第三节函数的极限1.013655~37.8-0.99365 ~ 0.03这个式子告诉我们：积步以致干里，积怠情以致深渊1.02365 ~ 1377.40.98365 ~ 0.0006这个式子告诉我们：只比你努力一点的人，其实早已甩你很远
第三节 函数的极限 5 365 36 0. 1.01 3 99 0.03 7.8 这个式子告诉我们：积跬步以致千里，积怠惰以致深渊 5 365 36 0. 1.02 1377. 98 0.0006 4 这个式子告诉我们：只比你努力一点的人，其实早已甩你很远
三、函数的极限定义3.1设函数 f(x)在(a,+o)上有定义且存在常数 A,使得>0,3X,当x>X时,恒有f()-A<,则称 A为 f(x)在x→+ 时的极限记为 lim f(x)=A 或 f(x)→ A(x →+o).X+
三、函数的极限 lim ( ) ( ) ( ). x f x A f x A x →+ 记为 = → → + 或 ( ) ( , ) , , 0, , , ( ) , ( ) . f x a A X x X f x A A f x x + − → + 设函数 在 上有定义 且存在常数 使得 当 时 恒有 则称 为 在 时 定 3.1 的极限 义
三、函数的极限定义3.2设函数 f(x)在(a,+)上有定义且存在常数 A,使得>0,3X,当x<X时,恒有f()-A<,则称 A 为 f(x)在x→-8 时的极限记为 lim f(x)= A 或 f(x)→A(x →-o)
三、函数的极限 lim ( ) ( ) ( ). x f x A f x A x →− 记为 = → → − 或 ( ) ( , ) , , 0, , , ( ) , ( ) . f x a A X x X f x A A f x x + − → − 设函数 在 上有定义 且存在常数 使得 当 时 恒有 则称 为 在 时 定 3.2 的极限 义
三、函数的极限定义3.3设函数 f(x)在|x>α时有定义,且存在常数 A,使得V>0,3X,当x>X时,恒有|f(x)-A<ε则称 A 为 f(x)在 x→8o 时的极限记为 lim f(x)= A 或 f(x)→A(x →0).1
三、函数的极限 lim ( ) ( ) ( ). x f x A f x A x → 记为 = → → 或 ( ) , , 0, , , ( ) , ( ) . f x x a A X x X f x A A f x x − → 设函数 在 时有定义 且存在常数 使得 当 时 恒有 则称 为 在 时 定 3.3 的极限 义
定理3.1lim f(x)= A的充要条件是X-lim f(x) = lim f(x) = A.X+8X-
lim ( ) lim ( ) lim ( 3. . 1 ) x x x f x A f x f x A → →+ →− = = = 定理 的充要条件是
三、函数的极限定义3.4设函数f(x)在x，的某空心邻域有定义,且存在常数 A,使得>0,>0,当0x-x<时,恒有[f(x)-A|<8,则称 A为 f(x)在x→x,时的极限记为 lim f(x)=A 或 f(x)→A(x→xo)x-→xo
三、函数的极限 0 0 lim ( ) ( ) ( ). x x f x A f x A x x → 记为 = → → 或 0 0 0 ( ) , , 0, 0, 0 , ( ) , ( ) . f x x A x x f x A A f x x x − − → 设函数 在 的某空心邻域 有定义 且存在常数 使得 当 定义3 时 恒有 则称 为 .4 在 时的极限
例1.用极限定义证明lim(3x + 1) = 4.酒x1证明 >0,要使福(3x +1) -4<8,只需 3/x-1k 8,只需 1x-1K,取8=号,则|x-1<8时,(3x+1)-4<6,lim(3x + 1) = 4.x-1
1 1. lim(3 1) 4. x x → 例 用极限定义证明 + = 证明 0, 则 x − 1 , 时 (3 1) 4 , x + − 1 lim(3 1) 4. x x → + = 要使 (3 1) 4 , x + − , 3 取 = 只需 3 | 1 | , x − | 1 | , 3 x 只需 −
x-1例2.用极限定义证明-2limx+1x-→-1证明 ε>0，要使(-2)<8.x+1只需/x+1<8,只需 [x-(-1)K ε,取=8,则x-1<8时,(-2) <8,x+1x2-1lim= -2.x→-1 x +1
2 1 1 2. lim 2. x 1 x → − x − = − + 例 用极限定义证明 证明 0, 2 1 ( 2) , 1 x x − − − + 则 x − 1 , 时 2 1 1 lim 2. x 1 x → − x − = − + 2 1 ( 2) , 1 x x − − − + 要使 取 = , 只需 | 1 | , x + 只需 | ( 1) | , x − −
例3.用极限定义证明lim sin x = sin xo.x→xo证明 >0,要使sinx- sinx,<,x+xX-X00只需号2cos<8,sin22X口只需2sin<8,2只需 x-xo<8,取8=8, 则x-x<8时, sinx-sinxo<8,lim sin x = sin xox-→xo
0 0 3. lim sin sin . x x x x → 例 用极限定义证明 = 证明 0, 0 sin sin , x x − 0 则 x x − 时, 0 0 lim sin sin . x x x x → = 0 要使 sin sin , x x − 取 = , 0 0 2 cos sin , 2 2 x x x x + − 只需 0 2 sin , 2 x x − 只需 0 只需 x x −
三、函数的极限定义3.5设函数f(x）在x，的某空心左邻域有定义，且存在常数 A,使得>0,S>0,当0<x,-<时,恒有f(x) - A<8,则称 A为 f(x)在x→x,时的左极限记为 lim f(x)=A 或 f(x)→A(x→x)x-→Xo
三、函数的极限 0 0 lim ( ) ( ) ( ). x x f x A f x A x x − − → 记为 = → → 或 0 0 0 ( ) , , 0, 0, 0 , ( ) , ( ) . f x x A x x f x A A f x x x − − → 设函数 在 的某空心左邻域 有定义 且存在常数 使得 定义3 当 时 .5 恒有 则称 为 在 时的左极限