
第三章复变函数的积分(Integrationof functionofthecomplexvariable)第一讲授课题目:$3.1复积分的概念$3.2柯西积分定理教学内容:复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理、学时安排:2学时教学目标:1、了解复变函数积分的定义和性质,会求复变函数在曲线上的积分2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分,了解不定积分的概念教学重点:复变函数积分的计算问题教学难点:柯西积分定理教学方式:多媒体与板书相结合作业布置:Ps-76思考题:1、2、习题三:1-10板书设计:一、复变函数积分的计算问题二、柯西积分定理三、举例参考资料:1、《复变函数》,西交大高等数学教研室,高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,高等教育出版3、《复变函数论》,(钟玉泉编,高等教育出版社,第二版)2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编,高等1
1 第三章 复变函数的积分 (Integration of function of thecomplex variable) 第一讲 授课题目:§3.1 复积分的概念 §3.2 柯西积分定理 教学内容:复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函 数积分的基本性质、柯西积分定理. 学时安排:2 学时 教学目标:1、了解复变函数积分的定义和性质,会求复变函数在曲线 上的积分 2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分,了解不定 积分的概念 教学重点:复变函数积分的计算问题 教学难点:柯西积分定理 教学方式:多媒体与板书相结合 作业布置: P75−76 思考题:1、2、习题三:1-10 板书设计:一、复变函数积分的计算问题 二、柯西积分定理 三、举例 参考资料:1、《复变函数》,西交大高等数学教研室,高等教育 出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,高 等教育出版. 3、《复变函数论》,(钟玉泉编,高等教育出版社,第 二版)2005 年 5 月. 4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编,高等

教育出版社,2008年4月课后记事:1、会求复变函数在曲线上的积分2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方法掌握不理想3、利用课余时间多和学生交流教学过程:s3.1复积分的概念(Theconceptionof complexintegration)一、复变函数的积分的定义(Complexfunctionofthe2
2 教育出版社,2008 年 4 月. 课后记事:1、会求复变函数在曲线上的积分 2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方 法掌握不理想 3、利用课余时间多和学生交流 教学过程: §3.1 复积分的概念 (The conception of complex integration) 一、复变函数的积分的定义(Complex function of the

integral definition)定义(Definition)3.1设在复平面上有一条连接A及B两点的光滑简单曲线C设f(2)=u(x,J)+iv(x,y)是在C上的连续函数.其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部.把曲线C用分点A=20,21,…m-1-z,=B分成n个小弧段,其中z=x+y(k=0,1,2...n)y=,=BZALZo =AX在每个狐段上任取一点s=+m,作和式Z f(s)(z,-2-1)(1)k=l令=max=-z-B,当→0时,若(1)式的极限存在,且此极限值不依赖于Sk=5+n的选择,也不依赖于曲线C的分法,则就称此极限值为f(-)沿曲线C的积分.记作n
3 integral definition) 定义(Definition)3.1 设在复平面上有一条连接 A 及 B 两点的光滑简单曲线 C 设 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是在 C 上的连 续函数.其中 u(x, y) 及 v(x, y) 是 f (z) 的实部及虚部.把曲线 C 用 分点 A = z0 , z1 , z2 ., zn−1 , zn = B 分成 n 个小弧段,其中 z x y (k 0,1,2,., n) k = k + k = y zn = B k z k −1 z 1 z z0 = A O x 在每个狐段上任取一点 k k k = + ,作和式 ( )( ) 1 1 − = − k n k k k f z z (1) 令 max{| |} 1 1 − = k − k k n z z ,当 →0 时,若(1)式的极限存在,且此 极限值不依赖于 k k k = + 的选择,也不依赖于曲线 C 的分法, 则就称此极限值为 f (z) 沿曲线 C 的积分.记作

