第4章相似矩阵及二次型04相似矩阵及二次型《线性代数》
第4章 相似矩阵及二次型 1 相似矩阵及二次型 《线性代数》 04
目录/Contents?E山4.1向量的内积、长度及正交性4.2方阵的特征值与特征向量4.3相似矩阵4.4实对称矩阵的相似对角化4.5二次型及其标准形4.6正定二次型与正定矩阵
第4章 相似矩阵及二次型 2 目录/Contents 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 实对称矩阵的相似对角化 二次型及其标准形 正定二次型与正定矩阵 向量的内积、长度及正交性
目录/Contents?兰4.1向量的内积、长度及正交性一、向量的内积、长度二、正交向量组三、施密特正交化过程四、正交矩阵
第4章 相似矩阵及二次型 3 目录/Contents 4.1 向量的内积、长度及正交性 一、向量的内积、长度 二、正交向量组 三、施密特正交化过程 四、正交矩阵
一、向量的内积、长度第4章相似矩阵及二次型4J定义1设有n维向量*：[x]=x=x+x++x称[x为向量x与y的内积内积的性质（其中x,y与z都是n维列向量，为实数）：( [x,]]=[y,对] ;(ii)[ax,]=[x,y]=[x,ay] ;(iv)[x,对]≥0，当且仅当x=0时，[x,x]=0() [x+y,]=[x,]+[y,] ;利用这些性质，还可以证明著名的柯西-施瓦茨（-Schwarz）不等式[x,y]≤[x,x][y,]
第4章 相似矩阵及二次型 4 定义 1 设有n 维向量 1 1 2 2 , n n x y x y x y = = x y ， 令 T 1 1 2 2 , n n x y x y = = + + + x y x y x y ， 称 x y, 为向量 x 与 y 的内积. 内积的性质（其中 x y, 与 z 都是 n 维列向量， 为实数）： (i) x y y x , , = ； (ii) x y x y x y , , , = = ； (iii) x y z x z y z + = + , , , ； (iv) x x, 0 ，当且仅当 x = 0时， x x, 0 = . 利用这些性质，还可以证明著名的柯西-施瓦茨（-Schwarz）不等式 2 x y x x y y , , , . 一、向量的内积、长度
一、向量的内积、长度第4章相似矩阵及二次型5xiX2定义2设有n维向量xnIx= /[x,x] = x2 +x2 +...+x2,称x为向量x的长度（或范数）向量的长度具有下述性质：(0）非负性当x￥0时，叫>0；当x=0时，叫=0；()齐次性-;（iii）三角不等式x+≤+证明(i)与(ii)是显然的，下面证明(i)。因为x+=[x+y,x+]=[x,x]+2[x,y]+[y,],由施瓦茨不等式,有[x,J]≤/[x,x][y,J]
第4章 相似矩阵及二次型 5 2 2 2 1 2 , n x x x = = + + + x x x ， 称 x 为向量 x 的长度（或范数）. 向量的长度具有下述性质： (i) 非负性 当 x 0 时， x 0 ；当 x = 0 时， x = 0 ； (ii) 齐次性 x x = ； (iii) 三角不等式 x y x y + + . (i)与(ii)是显然的，下面证明(iii). 因为 2 x y x y x y x x x y y y + = + + = + + , , 2 , , ， 由施瓦茨不等式,有 x y x x y y , , , ， 一、向量的内积、长度 定义 2 设有 n 维向量 1 2 n x x x = x ， 令 证明
一、向量的内积、长度第4章相似矩阵及二次型6x+≤[x,]+2 /[x,[,+[,]=+2+=(+)”从而即Ix+ ≤x+.当[x=1时，称x为单位向量.如果α0，取β=~,则β是一个单位向量.由向量α得到单位向量β的过程称为把向量α单位化定义3当x±0,±0时[x,y]0=arccos称为n维向量x与y的夹角1-11当[x,J]=0时，称向量x与y正交显然，若x=0，则X与任何向量都正交
第4章 相似矩阵及二次型 6 从而 ( ) 2 2 2 2 x y x x x x y y y y x x y y x y + + + = + + = + , 2 , , , 2 ， 即 x y x y + + . 当 x =1时，称 x 为单位向量. 如果 0，取 = ，则 是一个单位向量. 由向量 得到单位向量 的过程称为把向量 单位化. 定义 3 当 x y 0 0 , 时, , = arccos x y x y 称为 n 维向量 x 与 y 的夹角. 当 x y, 0 = 时，称向量 x 与 y 正交. 显然，若 x = 0，则 x 与任何向量都正交. 一、向量的内积、长度
