《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第六章 共形映射 6.1共形映射概念

XaSongla第六章共形映射S6.1共形映射的概念$ 6.2共形映射的基本问题S6.3分式线性映射XaSon86.4几个初等函数构成的共形映射XuSoug

第六章 共形映射 §6.2 共形映射的基本问题 §6.1 共形映射的概念 §6.3 分式线性映射 §6.4 几个初等函数构成的共形映射

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§6.1 共形映射的概念 (The conception of conformal mapping)

yPf(x) - f(xo)f'(xo)= limx-→>Xx-xoxxof(z) - f(zo)f'(zo) = limZ>Z0z-Zo问题：若w=f(z)解析，f'(zo)有什么样几何意义？f(zo）与argf(zo)有无几何解释？6.1.1导数的几何意义

0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x → x x −  = − y x P0 f x( ) 0 x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim z z f z f z f z → z z −  = − 问题： 0 f z ( ) 有什么样几何意义？ 0 0 f z f z   ( ) arg ( ) 与 有无几何解释？ 若 w f z = ( ) 解析, 6.1.1 导数的几何意义

XeSongla一、 伸缩率与旋转角。如图，过Zo点的曲线C经w=f(z)CAzZo映射后，变成了过wo点的曲线I。.(z)0可以看出，曲线被伸缩和旋转。W= f(z)1.伸缩率CY[Aw]w-wo定义 称 limlim0 lz0 /z-Zol Aww.为曲线C经w=f(z)映射后(w)在 Zo 点的伸缩率+

(平均伸缩率) 0 lim z→z C0 一、伸缩率与旋转角 1. 伸缩率  w w = f (z) 映射后， 可以看出，曲线被伸缩和旋转。 如图，过 z0 点的曲线 C0 经 w = f (z) | | | | 0 0 z z w w − − | | | | z w   0 lim  → = z C0 定义 称 为曲线 C0 经 w = f (z) 映射后 0 在 z 点的伸缩率 。 w0 Γ . 变成了过 点的曲线 0  z C0 (z) 0 z (w) Γ0 w0 z w

XeSongla一、伸缩率与旋转角切线。如图，过Zo点的曲线C经w=f(z)CoZAz0映射后，变成了过Wo点的曲线I。·(z)A可以看出，曲线被伸缩和旋转。W=f(z)2.旋转角XaSoag定义 称 lim(β-の)=o-切线WCZOAw为曲线Co经W=f(z)映射后wo(w)中XaSo1在 Zo 点的旋转角○这两个指标定量地刻画了曲线经映射后的局部变化特征。王

 0 切线  (z) z C0 0 z  (w) Γ0 w w0 z w w = f (z) ( − ) 0 lim z→z C0 定义 称 为曲线 C0 经 w = f (z) 映射后 0 在 z 点的旋转角。 2. 旋转角 = 0 − 0 一、伸缩率与旋转角 如图，过 点的曲线 经 映射后，变成了过 点的曲线 可以看出，曲线被伸缩和旋转。 0 z C0 w = f (z) w0 Γ . 0 0 切线 这两个指标定量地刻画了曲线经映射后的局部变化特征

X&Songke二、导数的几何意义切线。设函数w=f(z)在区域D内解析Co2AzZ0XaSZoED,且 f(zo)+0.(z)O0AwAwf(zo) = limlim分析W= f(z)Az△zz>0Az->0CoYE切线W[Aw|i(@-0)limf'(zo)一Aw[△zlWo(w)中[Aw]i(@-0.)lim-C[△z]A>0

二、导数的几何意义 设函数 在区域 D 内解析， z0D, 且 w = f (z) ( ) 0. f  z0  分析 , z w   0 lim  → = z C0 , | | | | ( ) e −   i z w 0 lim  → = z C0 ( ) 0 f  z , | | | | ( ) 0 0 e  −    i z w 0 lim  → = z C0 z w z   =  →0 f (z0 ) lim   0 (z) z C0 0 z  0 (w) Γ0 w w0 z w w = f (z) 切线 切线