[, f(=)d = im f(GX=x -=-)kl当f(=)沿曲线C的负方向(从B到A)积分,记作[(=)d当f(=)沿闭曲线C的积分,记作ff(=)dz定理(Theorem)3.1若f()=u(x,y)+iv(x,y)沿光滑简单曲线C连续,则f(z)沿C可积,且J, f(z)dz = J,u(x, y)dx-v(x, y)dy+if, v(x, y)dx + u(x, y)dy,(2)证明:f(GX= -)Z[u(5k,n)+i(5,n)[(x -x)+i(y+I-)]-2(a, (-x)- (, -)k=lk=l-+[Z(5k,n)(x+ -x)+Zu(5k,n)(y+ -y) ]k=lk=l由f(=)=u(x,y)+iv(x,y)沿光滑简单曲线C连续,可知u(x,y),v(x,y)沿光滑简单曲线C也连续,当→0时,有max( yx- ye-1 /I -0max (/ x- Xx- I) → 0于是上式右端的极限存在,且有Jf(=)dz = J,u(x, )dx-v(x )dy+if, (x, y)dx+ u(x, y)dy,4
4 = C f (z)dz lim ( )( ) 1 1 0 − = → − k n k k k f z z 当 f (z) 沿曲线 C 的负方向(从 B 到 A )积分,记作 − C f (z)dz 当 f (z) 沿闭曲线 C 的积分,记作 f (z)dz C 定理(Theorem)3.1 若 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 沿光滑简 单曲线 C 连续,则 f (z) 沿 C 可积,且 f (z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy, C C C = − + + (2) 证明: ( )( ) 1 1 − = − k n k k k f z z [ ( , ) ( , )][( ) ( )] 1 1 1 k k n k k k k k k k = u + iv x − x + i y − y + = + [ ( , )( ) ( , )( ) , ( , )( ) ( , )( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − = + = + − = + = + + − + − = − − − n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k i v x x u y y u x x v y y 由 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 沿光滑简单曲线 C 连续,可知 u(x, y), v(x, y) 沿光滑简单曲线 C 也连续,当 →0 时,有 max{| |} 0 1 1 − − → k k k n x x max{| |} 0 1 1 − − → k k k n y y 于是上式右端的极限存在,且有 f (z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy, C C C = − + +

二、复变函数积分的计算(Complex integrationof computational problems)设有光滑曲线C:z=2()=x(l)+()(α≤t≤β),即=(在[α,β]上连续且有不为零的导数=)=x()+iy().又设J()沿C连续.由公式(2)我们有J. f(z)dz= J,u(x, y)dx -v(x, y)dy +if,v(x, y)dx + u(x, y)dyT[ u(x(0) (0)x(0)-(x(0), y(0)(0) t+i[ (x(0) y(0)x(0)+ u(x(0), y(0)(0) lat[。 f(=)dz = [8 f[2(0)}'()dt,即(3)或 J。 (=)d = J Re ([=(0)](0)]dt +i, Im([=(0)]1(0)at(4)用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径C的参数方程着手,称为参数方程法。注:当是分段光滑简单曲线时,我们仍然可以得到这些结论例1计算[zdz,其中C是(1)从点1到i的直线段C;(2)从点1到0的直线段C,,再从点0到i得直线段C,所连接成的折线段C=C,+Cs.解:(1)C=C;z(t)=1-t+it(0≤t≤1),有:[=dz = (1-t-it)(-1+i)dt = f(2t -1)dt+if'dt = i5
5 二、复变函数积分的计算 (Complex integration of computational problems) 设有光滑曲线 C : , 即 在 上连续且有不为零的导数 .又 设 沿 C 连续.由公式(2)我们有 u(x(t) y(t))x (t) v(x(t) y(t))y (t) dt f z z u x y x v x y y i v x y x u x y y C C C = − = − + + , , ( )d ( , )d ( , )d ( , )d ( , )d + i v(x(t) y(t))x (t)+ u(x(t) y(t))y (t) dt , , 即 (3) 或 (4) 用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径 C 的 参数方程着手,称为参数方程法. 注:当是分段光滑简单曲线时,我们仍然可以得到这些结论. 例 1 计算 zdz C ,其中 C 是 (1) 从点 1 到 i 的直线段 C1 ; (2) 从点 1 到 0 的直线段 C2 ,再从点 0 到 i 得直线段 C3 所连 接成的折线段 C = C2 +C3 . 解:(1) ; ( ) 1 (0 1) C = C1 z t = − t + it t ,有: = − − − + = − + = 1 0 1 0 1 0 zdz (1 t it)( 1 i)dt (2t 1)dt i dt i c z = z(t) = x(t)+ iy(t) ( t ) z (t) , z (t) = x (t)+iy (t) f (z) f (z)dz f z(t)z (t)dt, c = ( ) Re f z dz = c f z(t)z (t)dt + i Imf z(t)z (t)dt

