第一章复数与复变函数(Complexnumberandfunctionof thecomplexvariable)第一讲授课题目：$1.1复数S1.2复数的三角表示教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方学时安排：2学时教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义2、切实理解掌握复数的辐角3、掌握复数的表示教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义教学难点：复数的辐角教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：P,思考题：1、2、3.习题一：1-9板书设计：一、复数的模和辐角二、复数的表示三、复数的乘方与开方参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导）3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算-
1 第一章 复数与复变函数 (Complex number and function of the complex variable) 第一讲 授课题目：§1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、 复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方. 学时安排：2 学时 教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 2、切实理解掌握复数的辐角 3、掌握复数的表示 教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 教学难点：复数的辐角 教学方式：多媒体与板书相结合. 作业布置： P27 思考题：1、2、3.习题一：1-9 板书设计：一、复数的模和辐角 二、复数的表示 三、复数的乘方与开方 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算 2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导） 3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算
教学过程：2
2 教学过程：
引言复数的产生和复变函数理论的建立1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转，2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上：用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的.3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家Riemann和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.n
3 引言 复数的产生和复变函数理论的建立 1、1545 年，意大利数学家 Cardan 在解三次方程时，首先 产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时 是不可接受的.这种状况随着 17、18 世纪微积分的发明和给出 了虚数的几何解析而逐渐好转. 2、1777 年，瑞士数学家 Euler 建立了系统的复数理论，发 现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的 一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用 符号 i 表示虚数单位，也是 Euler 首创的. 3、19 世纪，法国数学家 Cauchy、德国数学家 Riemann 和 Weierstrass 经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论 知直到今天都是比较完善的. 4、20 世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数 与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼 曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和 天体力学、流体力学、电学等领域. 5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关 系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的 推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的 比较
