试卷一参考答案一、判断题（正确的打“/”，错误的打“×”，每题2分，共20分）1、（) : 2、(×):3、（/):4、（V): 5、(×):6、(X):7、（V):8、（/):9 (×):10、（/).二、填空题（每空2分，共20分）4元：2、11、In 5 +；3、-u(x)；4、0；5、1-arctan+元63w-1=1 ;8、e-jeF(o) ;9、diff_；10、Plot6、0_；7、三、求解下列各题（每题6分，共30分）1、解：先求出被积函数在z=1处的留数e2:因为≥=1是函数的2阶极点，所以(2 -1)e2:Res-4分2e-=lim(=-1)3(z-1)2再由留数定理得e2:,dz=2元i·2e?=4元ie2.-6分==-2 (z - 1)2
1 试卷一 参考答案 一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每题 2 分，共 20 分） 1、（√）; 2、（×）；3、（√）；4、（√）；5、（×）； 6、（×）；7、（√）；8、（√）；9（×）；10、（√）. 二、填空题（每空 2 分，共 20 分） 1 、 6 ； 2 、 + − + 3 4 ln 5 i arctan ； 3 、 − u(x, y) ； 4 、 0 ； 5 、 1 ； 6、 0 ；7、 w −1 =1 ；8、 () e F j t − 0 ；9、diff ；10、 Plot . 三 、求解下列各题（每题 6 分，共 30 分） 1、 解: 先求出被积函数在 z = 1 处的留数. 因为 z = 1 是函数 2 2 (z −1) e z 的 2 阶极点，所以 2 . ( 1) , 1] lim ( 1) ( 1) Re [ 2 2 2 2 1 2 2 e z e z z e s z z z = − = − − → -4 分 再由留数定理得 2 2 4 . ( 1) 2 2 2 2 2 dz i e ie z e z z = = − = -6 分 2、解：在 2 z 3 内，有 1, 3 1, 2 z z -2 分 ( )( ) ( ) 分 分 2 3 6 3 2 3 3 1 2 1 - 4 3 1 1 3 1 2 1 1 1 3 1 ( ) 0 1 1 1 0 1 1 = − − − − − − − − = − − − − − − − − = − − − = = + = − = − = n n n n n n n n n n z z z z z z z z z z z f z 2
3、解：由于z=0,-5是f(=)的一阶极点，有112分Res[/()0] =lm-f(=)=lm(-2)(=+5)"2011-4分Res[.F(=),-5] = lim (z + 5)f(2) = lim245+-5 2(2 -2)2z=2是f(=)的二阶极点，有2z + 59Res[f(=),2] = lim (z - 2) f(=)= lim-6分2(=+5)1964、解：令z=reio，则r<1,0<0<元-2分-2=re2i0 = peig,-4分p=r2 <1, 0<=20<2元故w=2将上半单位圆域映射为|wk1且沿0到1的半径有割痕T-6分5、解：对方程两边取拉式变换，并利用线性性质和微分性质有s?Y(s)- Sy(O)- y(O)+ 4Y(s) = 0,-3分(Y(s) = L(y(),代入初值即得2-5分Y(s) =s? +4°根据sin2t的拉式变换结果，有6分y() = L-'[Y(s)] = sin 2t.四、证明下列各题（3分+5分，共8分）1、证：由商式平平f(2)- f(0) -2分z-0122
2 3、 解：由于 z = 0, − 5 是 f (z) 的一阶极点，有 ( ) ( ) ( ) 20 1 2 5 1 Res[ ,0] lim ( ) lim 2 0 0 = − + = = → → z z f z zf z z z -2 分 ( ) ( ) 245 1 2 1 Res[ , 5] lim ( 5) ( ) lim 2 5 5 = − − − = + = →− →− z z f z z f z z z -4 分 z = 2 是 f (z) 的二阶极点，有 ( ) ( ) 196 9 5 2 5 Res[ ,2] lim (( 2) ( )) lim 2 2 2 2 2 = − + + = − = − → → z z z f z z f z z z -6 分 4、解：令 i z = re ，则 r 1, 0 -2 分 i i z = r e = e 2 2 2 ， 1, 0 2 2 2 = r = -4 分 故 2 w = z 将上半单位圆域映射为 | w | 1 且沿 0 到 1 的半径有割痕. -6 分 5、解：对方程两边取拉式变换，并利用线性性质和微分性质有 ( ) (0) (0) 4 ( ) 0, ( ( ) ( ( )), 2 s Y s − sy − y + Y s = Y s = L y t -3 分 代入初值即得 4 2 ( ) 2 + = s Y s , -5 分 根据 sin 2t 的拉式变换结果，有 ( ) [ ( )] sin 2 . 1 y t = L Y s = t − -6 分 四、证明下列各题（3 分+5 分，共 8 分） 1、证: 由商式 , 0 ( ) (0) 2 2 z z z z z z f z f = = = − − -2 分 -1 1 x y 2 w = z 1 -1 u v -i i