(2) C, :z(t)=1-t(0≤t≤1),C, : z2(t)= i(0≤t≤1), 有:J =dz = J zdz + J=dz = -f(1-1)dt + f"tdt = 0例 2计算I=,=dz其中C是(1)连接-到i的直线段:(2)连接-i到i的单位圆的左半圆(3)连接-到i的单位圆的右半圆解:(I)-到i的直线段的参数方程为:z=it,-1<t≤1,于是jilidt=2if'tdt=2i- ["=i1= dz=2(2)单位圆的左半圆的参数方程为==e",从到,于是22元元元25atdeitdz=-e"idt=2i3元3元6.71222(3)单位圆的右半圆的参数方程为z=e"t,t从0到2元"=21[ e"|d(e")=e":=-2上述二例说明:复变函数的积分与积分路径有关dz例3其中n为任意整数,C为以z为中心r为半径的圆周解C的参数方程为z=z+rei0≤0<2元,由公式得6
6 (2) : ( ) 1 (0 1), : ( ) (0 1). C2 z1 t = −t t C3 z2 t = it t ,有: = + = − − + = 1 0 1 0 (1 ) 0 3 2 zdz zdz zdz t dt tdt c c c 例 2 计算 z dz i i I − = 其中 C 是 (1)连接− i到i 的直线段;(2)连接− i到i 的单位圆的左半圆 (3)连接− i到i 的单位圆的右半圆 解: z dz it idt i tdt i t i i i I i z it t = = = − = − = − = − 1 2 2 1 2 0 1 2 1 1 (1) , 1 1, 到i的直线段的参数方程为: 于是 z dz e e idt de e i i i I z e t , i t i t i t i t i t 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 (2) , 2 2 = = = 3 = − = = 单位圆的左半圆的参数方程为 从 到 于是 I z dz e d e e i z e t , i i t i t i t i i t ( ) 2 (3) , 0 2 2 2 2 2 = = = = = − − − 单位圆的右半圆的参数方程为 从 到 上述二例说明:复变函数的积分与积分路径有关 例 3 ( 0 ) n C dz z z − ,其中 n 为任意整数, C 为以 0 z 为中心, r 为半径的圆周. 解 C 的参数方程为 0 ,0 2 i z z re = + ,由公式得

e-i(n-1)e de""emdo**J.°cos(n-1)odo +二J° sin(n-1)odon=1[2元i,n=l,10,n+1.此例的结果很重要,以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系,应记住这一特点例4计算【zdz,其中C为从原点到点3+4i的直线段解:此直线方程可写作x=3t,y=4t,0≤t≤1或z=3t+i4t,0≤t≤1在C上,z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt,于是J,zdz = J(3+ 4i) tdt =(3+ 4i) f"tdt = (3 + 4i)2因J zdz= J.(x+iy)(dx+idy)=J,xdx- ydy+if. ydx+ xdy易验证,右边两个线积分都与路线C无关,所以zdz的值,不论是对怎样的连接原点到3+4i的曲线,都等于(3+4i)例5设C是圆|z-αp,其中α是一个复数,p是一个正数,则按逆时针方向所取的积分dz=2元i-αz-α=peio证明:令7
7 ( ) 2 2 ( 1) 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 cos( 1) sin( 1) 2 , 1, 0, 1. i i n n n in n C n n dz ire i d e d z z r e r i i n d n d r r i n n − − − − − = = − = − + − = = 此例的结果很重要,以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周 的中心和半径没有关系,应记住这一特点. 例 4 计算 C zdz ,其中 C 为从原点到点 3 4 + i 的直线段. 解: 此直线方程可写作 x t y t t = = 3 , 4 ,0 1 或 z t i t t = + 3 4 ,0 1. 在 C 上, z i t dz i dt = + = + (3 4 ) , (3 4 ) ,于是 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 0 0 1 3 4 3 4 3 4 C 2 zdz i tdt i tdt i = + = + = + . 因 ( )( ) C C C C zdz x iy dx idy xdx ydy i ydx xdy = + + = − + + 易验证,右边两个线积分都与路线 C 无关,所以 C zdz 的值,不 论是对怎样的连接原点到 3 4 + i 的曲线,都等于 ( ) 1 2 3 4 2 + i . 例 5 设 C 是圆 | z − |= ,其中 是一个复数, 是一个 正数,则按逆时针方向所取的积分 i z dz C = 2 − 证明:令 i z − = e

