第三章复变函数的积分(Integrationof functionofthecomplexvariable)第一讲授课题目：$3.1复积分的概念$3.2柯西积分定理教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理、学时安排：2学时教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念教学重点：复变函数积分的计算问题教学难点：柯西积分定理教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：Ps-76思考题：1、2、习题三：1-10板书设计：一、复变函数积分的计算问题二、柯西积分定理三、举例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等1
1 第三章 复变函数的积分 (Integration of function of thecomplex variable) 第一讲 授课题目：§3.1 复积分的概念 §3.2 柯西积分定理 教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函 数积分的基本性质、柯西积分定理. 学时安排：2 学时 教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线 上的积分 2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定 积分的概念 教学重点：复变函数积分的计算问题 教学难点：柯西积分定理 教学方式：多媒体与板书相结合 作业布置： P75−76 思考题：1、2、习题三：1-10 板书设计：一、复变函数积分的计算问题 二、柯西积分定理 三、举例 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育 出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第 二版）2005 年 5 月. 4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等
教育出版社，2008年4月课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方法掌握不理想3、利用课余时间多和学生交流教学过程：s3.1复积分的概念(Theconceptionof complexintegration)一、复变函数的积分的定义（Complexfunctionofthe2
2 教育出版社，2008 年 4 月. 课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分 2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方 法掌握不理想 3、利用课余时间多和学生交流 教学过程： §3.1 复积分的概念 (The conception of complex integration) 一、复变函数的积分的定义（Complex function of the
integral definition)定义（Definition）3.1设在复平面上有一条连接A及B两点的光滑简单曲线C设f(2)=u(x,J)+iv(x,y)是在C上的连续函数.其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部.把曲线C用分点A=20,21,…m-1-z,=B分成n个小弧段，其中z=x+y(k=0,1,2...n)y=,=BZALZo =AX在每个狐段上任取一点s=+m，作和式Z f(s)(z,-2-1)(1)k=l令=max=-z-B，当→0时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于Sk=5+n的选择，也不依赖于曲线C的分法，则就称此极限值为f(-)沿曲线C的积分.记作n
3 integral definition） 定义（Definition）3.1 设在复平面上有一条连接 A 及 B 两点的光滑简单曲线 C 设 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是在 C 上的连 续函数.其中 u(x, y) 及 v(x, y) 是 f (z) 的实部及虚部.把曲线 C 用 分点 A = z0 , z1 , z2 ., zn−1 , zn = B 分成 n 个小弧段，其中 z x y (k 0,1,2,., n) k = k + k = y zn = B k z k −1 z 1 z z0 = A O x 在每个狐段上任取一点 k k k = + ，作和式 ( )( ) 1 1 − = − k n k k k f z z （1） 令 max{| |} 1 1 − = k − k k n z z ，当 →0 时，若（1）式的极限存在，且此 极限值不依赖于 k k k = + 的选择，也不依赖于曲线 C 的分法， 则就称此极限值为 f (z) 沿曲线 C 的积分.记作
[, f(=)d = im f(GX=x -=-)kl当f(=)沿曲线C的负方向（从B到A）积分，记作[(=)d当f(=)沿闭曲线C的积分，记作ff(=)dz定理(Theorem)3.1若f()=u(x,y)+iv(x,y)沿光滑简单曲线C连续，则f(z)沿C可积，且J, f(z)dz = J,u(x, y)dx-v(x, y)dy+if, v(x, y)dx + u(x, y)dy,(2)证明：f(GX= -)Z[u(5k,n)+i(5,n)[(x -x)+i(y+I-)]-2(a, (-x)- (, -)k=lk=l-+[Z(5k,n)(x+ -x)+Zu(5k,n)(y+ -y) ]k=lk=l由f(=)=u(x,y)+iv(x,y)沿光滑简单曲线C连续，可知u(x,y),v(x,y)沿光滑简单曲线C也连续，当→0时，有max( yx- ye-1 /I -0max (/ x- Xx- I) → 0于是上式右端的极限存在，且有Jf(=)dz = J,u(x, )dx-v(x )dy+if, (x, y)dx+ u(x, y)dy,4
