第九章拉普拉斯变换(TheLaplace transformation)第一讲授课题目：$9.1拉普拉斯变换的概念S9.2拉普拉斯变换的性质教学内容：1、拉普拉斯变换的定义2、拉普拉斯变换存在条件3、拉普拉斯变换的性质学时安排：2学时教学目标：1、正确理解拉普拉斯变换的定义2、了解拉普拉斯变换存在条件3、掌握拉普拉斯变换的性质教学重点：1、拉普拉斯变换的定义2、卷积和卷积定理教学难点：拉普拉斯变换的性质教学方式：讲授法、图形类比法、演绎法作业布置：习题九1-5板书设计：一、拉普拉斯变换的定义二、扌拉普拉斯变换存在条件三、拉普拉斯变换的性质主要参考资料：1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社1987.1
1 第九章 拉普拉斯变换 （The Laplace transformation） 第一讲 授课题目：§9.1 拉普拉斯变换的概念 §9.2 拉普拉斯变换的性质 教学内容：1、拉普拉斯变换的定义 2、拉普拉斯变换存在条件 3、拉普拉斯变换的性质 学时安排：2 学时 教学目标：1、正确理解拉普拉斯变换的定义 2、了解拉普拉斯变换存在条件 3、掌握拉普拉斯变换的性质 教学重点：1、拉普拉斯变换的定义 2、卷积和卷积定理 教学难点：拉普拉斯变换的性质 教学方式：讲授法、图形类比法、演绎法 作业布置：习题九 1-5 板书设计：一、 拉普拉斯变换的定义 二、 拉普拉斯变换存在条件 三、 拉普拉斯变换的性质 主要参考资料： 1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社， 1987
2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版2003.3、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社，2000.课后记：1、理解了拉普拉斯积分变换的定义2、拉普拉斯积分变换存在条件，不能正确掌握3、掌握了拉普拉斯积分变换的性质教学过程2
2 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育 出版 2003. 3、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社， 2000. 课后记：1、理解了拉普拉斯积分变换的定义 2、拉普拉斯积分变换存在条件，不能正确掌握 3、掌握了拉普拉斯积分变换的性质 教学过程
89.1拉普拉斯变换的概念(The conceptionand propertyof theLaplacetransformation)傅氏变换具有广泛的应用，特别是在信号处理领域，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号分析本质就是傅里叶积分变换.但任何东西都有局限性，傅里叶变换也一样，人们对傅里叶积分变换的局限性做了各种各样的改进，一方面提高它对问题的刻画能力，如窗口傅里叶变换、小波变换等：另一方面，扩大它本身的使用范围，比如本章要介绍的拉普拉斯变换就是.我们知道傅里叶变换对函数有一定的要求，即满足狄利克雷条件，还要求在（-o0,+o0）上绝对可积，才有古典意义下的傅里叶积分变换，而绝对可积是一个很强的条件，即使一些简单函数，有时也不能满足这个条件，引入狄拉克函数后，傅里叶积分变换应用广泛了很多，但对于指数增长的函数仍然不能使用，另外傅里叶积分变换必须在整个实数轴上定义，但在工程实际问题中，许多以时间为自变量的函数，就不能在整个实数上定义，因此傅里叶积分变换在处理这样的问题时，有一定的局限性.19世纪未英国工程师赫维赛德发明了一种算子法，最后发展成了今天的拉普拉斯积分变换，而其数学上的根源还是来自拉普拉斯，所以称其为拉普拉斯积分变换。一、拉普拉斯变换的定义（DefinitionwhichRupprathvaries）定义（Definition）设函数f（t)是定义在[O,+oo上的实值函数，如果对于复参数s=β+jo，积分F(s)= Jof(t)e" dt3
3 §9.1 拉普拉斯变换的概念 (The conception and property of the Laplace transformation) 傅氏变换具有广泛的应用，特别是在信号处理领域，直到今 天它仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号分析本质 就是傅里叶积分变换.但任何东西都有局限性，傅里叶变换也一样， 人们对傅里叶积分变换的局限性做了各种各样的改进.一方面提 高它对问题的刻画能力，如窗口傅里叶变换、小波变换等；另一 方面，扩大它本身的使用范围，比如本章要介绍的拉普拉斯变换 就是.