第一章复数与复变函数$1.1复数(Complex number)一、复数的概念（Theconceptofcomplex）l、称x+iy为复数，其中x,yER，i=/-I是虚数单位；通常记为z=x+iy；2、x和y分别称为=的实部和虚部，分别记作x=Rez，y= Imz ;3、纯虚数：若x=0,y0,称z=x+iy(x,yR)为纯虚数；当Imz±0，那么==x+iv称为虚数；当Imz=0时，那么z=x就是一个实数；4、两个复数相等：复数=+和z=+相等是指它们的实部与虚部分别相等5、共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为共轭复数.记=的共轭复数为=.设复数z=x+iy，则称x-iy为复数z的共轭复数（Conjugate），记作z=x-i注1：两个虚数之间不能比较大小例如，设i>0，则i·i>0·i，即-<0，矛盾注2：0=0+i0二、复数的四则运算（Complexnumberarithmetic）设z2=a,+ib,z,=a,+ib则4
4 第一章 复数与复变函数 §1.1 复数 (Complex number) 一、 复数的概念（The concept of complex） 1、称 x + iy 为复数，其中 x, y R，i = −1 是虚数单位；通常 记为 z = x + iy ； 2、 x 和 y 分别称为 z 的实部和虚部，分别记作 x = Re z ， y = Im z ； 3、纯虚数：若 x = 0, y 0, 称 z = x + iy(x, y R) 为纯虚数； 当 Imz 0 ，那么 z = x + iy 称为虚数；当 Imz = 0 时，那么 z = x 就是一个实数； 4、两个复数相等：复数 1 1 1 z = x +iy 和 2 2 2 z = x +iy 相等是指它 们的实部与虚部分别相等. 5、共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为 共轭复数.记 z 的共轭复数为 z .设复数 z = x + iy ，则称 x −iy 为复 数 z 的共轭复数（Conjugate），记作 z = x − iy 注 1：两个虚数之间不能比较大小. 例如，设 i 0 ，则 ii 0i ，即−1 0 ，矛盾. 注 2： 0 = 0 + i 0 二、复数的四则运算（Complex number arithmetic） 设 1 1 1 z = a +ib 2 2 2 z = a +ib 则
z±z=(a+ib)±(az+ib)=(a,±a)+i(b±b,)z/=2=(a, +ib,)(az +ib2)=(aa2 -b,b2)+i(abz +a,b)=(+b）b+bhb）（#0)a?+b222(az+ib,)a+b容易验证下列公式：(1)2±22=2)±22，(2)2:22=2°22，(3)()=(3, #0),2222(4) (z+2 =2Re(2),z-2 = 2ilm(2) ,zz = x? + y? =(Rez)? +(Imz)? ,(5) Rez=三+=mz=二-6)2i'22显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C.三、复平面（Complexplane）作映射：C→R:z=x+iy(x,y)，则在复数集与平面R之间建立了一个1-1对应.在直角坐标系中，横坐标轴上的点表示实数，X轴称为实轴，纵坐标轴上的点表示纯虚数，Y轴称为虚轴；把实轴和虚轴决定的整个坐标平面我们称为复平面（Complexplane）或Z平面注3复平面一般称为z-平面，W-平面等5
5 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 b1 b2 z z = a +ib a +ib = a a +i ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 a1b2 a2b1 z z = a +ib a +ib = a a −b b +i + 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 ) ( ) ( ) a b a b a b i a b a a b b a ib a ib z z + − + + + = + + = （ 0 2 z ） 容易验证下列公式： (1) 1 2 1 2 z z = z z ， (2) 1 2 1 2 z z = z z ， (3) ( ) ( 0) 2 2 1 2 1 = z z z z z ， (4) z + z = 2Re(z),z − z = 2iIm(z) ， 2 2 2 2 zz = x + y = (Re z) + (Imz) ， (5) 2 Re z z z + = , i z z Im z 2 − = ，(6) (z) = z . 显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律. 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为 C . 三、复平面（Complex plane） 作映射： : ( , ) 2 C → R z = x + iy x y ，则在复数集与平面 2 R 之间建立了一个 1-1 对应.在直角坐标系中，横坐标轴上的点表 示实数，X 轴称为实轴，纵坐标轴上的点表示纯虚数，Y 轴称为 虚轴；把实轴和虚轴决定的整个坐标平面我们称为复平面 （Complex plane）或 Z 平面. 注 3 复平面一般称为 z -平面， w-平面等
81.2复数的三角表示(Therepresentationof complexnumber)、复数的模和辐角（ComplexmodulusandArgument）如图：复数z=x+iy用向量op来表示.向量的长度称为复数z=x+iy的模，记作：x+y；向量与正实轴之间的夹角称为复数z=x+iy的辐角(Argument)，记作：Argz.V.P(x,y)yAxox由于任意非零复数有无限多个辐角，用argz表示符合条件元<argz≤元的一个角，称为复数z=x+iy主辐角（MainArgument），即Argz的主值，于是Argz=argz+2k元k=0.±1±2..此时有日= Argz=-Argz.注4当2=0时辐角无意义，元元当z0时，有如下关系（-元argz≤元<arctan22x6
