《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第八章 傅里叶变换 8.3傅里叶变换性质

S8.3傅氏变换的性质The property of the Fourier transformation一、基本性质、卷积与卷积定理二三、综合举例

§8.3 傅氏变换的性质 一、基本性质 二、卷积与卷积定理 三、综合举例 The property of the Fourier transformation

XeSongka基本性质在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的Fourier变换均存在,且 F(の)=于[f(t)l, G(の)=于[g(t)]积分、对于涉及到的一些运算（如求导极限及求和等）XaS的次序交换问题，均不另作说明。1.线性性质性质设a，b为常数，则F [af(t)+ bg(t)]= aF(@)+ bG(の).证明 (略)

一、基本性质 且 所涉及到的函数的 Fourier F() = G() = [ g(t)]. 在下面给出的基本性质中， 变换均存在， [ f (t)], 1. 线性性质 性质 设a , b为常数，则 对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。 证明 (略)

基本性质2.位移性质性质设 to，の为实常数，则(1) [f(t-t,) =e-joto F(の);(时移性质)(2) 于-[F(-0)]=ejg0' f(t).(频移性质）(1) F[f(t-to)]= f- f(t-to)e-jotdt证明令x=t-tof+ f(x)e-jox.e-jotodx=e-joto F();(2)同理，可得到频移性质

一、基本性质 2. 位移性质 性质 设 t0 , 0 为实常数，则 (时移性质) (频移性质)  + − − − f x  x j x j t ( ) d 0 e e   ( ); 0 e   F − j t = (2) 同理，可得到频移性质。 [ ( )] ( ); 0 0 e   f t t F − j t (1) − = [ ( )] ( ). 0 0 e 1 F f t j t  − = − (2) 证明  + − − f t − t = f t − t t j t [ ( 0 )] ( 0 )e d  (1) 0 令 x = t − t

基本性质2.位移性质Son性质设 to，の为实常数，则(1) [f(t-t)]=e-joto F(の);(时移性质)(2) 于-[F(-0)]=ejg0' f(t).(频移性质）时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份的大小不发生改变，但相位发生变化；频移性质则被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中得到了广泛应用

时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份 频移性质则被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中 的大小不发生改变，但相位发生变化； 得到了广泛应用。 一、基本性质 2. 位移性质 性质 设 为实常数，则 [ ( )] ( ); 0 0 e   f t t F − j t − = 0 0 t ,  [ ( )] ( ). 0 0 e 1 F f t j t  − = − (时移性质) (频移性质) (1) (2)

基本性质3.相似性质性质设a为非零常数，则F[f(at)](1)当a>0时,证明SouF[f(at)]= f+ f(at)e-jotdt0令x=at1(x)edxa2XuSongh(2)当 a<0时,同理可得于[f(at)]=

 + − − f x x a x a j ( ) d 1 e   + − − f at = f at t j t [ ( )] ( )e d  令 x = at ; 1       = a F a  证明 (1) 当 a  0 时， (2) 当 a  0 时， 同理可得 . 1 [ ( )]       = − a F a f at  性质 一、基本性质 3. 相似性质

XiSongh基本性质3.相似性质性质设a为非零常数，则于[f(at)]=相似性质表明，若信号被压缩（a>1），则其频谱被扩展；XaSe若信号被扩展（a<1)，则其频谱被压缩。o事实上，在对矩形脉冲函数的频谱分析中（S8.1）已知脉冲越窄，则其频谱（主瓣）越宽：脉冲越宽，则其频谱（主瓣）越窄。相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系

相似性质表明， 事实上，在对矩形脉冲函数的频谱分析中(§8.1)已知， 脉冲越窄，则其频谱(主瓣)越宽; 脉冲越宽，则其频谱(主瓣)越窄。 相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。 若信号被压缩 (a  1), 则其频谱被扩展； 若信号被扩展 (a  1), 则其频谱被压缩。 性质 一、基本性质 3. 相似性质

KeSang基本性质3.相似性质性质设a为非零常数，则[f(at)]=在电信通讯中为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小：为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。相似性质表明这两者是盾的，因为同时压缩脉冲宽度和XaSo频带宽度是不可能的

相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩脉冲宽度和 在电信通讯中， 为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。 为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小； 频带宽度是不可能的。 性质 一、基本性质 3. 相似性质

基本性质4.微分性质性质若 lim f(t)=0, 则 于[f'(t)]= joF(の)[t]-→+8由, lim f(t)=0, 有, lim f(t)e-jot =0,证明XaSongh[t]-→>+00[t]-→>+80F[ f'(t)]= [+ f'(t)e-jotdt= f(t)e-jot|+oo+ jof- f(t)e-jotd t= joF(o)

一、基本性质 4. 微分性质 若 lim ( ) 0, 则 | | = →+ f t t 性质 [ f (t)] = jF(). 证明 lim ( ) 0, | | = →+ f t t 由 有 lim ( )e 0, | | = − →+  j t t f t   + − − f  t = f  t t j t [ ( )] ( )e d   + − − + − − = f t + j f t t j t j t ( )e ( )e d    = jF()

基本性质4.微分性质性质若 lim f(t)=0, 则 于[f'(t)]= joF(の).[t]-→+8一般地，若 lim f(k)(t)=0, (k = 0,1,2,.,n-1),[t/→+80XaSong则 [ f(n)(t)] =(jo)" F(の).记忆 由 f(t)={tF(w)ejotd,lejotdw;=f'(t)jo F(o)ejotd.f(n)(t)(jo)"F(の)

一般地，若 lim ( ) 0, ( 0,1, 2, , 1), ( ) | | = = − →+  f t k n k t  则 [ ( )] ( ) ( ). ( ) f t j F  n n = 记忆 ( ) ( )e d ,  + − =   jt 由 f t F ( ) ( ) e d ;  + −  =    jt  f t j F ( ) ( ) ( ) e d . ( )  + − =    n n jt  f t j F 一、基本性质 4. 微分性质 若 lim ( ) 0, 则 | | = →+ f t t 性质 [ f (t)] = jF()

XaSong基本性质4.微分性质同理，可得到像函数的导数公式于-l[F'(o)]=-jitf(t);F-l[F(")(o)]=(-jt)" f(t).N上式可用来求t"f（t)）的Fourier变换记忆由 F(o)= J- f(t)e-jotdt,e-jotdt;LF'(O(-jt)f(t)e-jotdt.F(n) (o)(-jt)" f(t)

记忆 ( ) ( )e d ,  + − − F = f t t jt 由  ( ) ( ) ( ) e d ;  + − − F = − jt f t t jt   ( ) ( ) ( ) e d . ( )  + − − F = − jt f t t n n jt   t f (t) n 上式可用来求 的Fourier变换． 一、基本性质 4. 微分性质 同理，可得到像函数的导数公式