我们知道傅里叶变换对函数有一定的要求，即满足狄利克雷 条件，还要求在 ( , ) − + 上绝对可积，才有古典意义下的傅里叶 积分变换，而绝对可积是一个很强的条件，即使一些简单函数， 有时也不能满足这个条件，引入狄拉克函数后，傅里叶积分变换 应用广泛了很多，但对于指数增长的函数仍然不能使用，另外傅 里叶积分变换必须在整个实数轴上定义，但在工程实际问题中， 许多以时间为自变量的函数，就不能在整个实数上定义，因此傅 里叶积分变换在处理这样的问题时，有一定的局限性.19世纪末英 国工程师赫维赛德发明了一种算子法，最后发展成了今天的拉普 拉斯积分变换，而其数学上的根源还是来自拉普拉斯，所以称其 为拉普拉斯积分变换. 一、 拉普拉斯变换的定义（Definition which Rupprath varies） 定义（Definition）设函数 f t() 是定义在 [0, ) + 上的实值函 数，如果对于复参数 s j = + ，积分 0 ( ) ( ) st F s f t e dt + − =
在复平面s的某一域内收敛，则称F(s)为f()的拉普拉斯变换，记为LLf(t)=F(s)=Jf(t)edt，称f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换，记为f(t)=L[F(s)].，F(s)称为像函数，f()称为原像函数.事实上，我们从下面可以看出傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换的关系：FLf(t)u(1)e-P = [ f(t)u(t)e-Pe-a dt = J f(t)e-(β+jo)" dt令s=β+ jO,则 FLf()u(t)e-]=Jf(t)e" dt=F(s)=L[f(t)由此可以知道，f(t)的拉普拉斯积分变换就是f(t)u(t)e-β的傅里叶积分变换，首先通过单位阶跃函数u(t)使函数f(t)在t0的部分乘一个衰减的指数函数e-B以降低其增长速度，这样就有希望使函数f(t)u(t)e-满足傅里叶积分变换的条件，从而对它进行傅里叶积分变换例9.1分别求出单位阶跃函数u(t)，符号函数sgnt，f(t)=1的拉普拉斯积分变换，解: ()=F(s)=Jf()e"dt=Je"dt=}, (Res>0)SL[u()]=Ju()e"dt=Je"dt-}, (Res>0)[sgni]= J. sgn te"dt = J. e"dt =↓,，(Res>0)S例9.2求指数函数f(t)=e的拉氏变换（k为实数)解:4
4 在复平面 s 的某一域内收敛，则称 F s( ) 为 f t() 的拉普拉斯变换， 记为 ( ) 0 [ ( )] ( ) st f t F s f t e dt + − = = L ，称 f t() 为 F s( ) 的拉普拉斯逆 变换，记为 1 f t F s ( ) [ ( )]. − = L ，F s( ) 称为像函数， f t() 称为原像函 数. 事实上，我们从下面可以看出傅里叶积分变换和拉普拉斯积 分变换的关系: [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) t t j t f t u t e f t u t e e dt + − − − − = F ( ) 0 ( ) j t f t e dt + − + = 令 s j = + ，则 [ ( ) ( ) ]t f t u t e− F = ( ) 0 ( ) st f t e dt F s + − = =L[ ( )] f t . 由此可以知道， f t() 的拉普拉斯积分变换就是 ( ) ( ) t f t u t e− 的傅里 叶积分变换，首先通过单位阶跃函数 ut() 使函数 f t() 在 t 0 的部 分为0，其次对函数 f t() 在 t 0 的部分乘一个衰减的指数函数 t e − 以降低其增长速度，这样就有希望使函数 ( ) ( ) t f t u t e− 满足傅里叶 积分变换的条件，从而对它进行傅里叶积分变换. 例9.1 分别求出单位阶跃函数 ut() ，符号函数 sgnt ，f t( ) 1 = 的拉普拉斯积分变换. 解： ( ) 0 [ ( )] ( ) st f t F s f t e dt + − = = L 0 st 1 e dt s + − = = ，(Re 0) s 0 0 1 [ ( )] ( ) st st u t u t e dt e dt s + + − − = = = L ，(Re 0) s 0 0 1 [sgn ] sgn st st t te dt e dt s + + − − = = = L ，(Re 0) s 例9.2 求指数函数 ( ) kt f t e = 的拉氏变换(k为实数). 解 ：