6 §1.2 复数的三角表示 (The representation of complex number) 一、复数的模和辐角（Complex modulus and Argument） 如图: 复数 z = x + iy 用向量 op 来表示.向量的长度称为复 数 z = x + iy 的模，记作： 2 2 | z |= x + y ； 向量与正实轴之间的夹角称为复数 z = x + iy 的 辐 角 （Argument），记作： Argz . 由于任意非零复数有无限多个辐角，用 arg z 表示符合条件 − arg z 的一个角，称为复数 z = x + iy 主辐角（ Main Argument）.即 Argz 的主值，于是 Argz = arg z + 2k k = 0,1, 2, 此时有 z = z Argz = −Argz . z = zz 2 注 4 当 z = 0 时辐角无意义. 当 z 0 时，有如下关系（ − arg z ， arctan 2 2 y x − ） o x y P(x,y) z = r x y
n,当x>0,y>0;arctanx元当x=0,y>0;Parctan+元，当x0,y<0;arctanx例1求Arg(2-i)及Arg(-3+4i)解Arg(2-2i)=arg(2-2i)+2k元-2 +2k元= arctan 2_元+2k元 (k=0,±1,±2,)4Arg(-3+ 4i) = arg(-3+ 4i)+2k4+2k元+元=arctan-34=(2k+1)元-arctan-(k = 0,±1, ±2,..)3二、复数模的三角不等式（Pluraltriangleinequality）关于两个复数二，与，的和与差的模，有下列不等式(1)/z+z23 /+[z2 /;(2)[z+z, [z /-/=2 ;(3)1,-22=, /+2 /;（4)[2-z2/-122 ll;（5）/Rez=1,/mz=]：（6）[==zz例2设z，z，是两个复数，求证：7
7 例 1 求 Arg(2−i)及Arg(-3+ 4i) 解 二、复数模的三角不等式（Plural triangle inequality） 关于两个复数 1 z 与 2 z 的和与差的模，有下列不等式： （1） | | | | | | 1 2 1 2 z + z z + z ；（2） | | || | | || 1 2 1 2 z + z z − z ； （3） | | | | | | 1 2 1 2 z − z z + z ；（4） | | || | | || 1 2 1 2 z − z z − z ； （5） | Re z || z |,| Im z || z | ；（6） z = zz 2 | | . 例 2 设 1 z ， 2 z 是两个复数，求证： = − − + = = arctan , , ; , , ; arctan , , ; arctan , , ; , , ; arctan , , ; arg 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y z z 当 当 当 当 当 当 2 2 − x y 其中 arctan Arg( ) arg( ) 2 2 2 2 2 − = − + i i k 2k 2 2 arctan + − = 2 ( 0, 1, 2, ) 4 = − + k k = Arg(−3 + 4i) = arg(−3 + 4i) + 2k + + − = 2k 3 4 arctan ( 0, 1, 2, ) 3 4 = (2k +1) − arctan k =
121 -z2 P=I=, 2 +/ =2 /° -2Re(2)=2),证明 1 -22 =(=1 -2,)-2)= -2 -z122 -221 = +2/ -z1z2 -z122= +2/ -2Re(2z)三、复数的三角表示（Representationofcomplexnumbers）1、复数的点表示（PluralPoint）复数z=x+iv对应有序实数对（xy)，另一方面，在平面直角坐标系中点P(x,y)也对应有序实数对(x,y)，因此复数z=x+iy可用点P(x,y)来表示.复数z与点z同义2、复数的向量表示（Complexvectorthat）我们已经知道复数z=x+iy等同于平面中的向量op，所以，复数z=x+iy可用向量op来表示，3、复数的三角表示（Complextrianglethat）设z≠0的复数，复数z的模为r，0是复数=的任意一个辐角，则z=r(cosの+isin 0),上式右端称为复数=的三角表示注5：一个复数的三角表示不是唯一的例3写出复数1+i的三角表示arg(1+i)="，所以解因为+i=V24[(cos +isin )1+i=V2l0°4+4.0