4 = C f (z)dz lim ( )( ) 1 1 0 − = → − k n k k k f z z 当 f (z) 沿曲线 C 的负方向（从 B 到 A ）积分，记作 − C f (z)dz 当 f (z) 沿闭曲线 C 的积分，记作 f (z)dz C 定理(Theorem)3.1 若 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 沿光滑简 单曲线 C 连续，则 f (z) 沿 C 可积，且 f (z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy, C C C = − + + （2） 证明： ( )( ) 1 1 − = − k n k k k f z z [ ( , ) ( , )][( ) ( )] 1 1 1 k k n k k k k k k k = u + iv x − x + i y − y + = + [ ( , )( ) ( , )( ) , ( , )( ) ( , )( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − = + = + − = + = + + − + − = − − − n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k i v x x u y y u x x v y y 由 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 沿光滑简单曲线 C 连续，可知 u(x, y), v(x, y) 沿光滑简单曲线 C 也连续，当 →0 时，有 max{| |} 0 1 1 − − → k k k n x x max{| |} 0 1 1 − − → k k k n y y 于是上式右端的极限存在，且有 f (z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy, C C C = − + +
二、复变函数积分的计算(Complex integrationof computational problems)设有光滑曲线C：z=2()=x(l)+()(α≤t≤β),即=(在[α,β]上连续且有不为零的导数=)=x()+iy().又设J()沿C连续.由公式(2)我们有J. f(z)dz= J,u(x, y)dx -v(x, y)dy +if,v(x, y)dx + u(x, y)dyT[ u(x(0) (0)x(0)-(x(0), y(0)(0) t+i[ (x(0) y(0)x(0)+ u(x(0), y(0)(0) lat[。 f(=)dz = [8 f[2(0)}'()dt,即(3)或 J。 (=)d = J Re ([=(0)](0)]dt +i, Im([=(0)]1(0)at(4)用公式（3)或（4)计算复变函数的积分，是从积分路径C的参数方程着手，称为参数方程法。注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论例1计算[zdz，其中C是（1）从点1到i的直线段C；（2）从点1到0的直线段C,，再从点0到i得直线段C，所连接成的折线段C=C,+Cs.解:(1)C=C;z(t)=1-t+it(0≤t≤1),有:[=dz = (1-t-it)(-1+i)dt = f(2t -1)dt+if'dt = i5
5 二、复变函数积分的计算 (Complex integration of computational problems) 设有光滑曲线 C : , 即 在 上连续且有不为零的导数 .又 设 沿 C 连续.由公式(2)我们有 u(x(t) y(t))x (t) v(x(t) y(t))y (t) dt f z z u x y x v x y y i v x y x u x y y C C C = − = − + + , , ( )d ( , )d ( , )d ( , )d ( , )d + i v(x(t) y(t))x (t)+ u(x(t) y(t))y (t) dt , , 即 (3) 或 (4) 用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径 C 的 参数方程着手,称为参数方程法. 注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论. 例 1 计算 zdz C ，其中 C 是 （1） 从点 1 到 i 的直线段 C1 ； （2） 从点 1 到 0 的直线段 C2 ，再从点 0 到 i 得直线段 C3 所连 接成的折线段 C = C2 +C3 . 解：（1） ; ( ) 1 (0 1) C = C1 z t = − t + it t ，有： = − − − + = − + = 1 0 1 0 1 0 zdz (1 t it)( 1 i)dt (2t 1)dt i dt i c z = z(t) = x(t)+ iy(t) ( t ) z (t) , z (t) = x (t)+iy (t) f (z) f (z)dz f z(t)z (t)dt, c = ( ) Re f z dz = c f z(t)z (t)dt + i Imf z(t)z (t)dt
(2) C, :z(t)=1-t(0≤t≤1),C, : z2(t)= i(0≤t≤1), 有:J =dz = J zdz + J=dz = -f(1-1)dt + f"tdt = 0例 2计算I=,=dz其中C是(1)连接－到i的直线段：（2)连接-i到i的单位圆的左半圆(3)连接－到i的单位圆的右半圆解：(I)-到i的直线段的参数方程为：z=it,-1<t≤1,于是jilidt=2if'tdt=2i- ["=i1= dz=2(2)单位圆的左半圆的参数方程为==e",从到，于是22元元元25atdeitdz=-e"idt=2i3元3元6.71222(3)单位圆的右半圆的参数方程为z=e"t,t从0到2元"=21[ e"|d(e")=e":=-2上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关dz例3其中n为任意整数，C为以z为中心r为半径的圆周解C的参数方程为z=z+rei0≤0<2元，由公式得6
