*第七章解析函数在平面场中的应用Analysisfunctionapplyingintheplanefield
*第七章 解析函数在 平面场中的应用 Analysis function applying in the plane field
第一讲87.1复势的概念87.2复势的应用87.3用共形映射方法研究平面场
第一讲 §7.1复势的概念 §7.2 复势的应用 §7.3 用共形映射方法研究平面场
87.1复势的概念(TheConceptionofthecomplexpotential)物理中有许多不同的稳定平面场，都可以用解析函数来描述，这种平面场的物理现象，可以用相应的解析函数的性质来描述。如果平面平行向量场不随时间变化，我们称为平面定常向量场。我们设z=x+iy对平面上的任意点，可以用一个解析函数来表示例如: P(z)= A, (x,y)+iA,(x, y)一个平面定常流速场可以用复变函数表示为
§7.1 复势的概念 (The Conception of the complex potential) 物理中有许多不同的稳定平面场，都可以用 解析函数来描述，这种平面场的物理现象，可 以用相应的解析函数的性质来描述。 如果平面平行向量场不随时间变化，我 们称为平面定常向量场。我们设 ， 对平面上的任意点，可以用一个解析函数来表 示 z x iy = + ( ) ( , ) ( , ) x y 例如： z A x y iA x y = + 一个平面定常流速场可以用复变函数表示为
v=v(z) =v(x,y)+iv(x, y)定义7. 1 曲线积分 N。=「A,ds称为向量场通过曲线的流量。如果A,ds =A, (x,y)dy -A,(x,y)dx其中N。=0，则存在函数v(x,J)，使d(v(x, y)) = A, (x, y)dy - A, (x, y)dx = 0那么称v(x,)为向量场A(x,y)的流函数
定义7.1 曲线积分 c n c N A ds = ( , ) ( , ) 如果 A ds A x y dy A x y dx n x y = − 0 Nc = ，则存在函数 v x y ( , ) ，使 ( ( , )) ( , ) ( , ) 0 x y d v x y A x y dy A x y dx = − = 那么称 v x y ( , ) 为向量场 A x y ( , ) 的流函数。 其中 称为向量场通过曲线的流量。 ( ) ( , ) ( , ) x y v v z v x y iv x y = = +
定义7. 2 曲线积分r。=[ A,(x,y)ds=, A,(x,y)dx+ A,(x,y)dy称为向量场沿曲线的环量。如果。=0，则存在函数u(x,J)使d(u(x, y)) = A(x, y)dy + A,(x, y)dx那么称u(x,y)为向量场A(x, y) 白的势函数
定义7.2 曲线积分 ( , ) ( , ) ( , ) c s x y c c = = + A x y ds A x y dx A x y dy 如果 0 = c ，则存在函数 u x y ( , ) 使 ( ( , )) ( , ) ( , ) y d u x y A x y dy A x y dx = + 那么称 u x y ( , ) 为向量场 A x y ( , ) 的势函数。 称为向量场沿曲线的环量
87.2复势的应用(Theapplicationof thecomplexpotential)例7.1试研究一平面流速场的复势为 f(2)=az,(α>0)的速度、流函数和势函数在整个复平面上解析解:f(z)= az,(a> 0)可以得到v=f(z)=α>0,说明场中任意点的流速方向为x 轴正向;流函数为d(x,y)=ay，所以流线为y=c 势函数为 p(x,)=ax，所以等势线为x=C2
§7.2复势的应用 (The application of the complex potential) 例7.1 试研究一平面流速场的复势为 f z az a ( ) , ( 0) = 解： f z az a ( ) , ( 0) = 在整个复平面上解析， ' v f z a = = ( ) 0 ，说明场中任意点的流速方向为 1 y c = 势函数为( , ) x y ax = ，所以等势线为 2 x c = 的速度、流函数和势函数。 x 轴正向； 流函数为 ( , ) x y ay = ，所以流线为 可以得到
例7.2 试研究以=f(2)=z为复势的平面定常流速场解：在任意 z±0处，V=F(2)=22流函数是d(x,y) = 2xy所以流线为2xy = Ci势函数为(x,)=x2-等势线为x2-y2=C2
例7.2 试研究以 2 w f z z = = ( ) 解：在任意 z 0 处， ' v f z z = = ( ) 2 流函数是 ( , ) 2 x y xy = 所以流线为 1 2xy c = 势函数为 2 2 ( , ) x y x y = − 等势线为 2 2 2 x y c − = 。 为复势的平面定常流速场
在热力学的热传导理论中，已经证明，介质的热量与温度梯度称正比我们也可以构造热流场的复势：w =f(z) =p(x, y) +id(x, y)(x,y）称为温度函数（或势函数），p(x,y)=Ci称为等温线;d(x,y)=C2d(x,y)称为热流函数;是热量流动所沿的曲线热流场可以用复变函数O(z) = -kf ()
在热力学的热传导理论中， 已经证明，介质的热量与温度梯度称正比， 我们也可以构造热流场的复势： w f z x y i x y = = + ( ) ( , ) ( , ) ( , ) x y 称为温度函数（或势函数）， 1 ( , ) x y c = 称为等温线； ( , ) x y c = 2 ( , ) x y 称为热流函数， 是热量流动所沿的曲线。 热流场可以用复变函数 ' Q z k f z ( ) ( ) = −
在空间静电场中，我们也可以构造复势w=f(z) =β(x,y)+id(x, y),其中dp(x,y) =-[E,(x, y)dx + E,(x,y)dy]dp(x, y) = -E,(x,y)dx + E,(x,y)dyp(x,J)称为力函数,w =f(z) =p(x, y) +id(x,y)称为静电场的复势，是一个解析函数
在空间静电场中，我们也可以构造复势 w f z x y i x y = = + ( ) ( , ) ( , ) ，其中 ( , ) [ ( , ) ( , ) ] x y d x y E x y dx E x y dy = − + ( , ) x y 称为力函数， w f z x y i x y = = + ( ) ( , ) ( , ) 称为静电场的复势，是一个解析函数。 ( , ) ( , ) ( , ) y x d x y E x y dx E x y dy = − +
87.3用共形映射方法研究平面场(TostudytheplanefieldinConformalmapping)在速度场、热流场和静电场等平面场中，常用共形映射的方法求得复势函数，方法是将已给的平面区域映照为典型区域。而这些典型区域各自对应着所考虑问题的类型。如速度场映射为上半平面或带形区域，静电场映射为圆形区域或带形区域等
§7.3用共形映射方法研究平面场 在速度场、热流场和静电场等平面场中，常用共形映 射的方法求得复势函数，方法是将已给的平面区域 映照为典型区域。而这些典型区域各自对应着所考 虑问题的类型。如速度场映射为上半平面或带形 区域，静电场映射为圆形区域或带形区域等。 (To study the plane field in Conformal mapping)