当≥→0时，三→0，故在可导且导数等于0-3分0u=2;auouou=2x,证：(1)2、=-2y,-2axax2ayay?uu在z平面有=0故u(x,y)是调和函数-1分ax2Tay2(2）利用C一R条件，先求出v(x,y)的两个偏导数Ov -- u = -2x+2yOw_ou =2x+2y-2分ax-ayayax则 (x,y)=[(2y-2x)dx+(2x+2y)dy+C= J,(-2x)dx + J,(2x+ 2y)dy +C=-x? +2xy+ y? +Cf(2)=(x? - y2 + 2xy)+i(-x2 + 2xy+ y? +C)=(1-i)22 +iC-3分-4分由 f(i)=-1+2i=→i-1+iC=-1+2i=C=1故 f(2)=(1-i)=2 +i-5分五、求下列函数的积分变换（每题5分，共10分）1、解: F(o)=f(e-jotdt=e-jo' sin 2tdt-e-jo (e21 -e-12r )ht-2分[e-;(-2) -e-;(o+2) μlt["[ej2 -e(-α-2 t-4分- j元[8(2 -0)-8(-0 - 2)]--5分= j元[8(@+2)-(@-2)(e" +e-") [e"]--由于cost=-2分2、解：3
3 当 z →0 时， z →0 ，故在可导且导数等于 0. -3 分 2、 证：（1） 2 , 2 2 2 = = x u x x u ； 2 , 2, 2 2 = − = − y u y y u 在 z 平面有 0 2 2 2 2 = + y u x u 故 u(x, y) 是调和函数. -1 分 （2）利用 C—R 条件，先求出 v(x, y) 的两个偏导数. x y x u y v x y y u x v 2 2 = 2 + 2 = = − + = − -2 分 则 v x y y x dx x y dy C x y = − + + + ( , ) (2 2 ) (2 2 ) ( , ) (0, 0) = − + + + x y x dx x y dy C 0 0 ( 2 ) (2 2 ) = −x + xy+ y +C 2 2 2 ( ) ( 2 ) ( 2 ) 2 2 2 2 f z = x − y + x y + i −x + x y + y +C 2 = − + (1 )i z iC -3 分 由 f (i) = −1+ 2i i −1+ iC = −1+ 2i C = 1 -4 分 故 f z = − i z + i 2 ( ) (1 ) -5 分 五、求下列函数的积分变换（每题 5 分，共 10 分） 1、解： F f (t)e dt e tdt j t j t + − − − + − ( ) = = sin 2 e (e e )dt j j t j t j t + − − − = − 2 2 2 1 -2 分 ( ) ( ) e e dt j j t j t + − − − − + = [ − ] 2 1 2 2 ( ) ( ) [ (2 ) (- 2)] [ ] 2 2 2 = − − − − = − − + − − − − j e e dt j j t j t -4 分 = j[( + 2)−( − 2)] -5 分 2、 解: 由于 ( ), 2 1 cos jt jt t e e − = + ℒ s j e jt − = 1 -2 分
所以有[r(]=[cosi]==[(e")+(e-")]-4分1(高)南-5分六、实验题（每题3分，共12分）-1分1、解syms z;-2分f=(z~2)*exp(z)/(sin(z)) ;limit(f,z,0)--3分2、解--3分[R, P,K] = residue ([1, 2, 1], [1,]-1分3、解symstwf=exp(-t 2)*cos(t) ;--2分g=exp(-t 2)*sin(t) ;F=simple(fourier(f))G=simple(fourier(g))-3分--1分4、解syms t s o;---2 分F=(s 2-0~2)/(s 2+0 2)"2; ---f=ilaplace (F)-3分X
4 所以有 ℒ f (t) = ℒ 2 1 cost = [ℒ ( ) jt e +ℒ ( ) jt e − ] -4 分 = 1 1 1 2 1 2 + = + + − s s s j s j -5 分 六、实验题（每题 3 分，共 12 分） 1、解 syms z; -1 分 f=(z^2)*exp(z)/(sin(z)); -2 分 limit(f,z,0) -3 分 2、解 [R, P,K] = residue ([1, 2, 1], [1,1]) -3 分 3、解 syms t w -1 分 f=exp(-t^2)*cos(t); g=exp(-t^2)*sin(t); -2 分 F=simple(fourier(f)) G=simple(fourier(g)) -3 分 4、解 syms t s ; -1 分 F=(s^2- ^2)/(s^2+ ^2)^2; -2 分 f=ilaplace(F) -3 分