8 | | | | | | 2Re( ), 1 2 2 2 2 1 2 1 2 z − z = z + z − z z 证明 ( )( ) 1 2 1 2 2 1 2 z − z = z − z z − z ( ) 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 z z 2Re z z z z z z z z z z z z z z = + − = − − − = + − − 三、复数的三角表示（Representation of complex numbers） 1、复数的点表示（Plural Point） 复数 z = x + iy 对应有序实数对 (x, y) ，另一方面，在 平面直角 坐标系中点 P(x, y) 也对应有序实数对 (x, y) ，因此复数 z = x + iy 可用 点 P(x, y) 来表示.复数 z 与点 z 同义 2、复数的向量表示（Complex vector that） 我们已经知道复数 z = x + iy 等同于平面中的向量 op ，所以， 复数 z = x + iy 可用向量 op 来表示， 3、复数的三角表示（Complex triangle that） 设 z 0 的复数，复数 z 的模为 r ， 是复数 z 的任意一个辐 角，则 z = r(cos + isin ) , 上式右端称为复数 z 的三角表示. 注 5：一个复数的三角表示不是唯一的 例 3 写出复数 1+i 的三角表示 解 因为 ( ) 4 1 2 arg 1 + i = + i = ，所以 + = + 4 sin 4 1 2 cos i i
也可以表示为9元9元1+i+isincos44例4设z=r(cosQ+isin)求复数-的三角表示NN解因为！==r,三=r(cos-isin )，所以11 _ -(cos0 - isin 0) = I[cos(- 0) + isin(-0)]Z4、复数的指数表示（Saidpluralindex）由欧拉公式e=coso+isin，可得复数z=r(cos0+isin①)的指数表示z=reio例5将复数1-cos+isin (0<≤元)化为指数式?e解1-cos@+isin@=2sin?+2isin gcos2220P2sinsin-icos222?=2sin22?=2sin2四、用复数的三角表示作乘除法（withthecomplextrianglethat make multiplication and division)利用复数的三角表示，我们表示复数的乘法与除法：设=，,是两个非零复数，则有9
9 也可以表示为 + = + 4 9 sin 4 9 1 2 cos i i 例 4 设 z = r(cos + isin ) 求复数 z 1 的三角表示 解 因为 , , (cos sin ) 1 2 z r z r i z z z = = = − ，所以 = ( − ) = cos(− )+ sin (− ) 1 cos sin 1 1 i r i z r 4、复数的指数表示（Said plural index） 由欧拉公式 e cos isin i = + ，可得复数 z = r(cos + isin ) 的指数表示 i z = re 例 5 将复数 化为指数式 解 四、用复数的三角表示作乘除法（With the complex triangle that make multiplication and division） 利用复数的三角表示，我们表示复数的乘法与除法：设 1 z ， 2 z 是两个非零复数，则有 1 0 − + cos sin i ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos sin sin i i i i e − − + = + = + = − + − =
z,== (cos, +isin)z,==21(cos0, +isin 0,)则有zz2=z1l/z2 /[cos(,+02)+isin(0,+02))有|z)z2 Hz,llz21,Arg(z/=2)=Arg- +Arg-2后一个式子应理解为集合相等同理，对除法有[cos(e,0,)+isin(0,-0,)]22即Arg(二)=Arg=1Arg=2，后一个式子也应理z221Z2解为集合相等，五、复数的乘方与开方（Involution andevolutionofcomplex numbers)1、复数的乘方（Apowercomplex）设复数z=r(cos+isinの)，则对正整数n(1)z" =r"(cosno+isin n)当r=1时，即(2)(cos+isin0)"=cosnの+isinng（2）式称为棣莫弗（DeMoivre）公式2、复数的开方（Evolutionofcomplexnumbers）开方是乘方的逆运算，设w"=z，则称复数w为复数=的zn次方根.记作10
10 | | (cos sin ) 1 1 1 1 z = z + i | | (cos sin ) 2 2 2 2 z = z + i 则有 | || |[cos( ) sin( )] 1 2 = 1 2 1 + 2 + 1 + 2 z z z z i 有 | | | || | 1 2 1 2 z z = z z ， 1 2 1 2 Arg(z z ) = Argz + Argz ，后一个式子 应理解为集合相等. 同理，对除法有 [cos( ) sin( )] 1 2 1 2 2 1 2 1 = − + i − z z z z 即 2 1 2 1 | | z z z z = ， 1 2 2 1 ( ) Argz Argz z z Arg = − ，后一个式子也应理 解为集合相等. 五、复数的乘方与开方（Involution and evolution of complex numbers） 1、复数的乘方（A power complex） 设复数 z = r(cos + isin ) ，则对正整数 n z r ( n i n ) n n = cos + sin （1） 当 r = 1 时，即 ( i ) n i n n cos + sin = cos + sin （2） （2）式称为棣莫弗（De Moivre）公式 2、复数的开方（Evolution of complex numbers） 开方是乘方的逆运算，设 w z n = ，则称复数 w 为复数 z 的 z n 次 方根.记作