CLf(t)]-f ee-"dt=f, e-(s-k"dt=fe-(s-kdt=-s-k所以 [e"]=二(Re(s)>k)s-k二、拉普拉斯积分变换存在条件（Laplasseintegral existconditions)拉氏变换的存在定理（Laplassetheexistence oftransformationtheorems）：若函数f(t)满足：(1）在t≥0的任一有限区间上分段连续：(2)当t一+oo时，f()的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数M>0及c≥0，使得I f(t)≤ Met, (0 ≤tc上一定存在，并且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数证明设s=β+jo，则le-=e-，所以I F(s) H Jo f(t)e-" t|≤MJte-(β-c"r dt由Re(s)=β>c，可以知道右端积分在上半平面上收敛.关于解析性的证明省略。注1：大部分常用函数的拉普拉斯变换都存在（常义下）；注2：存在定理的条件是充分但非必要条件对于任意函数来说，其拉普拉斯变换有三种情况，或者不存在，或者在整个复平面上存在，或者在一个半平面内存在，5
5 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 [ ( )] e e d e d e d e kt st s k t s k t s k t f t t t t s k s k + + + + − − − − − − − = = = = − = − − L 所以 1 [e ] (Re( ) ). kt s k s k = − L 二 、 拉 普 拉斯积分变换存在条件（Laplasse integral exist conditions） 拉 氏 变 换 的 存 在 定 理 （ Laplasse the existence of transformation theorems）： 若函数 f t() 满足: (1) 在t 0的任一有限区间上分段连续; (2) 当 t → + 时, f t() 的增长速度不超过某一指数函数, 即存 在常数 M > 0及c 0, 使得 | ( ) | ,(0 ) ct f t Me t + 则 f t() 的拉氏变换 0 ( ) ( )e dst F s f t t + − = 在半平面 Re( )s c 上一定 存在, 并且在 Re( )s c 的半平面内, F s( ) 为解析函数. 证明 设 s j = + ，则 | | st t e e − − = ，所以 ( ) ( ) 0 0 | | | ( ) | st c t F s f t e dt M e dt + + − − − = 由 Re( )s c = ，可以知道右端积分在上半平面上收敛. 关于解析性的证明省略. 注1:大部分常用函数的拉普拉斯变换都存在(常义下); 注2：存在定理的条件是充分但非必要条件. 对于任意函数来说，其拉普拉斯变换有三种情况，或者不存 在，或者在整个复平面上存在，或者在一个半平面内存在
89.2拉普拉斯变换的性质(Change the nature of thelaplasse)一、拉普拉斯变换的性质（Changethenatureof thelaplasse)1、线性性质（Linearnature）[αf(t)βg(t)]=αf(t]β[g(t)'[αf(t)±βg(t)]=αL'[f(t)]±βL"[g(t)]2、相似性质（Similarnature）设Lf(t)=F(s)，则对任意常数a>0，有[f(at))=证明：令x=at，则f(x)e"dx=LLf(at) = f f(at)e-" dt =-例9.3求cosot的拉普拉斯积分变换，解(ejot +e-jer )] =-(C[ejo" ]+ L[e"jot C/cosotl=L52+0s+i0105s-1例9.4已知F(s)=求[F(S)]，(s+ 1)(s - 2)解5s-C'[F(S) = L2℃(s+1)(s-2)s+3、微分性质（Differentialnature）(1)设Lf(t)=F(s)，则有[f(t))=sF(s)-f(O)，一般地6
6 §9.2 拉普拉斯变换的性质 （Change the nature of the laplasse） 一、拉普拉斯变换的性质（Change the nature of the laplasse） 1、线性性质（Linear nature） L L L[ [ ( ) ( )] [ ( )] ( )] f t g t f t g t = ； 1 1 1 [ ( ) ( )] [ ( )] ( )] f t g t f t g t − − − L L L [ = 2、相似性质（Similar nature） 设 L[ ( )] f t F s = ( ) ，则对任意常数 a>0 ，有 1 [ ( )] s f at F a a = L . 证明：令 x at = ，则 0 0 1 1 [ ( )] ( ) ( ) s x st a s f at f at e dt f x e dx F a a a + + − − = = = L 例9.3 求 cost 的拉普拉斯积分变换. 