《复变函数与积分变换》课程教学资源（教案讲义）第八章 傅里叶变换（The Fourier transformation）

第八章傅里叶变换(TheFouriertransformation)第一讲授课题目：$8.1傅里叶变换的概念教学内容：傅里叶级数、傅氏积分与傅氏变换学时安排：2学时教学目标：1、正确理解傅里叶级数的复指数形式2、正确理解傅里叶变换的概念3、了解基频、振幅、相位、离散频谱、离散振幅和离散相位谱4、掌握求函数的傅里叶变换5、理解函数的傅里叶积分公式教学重点：傅里叶级数教学难点：傅氏积分与傅氏变换教学方式：讲授法、图形类比法、演绎法作业布置：习题八1-3板书设计：一、傅里叶级数二、傅里叶积分三、傅里叶变换主要参考资料：1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社，19871

1 第八章 傅里叶变换 （The Fourier transformation） 第一讲 授课题目：§8.1傅里叶变换的概念 教学内容：傅里叶级数、傅氏积分与傅氏变换 学时安排：2 学时 教学目标：1、正确理解傅里叶级数的复指数形式 2、正确理解傅里叶变换的概念 3、了解基频、振幅、相位、离散频谱、离散振幅和 离散相位谱 4、掌握求函数的傅里叶变换 5、理解函数的傅里叶积分公式 教学重点：傅里叶级数 教学难点：傅氏积分与傅氏变换 教学方式：讲授法、图形类比法、演绎法 作业布置：习题八 1-3 板书设计：一、傅里叶级数 二、 傅里叶积分 三、傅里叶变换 主要参考资料： 1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育 出版社，1987

2、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社，2000课后记：1、能理解傅里叶级数的复指数形式2、能理解傅里叶积分变换的概念3、理解函数的傅里叶积分变换教学过程：2

2 2、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学 出版社，2000 课后记：1、能理解傅里叶级数的复指数形式 2、能理解傅里叶积分变换的概念 3、理解函数的傅里叶积分变换 教学过程：

人们在处理和分析工程实际问题时，常会用到一些变换来处理问题，这些变换一方面可以使问题变的简单，另一方面可以使问题的性质更加明确，比如数学上的对数变换可以使幂和开方运算转为乘除运算，乘除运算转为加减运算，大大简化了计算的复杂度，坐标系的变换可以使一些复杂的积分和体积的计算简单化，本章我们来学习傅里叶积分变换，它是将一个函数通过积分运算化为另一个函数，同时还具有对称的逆变换形式，这种变换能简化一些微分方程的求解，而且还具有特殊的物理意义，在许多领域广泛的应用，比如在图形处理和信号分析中有很重要的应用尤其是当今数字时代的，离散傅里叶变换可以在计算机上实现傅里叶积分变换和逆变换，使得这理论显得尤为重要所谓积分变换，实际上就是通过积分算，把一个函数变成另一个函数的一种变换这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：F(t)=f"f(t)K(t,t)dtf(t)是要变换的函数，原像函数;F(t)是变换后的函数，像函数；K(t,t)是一个二元函数，称为积分变换核，它的不同可以得到不同的积分变换，数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其递运算就可得到原问题的解如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算；再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况基于这种思想，便产生了积分变换最早是由傅里叶在研究热传导方程时得到的。3

3 人们在处理和分析工程实际问题时，常会用到一些变换来处 理问题，这些变换一方面可以使问题变的简单，另一方面可以使 问题的性质更加明确，比如数学上的对数变换可以使幂和开方运 算转为乘除运算，乘除运算转为加减运算，大大简化了计算的复 杂度，坐标系的变换可以使一些复杂的积分和体积的计算简单化. 本章我们来学习傅里叶积分变换，它是将一个函数通过积分运算 化为另一个函数，同时还具有对称的逆变换形式，这种变换能简 化一些微分方程的求解，而且还具有特殊的物理意义，在许多领 域广泛的应用，比如在图形处理和信号分析中有很重要的应用. 尤其是当今数字时代的，离散傅里叶变换可以在计算机上实现傅 里叶积分变换和逆变换，使得这理论显得尤为重要. 所谓积分变换，实际上就是通过积分算，把一个函数变成另 一个函数的一种变换这类积 分一般要含有参变量，具体形式可 写为： ( ) ( ) ( , ) b a F f t K t dt   =  f t() 是要变换的函数，原像函数； F( )  是变换后的函数，像函数； K t( , )  是一个二元函数，称为积 分变换核，它的不同可以得到不同的积分变换. 数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问 题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解如，初等数学中， 曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算； 再 如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数 中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况基于这种思想， 便产生了积分变换 最早是由傅里叶在研究热传导方程时得到的