6 （2） : ( ) 1 (0 1), : ( ) (0 1). C2 z1 t = −t t C3 z2 t = it t ，有： = + = − − + = 1 0 1 0 (1 ) 0 3 2 zdz zdz zdz t dt tdt c c c 例 2 计算 z dz i i I − = 其中 C 是 (1)连接− i到i 的直线段；(2)连接− i到i 的单位圆的左半圆 (3)连接− i到i 的单位圆的右半圆 解： z dz it idt i tdt i t i i i I i z it t = = = − = − = − = − 1 2 2 1 2 0 1 2 1 1 (1) , 1 1, 到i的直线段的参数方程为： 于是 z dz e e idt de e i i i I z e t ， i t i t i t i t i t 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 (2) , 2 2 = = = 3 = − = = 单位圆的左半圆的参数方程为 从 到 于是 I z dz e d e e i z e t ， i i t i t i t i i t ( ) 2 (3) , 0 2 2 2 2 2 = = = = = − − − 单位圆的右半圆的参数方程为 从 到 上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关 例 3 ( 0 ) n C dz z z − ，其中 n 为任意整数， C 为以 0 z 为中心， r 为半径的圆周. 解 C 的参数方程为 0 ,0 2 i z z re = + ，由公式得
e-i(n-1)e de""emdo**J.°cos(n-1)odo +二J° sin(n-1)odon=1[2元i,n=l,10,n+1.此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系，应记住这一特点例4计算【zdz，其中C为从原点到点3+4i的直线段解：此直线方程可写作x=3t,y=4t,0≤t≤1或z=3t+i4t,0≤t≤1在C上，z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt，于是J,zdz = J(3+ 4i) tdt =(3+ 4i) f"tdt = (3 + 4i)2因J zdz= J.(x+iy)(dx+idy)=J,xdx- ydy+if. ydx+ xdy易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以zdz的值，不论是对怎样的连接原点到3+4i的曲线，都等于(3+4i)例5设C是圆|z-αp，其中α是一个复数，p是一个正数，则按逆时针方向所取的积分dz=2元i-αz-α=peio证明：令7
7 ( ) 2 2 ( 1) 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 cos( 1) sin( 1) 2 , 1, 0, 1. i i n n n in n C n n dz ire i d e d z z r e r i i n d n d r r i n n − − − − − = = − = − + − = = 此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周 的中心和半径没有关系，应记住这一特点. 例 4 计算 C zdz ，其中 C 为从原点到点 3 4 + i 的直线段. 解： 此直线方程可写作 x t y t t = = 3 , 4 ,0 1 或 z t i t t = + 3 4 ,0 1. 在 C 上， z i t dz i dt = + = + (3 4 ) , (3 4 ) ，于是 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 0 0 1 3 4 3 4 3 4 C 2 zdz i tdt i tdt i = + = + = + . 因 ( )( ) C C C C zdz x iy dx idy xdx ydy i ydx xdy = + + = − + + 易验证，右边两个线积分都与路线 C 无关，所以 C zdz 的值，不 论是对怎样的连接原点到 3 4 + i 的曲线，都等于 ( ) 1 2 3 4 2 + i . 例 5 设 C 是圆 | z − |= ，其中 是一个复数， 是一个 正数，则按逆时针方向所取的积分 i z dz C = 2 − 证明：令 i z − = e
于是dz=pieide,dz从而id0=2元JC-三、复变函数积分的基本性质（Complexintegrationofthe basic nature)设f(=)及g(=)在简单曲线C上连续，则有(1）kf(=)dz=k/.f(=)dz,其中k是一个复常数(2) [Lf(z)±g(z)]dz= [, f(z)dz±[,g(z)dz;3JF(=)dz = J, (2)dz + J, (=)dz +.+ Je. (2)dz其中曲线C是有光滑的曲线CC...C,连接而成；(4) J(=)dz=-J.(=)dz定理3.2（积分估值）如果在曲线C上，f(=)≤M，而L是曲线C的长度，其中M及L都是有限的正数，那么有(5)1, f(z)d≤ J,17(=)ld|≤ ML ,证明：因为125(5-)M2- M=两边取极限即可得：,(=)d[,(=)ML例6试证：lml三0 J--r1+22d2 =0证：不妨设r<1，我们用估值不等式（5）式估计积分的模因为在日=r上，8