解 ： 2 2 1 1 1 cos ] ( )] ] ]) ) 2 2 2 j t j t j t j t s t e e e e s − − = + = + = + = + 1 1 L[ L[ (L[ L[ ( s - j s + j 例9.4 已知 5 1 ( ) ( 1)( 2) s F s s s − = + − ，求 1 [ ( )]. F s − L . 解 1 1 1 1 1 2 5 1 2 3 1 1 [ ( )]. [ ] [ ] 2 [ ] 3 [ ] 2 3 ( 1)( 2) 1 2) 1 2 s t t F s e e s s s s s s − − − − − − − = = + = + = + + − + − + − L L L L L 3、微分性质（Differential nature） （1）设 L[ ( )] f t F s = ( ) ，则有 ( ) ' L[ ( )] (0) f t sF s f = − ，一般地
有 L[f() (t)= s"F(s) - s"-" f(O)-s"-- f (O) -.- f(n-(O)证明利用分部积分方法和拉普拉斯积分变换的定义CLf (t)= J。f(t)e"dt = f(t)e" I" +s]。f(t)e" dt =sF(s)- f(0)用数学归纳法可以得到Lf(" (t)]= s"F(s) - "- f(O) - s"- f (0) -..- f(r-)(0)此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程(2）设Lf(t)=F(s)，则有F(s)=-L[f(t))；一般地有F(" (s)=(-1)"[r" f(t).证明: F(s)= J。 f(t)(e")dt =-J。 tf(t)e-"dt =-L[f(t)], 用数学归纳法可以得到 F(")(s)=(-1)"["f(t)]可以用来求t"f(t)的拉普拉斯积分变换例9.5求解微分方程y(t)+y(t)=0,J(0)=0,y(0)=0解对方程的两边做拉普拉斯积分变换，可以得到s’Y(s) - sy(0)-y(0)+°Y(s) = 00得到Y(s)=+()=[(s)]='[l=sinot52+02例9.6求f()="的拉普拉斯积分变换解设f(t)=t"，则f(m)(t)=m!，且f(0) = f (0) = = f(m) (0) = 07
7 有 ( ) ( ) 1 2 ' ( 1) [ ( )] (0) (0) (0) n n n n n f t s F s s f s f f − − − L = − − − − 证明 利用分部积分方法和拉普拉斯积分变换的定义. ' ' 0 0 0 [ ( )] ( )e d ( ) | ( ) d ( ) (0) st st st f t f t t f t e s f t e t sF s f + + − − + − = = + = − L 用数学归纳法可以得到 ( ) ( ) 1 2 ' ( 1) [ ( )] (0) (0) (0) n n n n n f t s F s s f s f f − − − L = − − − − 此性质可以使我们有可能将 f t() 的微分方程转化为 F s( ) 的代数 方程 （2）设 L[ ( )] f t F s = ( ) ，则有 ( ) ' F s tf t = −L[ ( )] ；一般地有 ( ) ( ) ( 1) [ ( )] n n n F s t f t = − L . 证明： ' ' 0 0 ( ) ( )( ) ( ) [ ( )] st st F s f t e dt tf t e dt tf t + + − − = = − = − L ，用 数学归纳法可以得到 ( ) ( ) ( 1) [ ( )] n n n F s t f t = − L . 可以用来求 ( ) n t f t 的拉普拉斯积分变换. 例9.5 求解微分方程 '' 2 ' y t y t y y ( ) ( ) 0, (0) 0, (0) + = = = . 解 对方程的两边做拉普拉斯积分变换，可以得到 2 ' 2 s Y s sy y Y s ( ) (0) (0) ( ) 0 − − + = 得到 2 2 Y s( ) s = + ， 1 1 2 2 y t Y s t ( ) [ ( )] [ ] sin s − − = = = + L L 例9.6 求 ( ) m f t t = 的拉普拉斯积分变换. 解 设 ( ) m f t t = ，则 ( ) ( ) ! m f t m= ，且 ' ( 1) (0) (0) (0) 0 m f f f − = = = =