、正交向量组第4章相似矩阵及二次型定义4由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交向量组例如，向量组0000(0002022与向量组322上都是正交向量组
第4章 相似矩阵及二次型 7 定义 4 由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交向量组. 例如， 向量组 1 0 0 0 , 2 , 0 003 与向量组 0 0 1 0 0 0 0 1 2 2 , , , 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 − 都是正交向量组. 二、正交向量组
>>二、正交向量组第4章相似矩阵及二次型8定理1若n维向量组ααz"α是一个正交向量组，则ααz"αm线性无关设有常数，2，,m，使na +a, +...+a.α.=0,以α (i=1,2,m)左乘上式两端，当ji时，αfα,=0，从而有α,α,=0(i=1,2,m)，因α,±0(i=1,2,,m),故α,α,*0于是必有=0（i=1,2,m），所以向量组αα2，·,α线性无关
第 4 章 相似矩阵及二次型 8 定理 1 若 n 维向量组 1 2 , , , m是一个正交向量组，则 1 2 , , , m 线性无关. 设有常数 1 2 , , , m，使 1 1 2 2 + + + = m m 0， 以 ( ) T 1,2, , i i m = 左乘上式两端， 当 j i 时， T 0 i j = ， 从而有 ( ) T 0 1,2, , i i i = =i m ， 因i = 0(i m 1,2, , )， 故 T 0 i i ， 于是必有i = = 0 1,2, , (i m )， 所以向量组 1 2 , , , m 线性无关. 二、正交向量组
二、正交向量组第4章相似矩阵及二次型9例1已知3维空间?中的两个向量α正交，试求一个非零向量α使α,α，α两两正交记解α应满足齐次线性方程组Ax=0，即对系数矩阵A实施初等行变换，有1X=X3C得=0，从而有基础解系取%则α，为所求
第4章 相似矩阵及二次型 9 例 1 已知 3 维空间 3中的两个向量 1 2 1 1 1 , 2 1 1 = − = − − 正交，试求一个非零向量 3 ，使 1 2 3 , , 两两正交. 记 T 1 T 2 111 1 2 1 − − = = − A ， 3 应满足齐次线性方程组 Ax = 0， 对系数矩阵 A 实施初等行变换，有 1 2 3 1 1 1 0 1 2 1 0 x x x − − = − 即 ， 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 3 0 0 1 0 − − − − − = → → − A ， 得 1 3 2 0 x x x = = ， 从而有基础解系 1 0 1 . 取 3 1 0 1 = ，则 3为所求. 二、正交向量组 解
二、正交向量组第4章相似矩阵及二次型10定义5设n维向量组5.525，是向量空间V（VcR"）的一个基，如果5，5，两两正交，且都是单位向量，则称555，是的一个规范正交基例如，n维单位坐标向量e,e2,e，就是R"的一个规范正交基2lm司1132-32-3213-13213就是R的一个规范正交基525.=向量组专-1m若5.525.是V的一个规范正交基，那么V中任一向量β都能由51,52,5.线性表示，设表示式为β=15+25,+...+n5,用(=l)左乘上式，有===,)，即=-=)
第4章 相似矩阵及二次型 10 定义 5 设 n 维向量组 1 2 , , , r 是向量空间 ( ) n V V R 的一个基，如果 1 2 , , , r 两两正交， 则称 1 2 , , , r 是V 的一个规范正交基. 例如， n 维单位坐标向量 1 2 , , , n e e e 就是 n R 的一个规范正交基. 向量组 1 2 3 2 2 1 3 3 3 1 2 2 , , 3 3 3 2 1 2 3 3 3 − = = = − 就是 3 R 的一个规范正交基. 若 1 2 , , , r 是V 的一个规范正交基， 那么V 中任一向量 都能由 1 2 , , , r 线性表示， 设表示式为 = + + + 1 2 2 r r， 用 ( ) T 1, , i i r = 左乘上式，有 ( ) T T 1, , i i i i i = = = i r ，即 ( ) T , 1, , . i i i = = = i r 二、正交向量组 且都是单位向量