于是dz=pieide,dz从而id0=2元JC-三、复变函数积分的基本性质(Complexintegrationofthe basic nature)设f(=)及g(=)在简单曲线C上连续,则有(1)kf(=)dz=k/.f(=)dz,其中k是一个复常数(2) [Lf(z)±g(z)]dz= [, f(z)dz±[,g(z)dz;3JF(=)dz = J, (2)dz + J, (=)dz +.+ Je. (2)dz其中曲线C是有光滑的曲线CC...C,连接而成;(4) J(=)dz=-J.(=)dz定理3.2(积分估值)如果在曲线C上,f(=)≤M,而L是曲线C的长度,其中M及L都是有限的正数,那么有(5)1, f(z)d≤ J,17(=)ld|≤ ML ,证明:因为125(5-)M2- M=两边取极限即可得:,(=)d[,(=)ML例6试证:lml三0 J--r1+22d2 =0证:不妨设r<1,我们用估值不等式(5)式估计积分的模因为在日=r上,8
8 于是 d d i z = ie , 从而 id i z dz C 2 2 0 = = − 三、复变函数积分的基本性质(Complex integration of the basic nature) 设 f (z) 及 g(z) 在简单曲线 C 上连续,则有 (1) kf z z k f z z 其中k是一个复常数 C C ( )d ( )d , = (2) [ ( ) ( )]d ( )d ( )d ; = C C C f z g z z f z z g z z (3) = + + + C C C Cn f (z)dz f (z)dz f (z)dz . f (z)dz 1 2 其中曲线 C 是有光滑的曲线 C C Cn , ,., 1 2 连接而成; (4) − = − C C f (z)dz f (z)dz 定理 3.2(积分估值) 如果在曲线 C 上, f (z) M ,而 L 是曲线 C 的长度,其中 M 及 L 都是有限的正数,那么有 f z z f (z) dz ML C C | ( )d | , (5) 证明:因为 f z z M z z k ML n k k k n k k k − − − = + − = + | ( )( )| | | 1 1 1 1 1 1 两边取极限即可得: f z z f (z) dz ML C C | ( )d | 例 6 试证: → = = r z r + dz z z 0 1 lim 2 3 0 证:不妨设 r 1 ,我们用估值不等式(5)式估计积分的模, 因为在 z = r 上