其主要体现在：数学上：求解方程的重要工具；能实现卷积与普通乘积之间的互相转化工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具，88.1傅里叶变换的概念(The conception of the Fourier transformation)一、傅里叶级数的指数形式（ExponentialformofFourierseries）1804年，傅里叶研究热传导时提出有限区间上任意函数可以表示为正弦和余弦的和，1829年狄利克雷证明了如下的定理，为傅里叶级数建立了理论基础：定理（Theorem)8.1设f.(t)是以T为周期的实函数，且在[-号]上满足狄氏条件，即.(0在一个周期[-号号1上满足：2°222（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点则()在连续点处，有J.()=号+Z(a.,cosno, +b, sinno,)2其中2元f(0)cosno,d,b,=(0)sin nogdt0anTT=[f.(t+0)+ f(t-0)] (n=1,2,3.....)0在间断点t。处，f.(1)=+Z(a,cos no),t+b,sin no.t)式右端级2=4

4 其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积之 间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具. §8.1 傅里叶变换的概念 (The conception of the Fourier transformation) 一、 傅里叶级数的指数形式（ Exponential form of Fourier series） 1804年，傅里叶研究热传导时提出有限区间上任意函数可以 表示为正弦和余弦的和，1829年狄利克雷证明了如下的定理，为 傅里叶级数建立了理论基础： 定 理 (Theorem)8.1 设 f t()  是以 T 为周期的实函数，且在 [ , ] 2 2 T T − 上满足狄氏条件，即 f t()  在一个周期 [ , ] 2 2 T T − 上满足： （1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点 则 f t()  在连续点处，有 0 0 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n n n a f t a n t b n t    + = = + +  其中 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 , ( )cos , ( )sin T T a f t n tdt b f t n tdt n T n T T T T T T     − − = = =   0 0 0 1 , [ ( 0) ( 0)] 2 T T t f t f t + + − ( 1,2,3, ) n = 在间断点 0 t 处， 0 0 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n n n a f t a n t b n t    + = = + +  式右端级

数收敛于f(t+0)+fr(to-0)l2根据工程上的习惯i=-1，则ejo+e-joeje-e-jo，于是，上面的傅里叶级数可以cOsp=,sin@=22j表示为：jnapf+e-jnaorf.(t)=%+Ca222jn=lan-jba,+jb,%+2o-jney222=I=a, - jb.a,+ jb,ao则全Co222f.(0)=C.eJnepn=(- dt (.= ,.).其中c./nZc.er称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显f.(t)=)n=1的物理意义．如果令A4 =,4,= a,+b,coso,=,sino, =-(n=1.2.3.......)2A.A.f.(t)= A +ZA, cos(no,t +0,)Tc, lc.argc,n=lao,A.Ja,+by,coso,=,sing,Ao=(n=12.3......)-AA5

