ0"f(zo +Re)do...（5分）2元J02
2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 2 1 2 1 2 1 1 . 3 cos 1 2 1 2 2 1 1 2 2 . 1 2 . 1 z z z a a dz d a iz z a z dz i z az i i z a a a = = =− + − = + + + = + + = + + − = − 分 4分 5分 4. 解：由于 0 + z 内 2 2 3 5 3 1 1 1 1 1 1 sin 3! 5! 3! 5! z z z z z z z z z = − + + = − + + (3分) 所以 1 1 3! c− = − ，则 2 1 1 Re cos ,0 6 s z z = − . (5分) 5. 解：函数 cosz 在 z i − = 1 上解析，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 cos 2 cos 3 2! 2 z i z i z i dz z z i i e e − = = − = − = − + LLLL LLLL Ñ 分 5分 . 6. 解： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 2 Re ,0 3 sin sin cos 2 lim sin sin 2 lim 0 2 z z z dz i s f z z z z z z i z z i = → → = − = = = LLLL LLLL LLLL Ñ 分 4分 5分 . 四、证明题（每题 5 分，共 10 分） 1、证明 因为 0 : Rei C z z = + 则 ( ) ( ) 0 0 2 0 0 2 0 0 1 ( ) ( ) 2 1 ( Re ) 2 Re 1 ( Re ) 2 C i i i i f z f z dz i z z f z Rie d i f z d = − + = = + 3分 5分
2、证明把在C内的孤立奇点z(k-1,2,..,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来，则根据复合闭路定理有Φf()dz=Φ f()dz+Φf(α)dz+.+Φ f(z)dz......·(3分)cC- f(=)d≥= Res[f(=),=,]+Res[f(=),=2]+..+Res[f(2),=,]2元i即(2) z =2元iRes[(),-].(5分)k=l五、综合题（每题5分，共20分）11(3分）1. 1+ 22 1-(-2)=-1-2*.(-) .<....(5分)2. W-i.1+i-1_ 2+1. 1+1·(3分)w-1 1+i-17-01-0化简可以得到"=所以W=2(5分）w-1(i+l)iz+2-iF()- ()ei. ...(.分)e-iotdt=ies-ele3.解：=a(4分）io1028sin80(5分)So(3分)le-std4.解：(2+otdt.(5分)s+2
3 2、证明 把在 C 内的孤立奇点 z k (k=1,2,.,n)用互不包含的正向简单闭曲线 Ck 围 绕起来, 则根据复合闭路定理有 1 2 ( )d ( )d ( )d ( )d . C C C Cn f z z f z z f z z f z z = + + + (3分) 1 2 1 ( )d Res[ ( ), ] Res[ ( ), ] Res[ ( ), ] 2π n C f z z f z z f z z f z z i = + + + 即 1 ( )d 2 π Res[ ( ), ]. n k C k f z z i f z z = = (5分) 五、综合题（每题 5 分，共 20 分） 1. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 3 1 1 ( ) 1 ( 1) 1 n n z z z z z = + − − = − + + − + 分 5分 2. 1 1 1 : : 1 1 1 w i i i z i w i z i − + − + + = − + − − − (3分) 化简可以得到 ( ) 1 1 1 w i z w i i − + = − + 所以 2 2 z i w z i + + = + − . (5分) 3.解： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 sin i t i t i t i i F f t e dt e e dt e e i i + − − − − − − − = = = = − − − = 2分 4分 5分 . 4.解： ( ) ( ) 2 2 0 (2 ) 0 . 3 1 . 2 t t st s t e e e dt e dt s + − − − + − + = = = + 分 5分 L