m!L[m!] = 故[t"]例9.7求函数f(t)=tsinot的拉普拉斯积分变换解20ssL[ f(t)] = L[t sin ot]= -{(C[sin ot])' = -{5? +02(s? +0*)?例9.8求函数f()=t?cost的拉普拉斯积分变换解 L[f(0)]= L[ cos? 1]=↓L[F(1+ cos21)] =1 d?1d(l+_s)=22(s° +24s2 +32)2 ds C(1+ cos2)] =2ds5+4s (s + 4)34、积分性质（Integralnature）(1)设Lf()=F(s)，则有L(t)di)=F(s)，一般地有cf'a f'dt.-J'af ()dt)- _ F(s).证明设g(t)=["f(t)dt，则g(t)=f()，且g(0)=0，利用微分性质可以得到Lf(t)]= L[g (t)] = sL[g(t)]- g(O) = S[g(t)],所以 cf" f(0)di) =1 F(s).用数学归纳法可以得到cfaijdt.aij()di=二F(s)(2）设(0)=F(s)，则有"F(s)ds=，一般地有" s' s.. " (s)ds = 可以用来求兴的拉普拉斯积分变换。tn8
8 故 1 1 ! ] !] m m m m t m s s + L[ L[ = = . 例9.7 求函数 f t t t ( ) sin = 的拉普拉斯积分变换. 解 ' ' 2 2 2 2 2 2 ( )] sin ] { sin ]} { } ( ) s s f t t t t s s = = − = − = + + L[ L[ L[ 例9.8 求函数 2 2 f t t t ( ) cos = 的拉普拉斯积分变换. 解 2 2 2 1 ( )] cos ] (1 cos 2 )] 2 L[ L[ L[ f t t t t t = = + = 2 2 6 2 2 2 2 3 2 3 1 1 1 2( 24 32) (1 cos 2 )] ( ) 2 2 4 ( 4) d d s s s t ds ds s s s s + + + = + = + + L[ 4、积分性质（Integral nature） （1）设 L[ ( )] f t F s = ( ) ，则有 0 1 [ ( ) ] ( ) t f t dt F s s = L ，一般地有 0 0 0 0 1 [ ( ) ] ( ) t t t t n dt dt dt f t dt F s s = L . 证明 设 0 ( ) ( ) t g t f t dt = ，则 ' g t f t ( ) ( ) = ，且 g(0) 0 = ，利用微 分性质可以得到 ' L L[ L L [ ( )] ( )] [ ( )] (0) [ ( )] f t g t s g t g s g t = = − = ， 所以 0 1 [ ( ) ] ( ) t f t dt F s s = L . 用数学归纳法可以得到 0 0 0 0 1 [ ( ) ] ( ) t t t t n dt dt dt f t dt F s s = L （2）设 L[ ( )] f t F s = ( ) ，则有 ( ) ( ) [ ] s f t F s ds t = L ，一般地有 ( ) ( ) [ ] n s s s s f t ds ds ds F s ds t = L . 可以用来求 ( ) n f t t 的拉普拉斯积分变换
证明F(s)ds=(e"dds-'ed]-Jo- d= (ojat=反复利用上面可以得到ds]~as]ds…"F(s)ds=]例9.9求函数f(0)=sinI的拉普拉斯积分变换。n解 由于 L[sint]=川ds=arccotss2 +1+asintdt=元令s=0，21由此可以知道利用拉普拉斯积分变换，可以计算一些反常积分，例9.10计算下列积分(1)+ e-3t cos2tdt(2) Jrm1 -coste~' dtL3解(1) [(cos2)]=亨+4"cos2tdt=132+4s2 + 1(2) / -cos] = [" [1- cos]ds =] -rs2s(s +1)2令 s=1, 则 [ -cosle~ dt=—lin2215、延迟性质（Delaynature）设Lf(t))=F(s)，当t<0时f(t)=0，则对任一非负实数t有L[f(t-t)] =e" L[f(t)]= e-" F(s),证明令=t-t，则c[f(t-t)] = f()e-(o+) dt, = e" c[f(t)]= e" F(s)6、位移性质（Displacementnature）9