8 于是 d d i z = ie ， 从而 id i z dz C 2 2 0 = = − 三、复变函数积分的基本性质(Complex integration of the basic nature) 设 f (z) 及 g(z) 在简单曲线 C 上连续，则有 （1） kf z z k f z z 其中k是一个复常数 C C ( )d ( )d , = （2） [ ( ) ( )]d ( )d ( )d ; = C C C f z g z z f z z g z z （3） = + + + C C C Cn f (z)dz f (z)dz f (z)dz . f (z)dz 1 2 其中曲线 C 是有光滑的曲线 C C Cn , ,., 1 2 连接而成； （4） − = − C C f (z)dz f (z)dz 定理 3.2（积分估值） 如果在曲线 C 上， f (z) M ，而 L 是曲线 C 的长度，其中 M 及 L 都是有限的正数，那么有 f z z f (z) dz ML C C | ( )d | ， （5） 证明：因为 f z z M z z k ML n k k k n k k k − − − = + − = + | ( )( )| | | 1 1 1 1 1 1 两边取极限即可得： f z z f (z) dz ML C C | ( )d | 例 6 试证： → = = r z r + dz z z 0 1 lim 2 3 0 证:不妨设 r 1 ，我们用估值不等式（5）式估计积分的模， 因为在 z = r 上
2元-r21+1+2上式右端当r→0时极限为0，故左端极限也为0，所以3lim /90 J--r1+23d2=0本节重点掌握：（1）复变函数积分的计算：（2）复变函数积分的基本性质$3.2柯西积分定理(Cauchy integral theorem)下面讨论复变函数积分与路径无关问题定理（Theorem)3.3设f(=)是在单连通区域D内的解析函数，则f(z)在D内沿任意一条闭曲线C的积分.F(z)dz=0,在这里沿C的积分是按反时针方向取的此定理是1825年Cauchy给出的.1851年Riemann在f(=)连续的假设下给出了简单证明如下证明：已知f(2)在单连通区域D内解析，所以f'(=)存在，设f(=)在区域D内连续，可知u、v的一阶偏导数在区域D内连续，又,VC c D,f f(=)dz = f,udx -vdy+if, vdx+ ud)由Green公式f udx -vdy= J[(-v,-u,)dxdy=0, f ydx+ udy = J[(u, -y,)dxdy= 0有 (z)dz=0
9 = = − + z r + z r r r dz z z dz z z 2 4 2 3 2 3 1 2 | | 1 | 1 上式右端当 r →0 时极限为 0，故左端极限也为 0，所以 → = = r z r + dz z z 0 1 lim 2 3 0 本节重点掌握： （1）复变函数积分的计算； （2）复变函数积分的基本性质 §3.2 柯西积分定理 （Cauchy integral theorem) 下面讨论复变函数积分与路径无关问题 定理(Theorem)3.3 设 f (z) 是在单连通区域 D 内的解析函 数，则 f (z) 在 D 内沿任意一条闭曲线 C 的积分 ( )d = 0 C f z z , 在这里沿 C 的积分是按反时针方向取的. 此定理是 1825 年 Cauchy 给出的.1851 年 Riemann 在 f (z) 连续 的假设下给出了简单证明如下 证明：已知 f (z) 在单连通区域 D 内解析，所以 f (z) 存在，设 f (z) 在区域 D 内连续，可知 u 、v 的一阶偏导数在区域 D 内连续， 有 ( )d = 0 C f z z = − + + c C C 又, C D，f (z)dz udx vdy i vdx udy − = − − = + = − = D x y c D x y c udx vdy v u dxdy vdx udy u v dxdy Green ( ) 0, ( ) 0 由 公式
注1：此定理证明假设“f'(=)在区域D内连续”，失去定理的真实性，法国数学家古萨（E.Goursat）在1900年给出了真实证明，但比较麻烦.注2：若C是区域D的边界，f()在单连通区域D内解析在D上连续，则定理仍成立定理（Theorem)3.4若f(=)是在单连通区域D内的解析函数，C/、C,是在D内连接=o及z两点的任意两条简单曲线，则Je, f(a)dz = Je, (2)dz证明：由柯西积分定理J, ()dz-J, (=)d =fe+c, ()z = 0将柯西积分定理推广到多连通区域上定理（Theorem)3.5（复合围线积分定理）设有n+1条简单闭曲线C,C..C.，曲线C.,C.中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的C内区域，C,Ci…C,围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个闭区域D.设f(z)在D上解析，那么令表示D的全部边界，我们有J.f(z)dz= 0其中积分是沿T按关于区域D的正向取的.即沿C按逆时针方向，沿C..C,按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一同运动时，区域D总在它的左侧.因此10
10 注 1: 此定理证明假设“ f (z) 在区域 D 内连续”，失去定理 的真实性，法国数学家古萨（E.Goursat）在 1900 年给出了真实 证明，但比较麻烦. 注 2: 若 C 是区域 D 的边界， f (z) 在单连通区域 D 内解析， 在 D 上连续，则定理仍成立. 定理(Theorem)3.4 若 f (z) 是在单连通区域 D 内的解析函 数， C1、C1 是在 D 内连接 z0 及 z 两点的任意两条简单曲线， 则 = 1 ( ) C f z dz 2 ( ) C f z dz 证明：由柯西积分定理 − 1 ( ) C f z dz 2 ( ) C f z dz ( ) 0 1 2 = = + f z dz C C 将柯西积分定理推广到多连通区域上 定理(Theorem)3.5（复合围线积分定理）设有 n+1 条简单闭曲 线 , ,., , C C1 Cn 曲线 C Cn ,., 1 中每一条都在其余曲线的外区域内， 而且所有这些曲线都在的 C 内区域， C C Cn , ,., 1 围成一个有界 多连通区域 D ， D 及其边界构成一个闭区域 D .设 f(z)在 D 上 解析，那么令 表示 D 的全部边界，我们有 = 0 f (z)dz 其中积分是沿 按关于区域 D 的正向取的.即沿 C 按逆时针方 向，沿 C Cn ,., 1 按顺时针方向取积分；或者说当点沿着 C 按所选 定取积分的方向一同运动时，区域 D 总在它的左侧.因此