5 数收敛于 0 0 1 [ ( 0) ( 0)] 2 T T f t f t + + − . 根据工程上的习惯 j = −1 ，则 cos ,sin 2 2 j j j j e e e e j       − − + − = = ，于是,上面的傅里叶级数可以 表示为： 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 2 2 2 jn t jn t jn t jn t n n n a e e e e f t a b j      + − − = + − = + +  0 0 0 1 ( ) 2 2 2 n n n n jn t jn t n a a jb a jb e e   + − = − + = + +  令 0 0 , , 2 2 2 n n n n n n a a jb a jb c c c− − + = = = ，则 0 1 ( ) jn t n n f t c e   + = =  其中 2 0 2 1 ( ) T jn t n T c f t e dt T   − − =  ( 0, 1, 2, 3, ) n =    . 0 1 ( ) jn t n n f t c e   + = =  称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显 的物理意义. 如果令 0 2 2 0 0 0 1 , ,cos ,sin ( 1,2,3 ) 2 ( ) cos( ) arg n n n n n n n n n n n n n n n a a b A A a b n A A f t A A n t Tc c c      + = − = = + = = = = + +  0 2 2 0 , ,cos ,sin ( 1,2,3 ) 2 n n n n n n n n n a a b A A a b n A A   − = = + = = =

则f(t)=A+A,cos(no,t+0,)，这说明如果f,(0)代表信号，那么一个周期为T的信号可以分解成简谐波的和，这些谐波的频率分别为基频の的倍数，换句话说，信号.()并不含有各种频率的成分，而仅由一系列具有离散频率的谐波所构成，其中A.反映了频率为no.的谐波在f.()中所占的份额，称为振幅，e,反映了频率为nの.的谐波沿时间轴移动的大小，称为相位.c，作为复数，可以完全刻画信号f.()的频率特性，称为f.()的离散频谱，ca称为离散振幅谱，argc,称为离散相位谱例8.1求以T为周期的函数-1<1<02f.(0)=T2,0<t<2的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式-号，当μ二0时，解令0=C =F(0)=3一(2dt=1，f.(t)dt=TJoT当n±0时,c,=F(n)=f(0ermdt=e-mdt=(e" -1)3-n元6

6 则 0 0 1 ( ) cos( ) n n n f t A A n t    + = = + +  ，这说明如果 f t()  代表信号，那 么一个周期为 T 的信号可以分解成简谐波的和，这些谐波的频率 分别为基频 0 的倍数，换句话说，信号 f t()  并不含有各种频率 的成分，而仅由一系列具有离散频率的谐波所构成，其中 A n 反映 了频率为 0 n 的谐波在 f t()  中所占的份额，称为振幅， n 反映了 频率为 0 n 的谐波沿时间轴移动的大小，称为相位. n c 作为复数， 可以完全刻画信号 f t()  的频率特性，称为 f t()  的离散频谱， n c 称为离散振幅谱， arg n c 称为离散相位谱. 例8.1 求以 T 为周期的函数 0, 0 2 ( ) 2,0 2 T t f t T t   −    =      的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式. 解 令 0 2 T   = ，当 n = 0 时， 2 2 0 0 2 1 1 (0) ( ) 2 1 T T T c F f t dt dt T T  − = = = =   ， 当 n  0 时， 0 2 2 0 2 0 0 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) T T T jn j t jn t n T j c F n f t e dt e dt e T T n       − − − − = = = = −  

0,n=2k2jn=2k+lnn元所以f.()的傅里叶级数的复指数形式为：-2jj(2n-1)apf.()=1+(2n-1)元ne-0振幅谱为1,n=0,F(no)|=0,n= ±2,2,n=±l[1n|元相位谱为0,n=2k元.n=2k+1>0argF(no.)=2元,n=2k+1<0n二、傅里叶积分（Fourierintegral）任何一个非周期函数f()，都可看成是由某个周期函数f(t)当T→+oo时转化而来的，即f(t)= lim fr(t)由f()是周期函数，可以知道， fr(t)e-iman di Jeimonf.(0)-Z[n=127

7 0, 2 ( 1) 2 , 2 1 jn n k j e j n n k n    −  =  = − =  − = +   所以 f t()  的傅里叶级数的复指数形式为： 0 2 (2 1) ( ) 1 (2 1) n j n t n j f t e n    =+ − =− − = + −  . 振幅谱为 0 1, 0, ( ) 0, 2, 2 , 1, | | n F n n n n     =  = =     =   相位谱为 0 0, 2 arg ( ) , 2 1 0 2 , 2 1 0 2 n k F n n k n k      =   = = +     − = +    二、 傅里叶积分（Fourier integral） 任何一个非周期函数 f t() , 都可看成是由某个周期函数 () T f t 当 T → + 时转化而来的，即 ( ) lim ( ) T T f t f t →+ = 由 () T f t 是周期函数，可以知道， 2 1 2 1 ( ) [ ( ) ] T jn t jn t T T T n f t f t e dt e T   + − − = = 