2元-r21+1+2上式右端当r→0时极限为0,故左端极限也为0,所以3lim /90 J--r1+23d2=0本节重点掌握:(1)复变函数积分的计算:(2)复变函数积分的基本性质$3.2柯西积分定理(Cauchy integral theorem)下面讨论复变函数积分与路径无关问题定理(Theorem)3.3设f(=)是在单连通区域D内的解析函数,则f(z)在D内沿任意一条闭曲线C的积分.F(z)dz=0,在这里沿C的积分是按反时针方向取的此定理是1825年Cauchy给出的.1851年Riemann在f(=)连续的假设下给出了简单证明如下证明:已知f(2)在单连通区域D内解析,所以f'(=)存在,设f(=)在区域D内连续,可知u、v的一阶偏导数在区域D内连续,又,VC c D,f f(=)dz = f,udx -vdy+if, vdx+ ud)由Green公式f udx -vdy= J[(-v,-u,)dxdy=0, f ydx+ udy = J[(u, -y,)dxdy= 0有 (z)dz=0
9 = = − + z r + z r r r dz z z dz z z 2 4 2 3 2 3 1 2 | | 1 | 1 上式右端当 r →0 时极限为 0,故左端极限也为 0,所以 → = = r z r + dz z z 0 1 lim 2 3 0 本节重点掌握: (1)复变函数积分的计算; (2)复变函数积分的基本性质 §3.2 柯西积分定理 (Cauchy integral theorem) 下面讨论复变函数积分与路径无关问题 定理(Theorem)3.3 设 f (z) 是在单连通区域 D 内的解析函 数,则 f (z) 在 D 内沿任意一条闭曲线 C 的积分 ( )d = 0 C f z z , 在这里沿 C 的积分是按反时针方向取的. 此定理是 1825 年 Cauchy 给出的.1851 年 Riemann 在 f (z) 连续 的假设下给出了简单证明如下 证明:已知 f (z) 在单连通区域 D 内解析,所以 f (z) 存在,设 f (z) 在区域 D 内连续,可知 u 、v 的一阶偏导数在区域 D 内连续, 有 ( )d = 0 C f z z = − + + c C C 又, C D,f (z)dz udx vdy i vdx udy − = − − = + = − = D x y c D x y c udx vdy v u dxdy vdx udy u v dxdy Green ( ) 0, ( ) 0 由 公式

注1:此定理证明假设“f'(=)在区域D内连续”,失去定理的真实性,法国数学家古萨(E.Goursat)在1900年给出了真实证明,但比较麻烦.注2:若C是区域D的边界,f()在单连通区域D内解析在D上连续,则定理仍成立定理(Theorem)3.4若f(=)是在单连通区域D内的解析函数,C/、C,是在D内连接=o及z两点的任意两条简单曲线,则Je, f(a)dz = Je, (2)dz证明:由柯西积分定理J, ()dz-J, (=)d =fe+c, ()z = 0将柯西积分定理推广到多连通区域上定理(Theorem)3.5(复合围线积分定理)设有n+1条简单闭曲线C,C..C.,曲线C.,C.中每一条都在其余曲线的外区域内,而且所有这些曲线都在的C内区域,C,Ci…C,围成一个有界多连通区域D,D及其边界构成一个闭区域D.设f(z)在D上解析,那么令表示D的全部边界,我们有J.f(z)dz= 0其中积分是沿T按关于区域D的正向取的.即沿C按逆时针方向,沿C..C,按顺时针方向取积分;或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一同运动时,区域D总在它的左侧.因此10
10 注 1: 此定理证明假设“ f (z) 在区域 D 内连续”,失去定理 的真实性,法国数学家古萨(E.Goursat)在 1900 年给出了真实 证明,但比较麻烦. 注 2: 若 C 是区域 D 的边界, f (z) 在单连通区域 D 内解析, 在 D 上连续,则定理仍成立. 定理(Theorem)3.4 若 f (z) 是在单连通区域 D 内的解析函 数, C1、C1 是在 D 内连接 z0 及 z 两点的任意两条简单曲线, 则 = 1 ( ) C f z dz 2 ( ) C f z dz 证明:由柯西积分定理 − 1 ( ) C f z dz 2 ( ) C f z dz ( ) 0 1 2 = = + f z dz C C 将柯西积分定理推广到多连通区域上 定理(Theorem)3.5(复合围线积分定理)设有 n+1 条简单闭曲 线 , ,., , C C1 Cn 曲线 C Cn ,., 1 中每一条都在其余曲线的外区域内, 而且所有这些曲线都在的 C 内区域, C C Cn , ,., 1 围成一个有界 多连通区域 D , D 及其边界构成一个闭区域 D .设 f(z)在 D 上 解析,那么令 表示 D 的全部边界,我们有 = 0 f (z)dz 其中积分是沿 按关于区域 D 的正向取的.即沿 C 按逆时针方 向,沿 C Cn ,., 1 按顺时针方向取积分;或者说当点沿着 C 按所选 定取积分的方向一同运动时,区域 D 总在它的左侧.因此