9 证明 0 0 0 0 ( ) ( ) [ ( ) ] ( )[ ] ( )[ | ] ( )[ ] [ ] st st st st s s s s e e f t F s ds f t e dt ds f t e ds f t dt f t dt t t t − − + + + + − − = = − = = = L 反复利用上面可以得到 ( ) ( ) [ ] n s s s s f t ds ds ds F s ds t = L . 例9.9 求函数 sin ( ) t f t t = 的拉普拉斯积分变换. 解 由于 2 1 sin ] 1 t s = + L[ ，则 2 sin 1 ] cot s 1 t ds arc s t s = = + L[ 令 s = 0 ，有 0 sin 2 t dt t + = . 由此可以知道利用拉普拉斯积分变换，可以计算一些反常积分. 例9.10 计算下列积分 （1） 3 0 cos2 t e tdt + − （2） 0 1 cos d t t e t t + − − 解（1） 2 (cos 2 )] 4 s t s = + L[ ， 3 2 3 0 3 cos 2 | 4 13 t s s e tdt s + − = = = + （2） 2 2 2 1 cos 1 1 1 ] ] ln s s ( 1) 2 t s ds ds t s s s − + = = = + L[ L[1 - cost 令 s =1 ，则 0 1 cos 1 d ln 2 2 t t e t t + − − = 5、延迟性质（Delay nature） 设 L[ ( )] f t F s = ( ) ，当 t 0 时 f t( ) = 0 ，则对任一非负实数 有 ( ) ( ) ( ) s s f t e f t e F s − − L L − = = . 证明 令 1 t t = − ，则 0 ( ) 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) s t s s f t f t e dt e f t e F s + − + − − − = = = L L 6、位移性质（Displacement nature）
设Lf(t)=F(s)，则有[e"f()]=F(s-α)，α为常数证明c[e" f()]= J. e" f(t)e" dt = J" f()e-s-a"dt =F(s -a).例9.11设f(t)=sint，求[f(t-)] ---例9.12求'[一-fe"].解因为'[-J=e'u(t)[e-l,t>1所以-I=et-u(t -I) =10,t<1二、卷积和卷积定理（Rollsandrollsatheorem）1、卷积的定义（Rolleduptothedefinition）：f()*f(t)=Jfi(t)f(t-t)dt,结合率、交换律和分配率仍然成立2、卷积定理（Rolleda theorem）：设[f(t)]=F(s),[f(t)]=F(s)，则有C[f()*f(]=F(s)E(s);L[F(s)·E(s)]=f()*f()证明由定义L[ f()* f,()]= f [f(t)* f,()]e-" dt = ff' f(t)f(t-t)dt]e-" dt然后交换二重积分的次序，令1=t-TL[f(t)* f(t)]= J f(t)[f°f(t - t)e" di]dt10
10 设 L[ ( )] f t F s = ( ) ，则有 ( ) ( ) t e f t F s = − L ， 为常数. 证明 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) t t st s t e f t e f t e dt f t e dt F s + + − − − = = = − L . 例9.11 设 f t t ( ) sin = ，求 ( )] 2 f t L[ − . 解 2 2 1 ( )] sin( )] 2 2 1 s f t t e s − − = − = + L[ L[ 例9.12 求 1 1 [ ] 1 s e s − − − L . 解 因为 1 1 [ ] ( ) 1 t e u t s − = − L 所以 1 1 1 1 , 1 [ ] ( 1) 1 0, 1 t s t e t e e u t s t − − − − = − = − L 二、卷积和卷积定理（Rolls and rolls a theorem） 1、卷积的定义（Rolled up to the definition）: 1 2 1 2 0 ( )* ( ) ( ) ( ) t f t f t f f t d = − ,结合率、交换律和分配率仍然成 立. 2、卷积定理（Rolled a theorem）： 设 L L f t F s f t F s 1 1 2 2 ( ) ( ), ( ) ( ) = = ，则有 1 1 2 1 2 1 2 1 2 f t f t F s F s F s F s f t f t ( ) * ( )] ( ) ( ); [ ( ) ( )] ( ) * ( ) − L[ L = = 证明 由定义 1 2 1 2 1 2 0 0 0 ( )* ( )] ( )* ( )] ( ) ( ) ] t st st f t f t f t f t e dt f f t d e dt + + − − = = − L[ [ [ 然后交换二重积分的次序，令 1 t t = − 1 2 1 2 0 0 ( )* ( )] ( )[ ( ) ] t st f t f t f f t e dt d + − = − L[