第八章傅里叶变换(TheFouriertransformation)s8.1Fourier变换的概念88.2单位冲激函数88.3Fourier变换的性质
第八章 傅里叶变换 (The Fourier transformation ) §8.1 Fourier 变换的概念 §8.2 单位冲激函数 §8.3 Fourier 变换的性质
积分变换：就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种变换，这类积分一般是含参变量积分，具体形式可写为 F(t)=" f(t)K(t,t)dtf(t)是要变换的函数，原像函数F(t)是变换后的函数，像函数：K(t,)是一个二元函数，称为积分变换核它的不同可以得到不同的积分变换
积分变换:就是通过积分运算,把一个函数变成 另一个函数的一种变换,这类积分一般是含参变 量积分，具体形式可写为 ( ) ( ) ( , ) b a F f t K t dt = f t( ) 是要变换的函数，原像函数； F( ) 是变换后的函数，像函数； K t( , ) 是一个二元函数，称为积分变换核， 它的不同可以得到不同的积分变换
S 8.1Fourier变换的概念Fourier变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够简化运算（如求解微分方程、化卷积为乘积等等），又具有非常特殊的物理意义因此，Fourier变换不仅在数学的许多分支中具有重要的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。Fourier变换是在周期函数的Fourier级数的基础上发展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier级数的有关内容，因此本节将先简单地回顾一下Fourier级数展开
Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够 简化运算(如求解微分方程、化卷积为乘积等等)，又具有 非常特殊的物理意义。 的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。 展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier级数的有关 内容，因此本节将先简单地回顾一下Fourier级数展开。 §8.1 Fourier变换的概念 因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要 Fourier 变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发
S8.1Fourier变换的概念The conception oftheFourier transformation一、周期函数的Fourier级数XaSong二、非周期函数的Fourier变换XuSong
§8.1 Fourier变换的概念 一、周期函数的Fourier级数 二、非周期函数的Fourier 变换 (The conception of the Fourier transformation
1804年傅里叶研究热传导时提出有限区间上任意函数可以表示为正弦和余弦的和；1829年，狄利克雷证明了如下定理，为傅里叶级数建立了理论基础
1829年, 狄利克雷证明了如下定理， 为傅里叶级数建立了理论基础. 1804年， 傅里叶研究热传导时提出有限 区间上任意函数可以表示为正弦和余弦的和;
周期函数的Fourier级数3.Fourier级数的三角形式定理(Dirichlet定理）设f-(t)是以T为周期的实值函数，且在P183区间[-T/2,T/2]上满足如下条件（称为Dirichlet条件）定理8.1(1）连续或只有有限个第一类间断点；(2）只有有限个极值点则在f-(t)的连续点处有+0aoE(a, cos no,t + b, sin not),fr(t) =(A)21=1,[ f,(t+ 0)+ f,(t-0)].在f-(t)的间断处，上式左端为
区间 [−T/2,T/2] 上满足如下条件(称为Dirichlet条件)： 则在 fT (t) 的连续点处有 (1) 连续或只有有限个第一类间断点； (2) 只有有限个极值点 . 定理 (Dirichlet定理)设 fT (t) 是以T 为周期的实值函数，且在 3. Fourier级数的三角形式 一、周期函数的Fourier级数 P183 定理 8.1 在 的间断处，上式左端为 ( 0) ( 0). 2 1 fT (t) fT t + + fT t −
周期函数的Fourier级数3.Fourier级数的三角形式XaSong定理（Dirichlet定理）f(t)=+(a, cosnopt+b, sinno,t),(A)T2其中, a,-,fr()cosno,rdt,n=0,1,2,.b, , Sr()sin nor dt, n=1,2,..2元称之为基频。0。=T定义称（A)式为Fourier级数的三角形式
, 2 0 T ω π = 称之为基频。 定理 (Dirichlet定理) 3. Fourier级数的三角形式 ( )cos d , 2 /2 /2 0 − = T T n T f t nω t t T a n = 0, 1, 2, ( )sin d , 2 / 2 /2 0 − = T T n T f t nω t t T b 其中, n = 1, 2, ( cos sin ), 2 ( ) 0 1 0 0 a nω t b nω t a f t n n T = + n + + = (A) 定义 称(A)式为Fourier级数的三角形式。 一、周期函数的Fourier级数
周期函数的Fourier级数4.Fourier级数的物理含义+8aoZ(a, cos no, + b, sin no,t),改写fr(t) =(A)2n=1P184ao2+b?Aa2bbancosesin 1AnA20则(A)式变为XuSong+8fr(t)= A +Z.A.cos(no,t +0,n=1
4. Fourier级数的物理含义 cos , n n n A a = sin , n n n A − b = ， 2 0 0 a A = , 2 2 n n n 令 A = a + b 则(A) 式变为 O An an n −b n ( cos sin ), 2 ( ) 0 1 0 0 a nω t b nω t a f t n n T = + n + + = 改写 (A) 一、周期函数的Fourier级数 P184 ( ) cos( ) 1 0 0 n n fT t = A + An nω t + θ + =
周期函数的Fourier级数4.Fourier级数的物理含义fr(t)= A, + ZA, cos(no,t+ 0,)n=1表明周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和，这些简谐波的(角)频率分别为一个基频の.的倍数。意义认为“一个周期为T的周期信号（t）并不包含所有的频率成份，其频率是以基频の.为间隔离散取值的。这是周期信号的一个非常重要的特点
这些简谐波的(角)频率分别为一个基频 ω0 的倍数。 频率成份，其频率是以基频 ω0 为间隔离散取值的。” 这是周期信号的一个非常重要的特点。 4. Fourier级数的物理含义 ( ) cos( ) 1 0 0 n n fT t = A + An nω t + θ + = 意义 认为“一个周期为T 的周期信号 fT (t) 并不包含所有的 表明 周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和， 一、周期函数的Fourier级数
周期函数的Fourier级数4.Fourier级数的物理含义+8fr(t) = A, + ZA, cos(no,t +on)n=l振幅A，反映了频率为nの.的简谐波在信号f(t)中XaS所占有的份额；相位0,反映了在信号f-(t)中频率为nの的简谐波沿时间轴移动的大小。·这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性
相位 θn 反映了在信号 fT (t) 中频率为 nω0 的简谐波 这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。 4. Fourier级数的物理含义 振幅 An 反映了频率为 nω0 的简谐波在信号 fT (t) 中 所占有的份额； 沿时间轴移动的大小。 一、周期函数的Fourier级数 ( ) cos( ) 1 0 0 n n fT t = A + An nω t + θ + =