XaSongka二、导数的几何意义切线。设函数w=f(z)在区域D内解析CoZAzZ0XuSoZoED, 且 f'(zo)±0.(z)O0[Aw]i(Φo-0o)f'(zo) = lim分析1W= f(z) [zlX=|f(zo)}ei arg '(z0)切线WAw1.导数的几何意义wo(w)中0If'(zo)l在 zo 点的伸缩率。arg f(zo)在 Zo点的旋转角

二、导数的几何意义 设函数 在区域 D 内解析， z0D, 且 w = f (z) ( ) 0. f  z0  分析 , | | | | ( ) 0 0 e  −    i z w 0 lim  → = z C0 ( ) 0 f  z | ( )| . arg ( ) 0 0 e i f z f z  =   1. 导数的几何意义 | ( )| 0 f  z 为曲线 C0 在 z0 点的伸缩率。 arg ( ) 0 f  z 为曲线 C0 在 z0 点的旋转角。   0 (z) z C0 0 z  0 (w) Γ0 w w0 z w w = f (z) 切线 切线

XeSongla二、导数的几何意义C切线2.伸缩率不变性C7AzKz0任何一条经过zo点的曲线的(z)e0A伸缩率均为lf（zo）3.旋转角不变性W= f(z)任何一条经过o点的曲线的1切线旋转角均为argf（zo）.即WAwarg f'(zo)=o - =P1-1Wo(w)XuSougha?

 1 Γ1 1 C1   0 (z) z C0 0 z   0 (w) w w0 z w w = f (z) 切线 切线 Γ0 二、导数的几何意义 2. 伸缩率不变性 任何一条经过 z0 点的曲线的 3. 旋转角不变性 | ( )|. 0 伸缩率均为 f  z 任何一条经过 z0 点的曲线的 arg ( ). 0 旋转角均为 f  z 即 0 0 0 arg f (z ) =  − , =  1 − 1

XeSogka二、导数的几何意义C切线2.伸缩率不变性C70,-0AzKZ0任何一条经过Zo点的曲线的(z)66伸缩率均为Lf（zo）l3.旋转角不变性W=f(z)任何一条经过Zo点的曲线的F1切线旋转角均为argf（zo）.即WAwi-Po4.保角性KWo(w)由arg f'(zo)=Po -β =1 -Q,Pkpo@= 1-Po =01-00.即w=f（z）保持了两条曲线的夹角的大小与方向不变。注：fz。）≠O是必要的，否则，保角性不成立。王

 1 Γ1 1 二、导数的几何意义 C1   0 (z) z C0 0 z   0 (w) w w0 z w w = f (z) 切线 切线 Γ0 1 − 0  1 − 0 2. 伸缩率不变性 任何一条经过 z0 点的曲线的 3. 旋转角不变性 | ( )|. 0 伸缩率均为 f  z 任何一条经过 z0 点的曲线的 arg ( ). 0 旋转角均为 f  z 4. 保角性 .   1 − 0 =  1 − 0 0 0 0 arg f (z ) =  − , 由 =  1 − 1 即 w = f (z) 保持了两条曲线的夹角的大小与方向不变。 即 注： 0 f z ( ) 0  是必要的，否则，保角性不成立

例1讨论下列函数构成的映射的特点(1) f(z)= z +2+i(2)f(z) = (1+i)z +2i例2 试求变换W= f(z)=z2+2z在点z=-1+2i处旋转角并说明它将z平面哪一部分放大？哪一部分缩小？

例2 试求变换 2 w f z z z z i = = + = − + ( ) 2 1 2 在点 处旋转角 并说明它将z平面哪一部分放大？哪一部分缩小？ 例1 讨论下列函数构成的映射的特点 1) ( ) 2 (2) ( ) (1 ) 2 f z z i f z i z i = + + = + + （