所以可以得到(t)e-inor dteif(t)= lim Jr(0)= lim令△0=0,-0-1=2元/T，T=2元/0，0,=n0，则A00T-8因此(0)= Jim (0)=lim )ALojetAafr(t)e-iot dt2元4起A按照积分的定义，在一定条件下，上面表达式可以写成：f()=[ (terdt endo称为函数f(t)的傅氏积分公式定理（Theorem)8.2若f(t)在(-co，+co)上满足条件：（1)f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件；(2)f()在无限区间（-°0+)上绝对可积在(-0,+)绝对可积是指的[1f(t)Idt收敛。则[ r da[f(t)t为连续点；f(t+0)+ f(t-0)t为间断点。2上述定理称为傅氏积分定理。可以证明，当满足傅氏积分定理条件时，公式可以写为三角形式，根据欧拉公式有8

8 所以可以得到 2 0 0 2 1 j j ( ) lim ( ) lim ( ) d T T n n t T T T T n f t f t f e e T      − + − →+ →+ =−   = =       令 1 2  = − =     n n− T ， T =  2 ， n 0   = n ，则  →  → +  0 T 因此 j j 0 1 ( ) lim ( ) lim ( ) d 2 n nt T T T n f t f t f e e              −  + − →+  → =−   = =        按照积分的定义，在一定条件下，上面表达式可以写成： 1 ( ) ( ) 2 i i t f t f e d e d       + + − − −   =       称为函数 f t() 的傅氏积分公式 定理(Theorem)8.2 若 f t() 在(-∞, +∞)上满足条件: (1) f t() 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) f t() 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积. ( , ) | ( ) | d f t t + − 在 − + 绝对可积是指的 收敛。 则 1 ( ) 2 i i t f e d e d       + + − − −         ( ) ( 0) ( 0) 2 f t t f t f t t   =  + + −   为连续点； 为间断点。 上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当满足傅氏积分定理条件时，公式可以写为三角 形式，根据欧拉公式有

[(eor d er d -[(0)einn ]do[(t)coso(-t)dr+(t)sino(t-T)d ]do因为实部和虚部分别是的偶函数和奇函数：所以(0)=[f(t)coso(t-t)dt da进而可以得到f(0)=[f()coso(t-t)dt ]da

9 1 1 j j j ( ) ( ) ( ) d d ( ) d d 2 2 t t f t f e e f e             +  +  − − − − − −     = =             1 ( )cos ( )d ( )sin ( ) 2 f t j f t d d           +  + − − −   = − + −        因为实部和虚部分别是的偶函数和奇函数， 所以 1 ( ) ( )cos ( )d d 2 f t f t       +  − −   = −       进而可以得到 0 1 f t f t ( ) ( )cos ( )d d       +  −   = −      

21$8.2傅里叶变换和单位冲激函数傅里叶变换、单位冲激函数的概念和性质、单位冲激函数的傅里叶变换1、掌握求函数的傅里叶变换2、正确理解单位冲激函数的概念和性质3、正确理解单位冲激函数的傅里叶变换1、傅里叶变换的概念2、单位冲激函数的傅里叶变换单位冲激函数的概念10

10 2 1 §8.2 傅里叶变换和单位冲激函数 傅里叶变换、单位冲激函数的概念和性质、单位冲激函数的傅里叶变换 1、掌握求函数的傅里叶变换 2、正确理解单位冲激函数的概念和性质 3、正确理解单位冲激函数的傅里叶变换 1、傅里叶变换的概念 2、单位冲激函数的傅里叶变换 单位冲激函数的概念